Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

157 задач
АлгебраЛінійні рекурентні послідовності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-047

Рекурентне співвідношення з квадратичним добутком

Натуральне число tt назвемо хорошим, якщо існує послідовність a0,a1,…a_{0}, a_{1}, \ldots натуральних чисел, яка задовольняє a0=15a_{0}=15, a1=ta_{1}=t, а також an−1an+1=(an−1)(an+1)a_{n-1} a_{n+1} = (a_{n} - 1)(a_{n} + 1) для всіх натуральних чисел nn. Знайдіть суму всіх хороших чисел.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-054

Цикли у чотиривимірному ґратковому графі

Нехай SS — множина з 343^{4} точок чотиривимірного простору, в яких кожна координата належить {−1,0,1}\{-1,0,1\}. Нехай NN — кількість послідовностей точок P1,P2,…,P2020P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{2020} з SS таких, що PiPi+1=2P_{i} P_{i+1}=2 для всіх 1≤i≤20201 \leq i \leq 2020 і P1=(0,0,0,0)P_{1}=(0,0,0,0). (Тут P2021=P1P_{2021}=P_{1}.) Знайдіть найбільше ціле число nn таке, що 2n2^{n} ділить NN.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2019-004

Нерівність для рекурентної послідовності з нулями

Нехай nn — ціле число, більше за 11, а a0,a1,…,ana_{0}, a_{1}, \ldots, a_{n} — дійсні числа, причому a1=an−1=0a_{1} = a_{n-1} = 0. Доведіть, що для будь-якого дійсного числа kk ∣a0∣−∣an∣≤∑i=0n−2∣ai−kai+1−ai+2∣\left|a_{0}\right| - \left|a_{n}\right| \leq \sum_{i=0}^{n-2} \left|a_{i} - k a_{i+1} - a_{i+2}\right|
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Нідерландська юніорська математична олімпіадаDJMO-2019-017

Рекурентна послідовність сум у ряду

Ахмед, Бабет, Каспер, Дан, Еміне і Фрек сидять в ряд у такому порядку. Ахмед і Бабет записують по натуральному числу на аркуші паперу. Потім Каспер додає числа на аркушах Ахмеда і Бабет та записує результат на своєму аркуші. Після цього Дан додає числа на аркушах Бабет і Каспера та записує результат на своєму аркуші. Потім Еміне додає числа на аркушах Каспера і Дана та записує результат на своєму аркуші. Нарешті Фрек додає числа на аркушах Дана і Еміне та записує результат на своєму аркуші. Припустімо, що Еміне написала на своєму аркуші число 19. Яке число отримаємо, якщо додати числа на всіх аркушах?
7–9 класиЛінійні рекурентні послідовності
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-014

Обмеженість і рекурентне співвідношення дають сталу функцію

Нехай f:Z→Rf: \mathbb{Z} \to \mathbb{R} — функція така, що f(n+2)=(f(n+1)+f(n))/2f(n+2) = (f(n+1) + f(n)) / 2 для всіх цілих nn. Припустімо, що ff обмежена, тобто існує дійсне число FF таке, що −F⩽f(n)⩽F-F \leqslant f(n) \leqslant F для всіх nn. Доведіть, що ff — стала функція.
8–10 класиЛінійні рекурентні послідовності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-125

Добуток арифметичної та геометричної прогресій

Нехай a1,a2,…a_{1}, a_{2}, \ldots — арифметична прогресія, а b1,b2,…b_{1}, b_{2}, \ldots — геометрична прогресія. Припустимо, що a1b1=20a_{1} b_{1}=20, a2b2=19a_{2} b_{2}=19 і a3b3=14a_{3} b_{3}=14. Знайдіть найбільше можливе значення a4b4a_{4} b_{4}.
10–11 класиАрифметична прогресія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-010

Періодичні функції з модульним функціональним рівнянням

Нехай p=2017p=2017 — просте число, а Fp\mathbb{F}_p — цілі числа за модулем pp. Функція f:Z→Fpf: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{F}_p називається хорошою, якщо існує α∈Fp\alpha \in \mathbb{F}_p, α≢0( mod p)\alpha \not \equiv 0 (\bmod p), таке, що f(x)f(y)=f(x+y)+αyf(x−y)( mod p)f(x) f(y) = f(x+y) + \alpha^{y} f(x-y) \quad (\bmod p) для всіх x,y∈Zx, y \in \mathbb{Z}. Скільки існує хороших функцій з найменшим періодом 20162016?
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-040

Математичне сподівання в процесі з підкиданням монети

Нехай pp — дійсне число між 00 і 11. Джоселін має монету, яка випадає гербом з імовірністю pp і решкою з імовірністю 1−p1-p; також у неї на дошці написано число. Щохвилини вона підкидає монету, і якщо випадає герб, то вона замінює число xx на дошці на 3x+13x+1; якщо випадає решка, то вона замінює його на x/2x/2. Відомо, що існують сталі a,ba, b такі, що математичне сподівання числа, написаного на дошці після tt хвилин, можна записати як at+bat+b для всіх натуральних чисел tt. Обчисліть pp.
10–11 класиАрифметична прогресія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-044

Рекурентне співвідношення з експоненційним зростанням

У рік 00 в Кембриджі є одна білка та один кролик. Обидві тварини швидко розмножуються. Зокрема, якщо в рік kk є mm білок і nn кролів, то в рік k+1k+1 буде 2m+20192 m + 2019 білок і 4n−24 n - 2 кролів. У якому році вперше кролів стане строго більше, ніж білок?
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2019-009

Періодична послідовність з рекурентним співвідношенням

Знайдіть усі періодичні послідовності x1,x2,x3,…x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots з додатних дійсних чисел таких, що для всіх n≥1n \geq 1 xn+2=12(1xn+1+xn)x_{n+2}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x_{n+1}}+x_{n}\right)
10–11 класиПеріодичні і неперіодичні послідо…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-104

Ланцюг Маркова зі станами погоди

Ліл Вейн, бог дощу, визначає погоду. Якщо Ліл Вейн влаштовує дощ у певний день, то ймовірність того, що він влаштує дощ наступного дня, становить 75%75\%. Якщо Ліл Вейн не влаштовує дощ одного дня, то ймовірність того, що він влаштує дощ наступного дня, становить 25%25\%. Сьогодні він вирішив не влаштовувати дощ. Знайдіть найменше натуральне число nn таке, що ймовірність того, що Ліл Вейн влаштує дощ через nn днів від сьогодні, більша за 49.9%49.9\%.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-095

Найбільше число у вершині позначеного куба

Тесса має одиничний куб, кожна вершина якого позначена різним цілим числом від 11 до 88 включно. Вона також має колоду з 88 карт, 44 з яких чорні, а 44 білі. На кожному кроці вона витягує карту з колоди, і - якщо карта чорна, вона одночасно замінює число в кожній вершині сумою трьох чисел у вершинах, розташованих на відстані 11 від цієї вершини; - якщо карта біла, вона одночасно замінює число в кожній вершині сумою трьох чисел у вершинах, розташованих на відстані 2\sqrt{2} від цієї вершини. Коли Тесса витягне всі карти з колоди, яке найбільше можливе значення числа, що буде на кубі?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-037

Сума абсолютних значень рядка знакозмінного трикутника

У Паскаля є трикутник. У nn-му рядку є n+1n+1 чисел an,0,an,1,an,2,…,an,na_{n, 0}, a_{n, 1}, a_{n, 2}, \ldots, a_{n, n}, де an,0=an,n=1a_{n, 0}=a_{n, n}=1. Для всіх 1≤k≤n−11 \leq k \leq n-1 виконується an,k=an−1,k−an−1,k−1a_{n, k}=a_{n-1, k}-a_{n-1, k-1}. Чому дорівнює сума абсолютних значень усіх чисел у 2018-му рядку?
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-056

Жаби у ставку і на березі та очікуваний час

У ставку перебуває 20182018 жаб, а на березі — 11 жаба. На кожному наступному кроці часу одна випадково вибрана жаба змінює своє місце: якщо вона була в ставку, то стрибає на берег, і навпаки. Знайдіть математичне сподівання кількості кроків часу до першого моменту, коли всі жаби опиняться в ставку.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Відбіркові тести на IMOTST-2018-042

Послідовність фібоначчієвого типу з рекурентною сумою

Послідовність додатних дійсних чисел a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \dots задовольняє an=an−1+an−2a_n = a_{n-1} + a_{n-2} для всіх n≥3n \ge 3. Послідовність b1,b2,b3,…b_1, b_2, b_3, \dots задано рівностями b1=a1b_1 = a_1, bn=an+(b1+b2+⋯+bn−1)b_n = a_n + (b_1 + b_2 + \dots + b_{n-1}) для парних n>1n > 1, bn=an+(b2+b4+⋯+bn−1)b_n = a_n + (b_2 + b_4 + \dots + b_{n-1}) для непарних n>1n > 1. Доведіть, що якщо n≥3n \ge 3, то 13<bnn⋅an<1\frac{1}{3} < \frac{b_n}{n \cdot a_n} < 1.
10–11 класиМетод математичної індукції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-039

Степені ірраціонального числа з періодичними остачами

Чи існує ірраціональне число α>1\alpha>1 таке, що ⌊αn⌋≡0( mod 2017)\left\lfloor\alpha^{n}\right\rfloor \equiv 0 \quad(\bmod 2017) для всіх цілих чисел n≥1n \geq 1?
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-050

Період чисел Фібоначчі за модулем 127

Послідовність Фібоначчі визначається так: F0=0F_{0}=0, F1=1F_{1}=1 і Fn=Fn−1+Fn−2F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2} для всіх цілих чисел n≥2n \geq 2. Знайдіть найменше натуральне число mm таке, що Fm≡0(mod127)F_{m} \equiv 0 \pmod{127} і Fm+1≡1(mod127)F_{m+1} \equiv 1 \pmod{127}.
10–11 класиЧисла Фібоначі
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-066

Двійкові рядки з фіксованим значенням у базі фі

Позначимо ϕ=1+52\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2} і розглянемо множину всіх скінченних двійкових рядків без початкових нулів. Кожен рядок SS має значення в системі числення з основою ϕ\phi, яке позначимо p(S)p(S). Наприклад, p(1101)=ϕ3+ϕ2+1p(1101)=\phi^{3}+\phi^{2}+1. Для будь-якого натурального числа nn нехай f(n)f(n) — кількість таких рядків SS, що задовольняють p(S)=ϕ48n−1ϕ48−1p(S)=\frac{\phi^{48 n}-1}{\phi^{48}-1}. Послідовність дробів f(n+1)f(n)\frac{f(n+1)}{f(n)} прямує до дійсного числа cc, коли nn прямує до нескінченності. Знайдіть значення cc.
10–11 класиСистеми числення
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-027

Сума ряду з рекурентно заданою послідовністю

Нехай …,a−1,a0,a1,a2,…\ldots, a_{-1}, a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots — послідовність натуральних чисел, яка задовольняє такі співвідношення: an=0a_{n}=0 для n<0n<0, a0=1a_{0}=1, а для n≥1n \geq 1, an=an−1+2(n−1)an−2+9(n−1)(n−2)an−3+8(n−1)(n−2)(n−3)an−4.a_{n}=a_{n-1}+2(n-1) a_{n-2}+9(n-1)(n-2) a_{n-3}+8(n-1)(n-2)(n-3) a_{n-4} . Обчисліть ∑n≥010nann!\sum_{n \geq 0} \frac{10^{n} a_{n}}{n!}
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-116

Лінійне рекурентне співвідношення з умовою на суму

Нескінченна послідовність дійсних чисел a1,a2,…a_{1}, a_{2}, \ldots задовольняє рекурентне співвідношення an+3=an+2−2an+1+ana_{n+3}=a_{n+2}-2 a_{n+1}+a_{n} для кожного натурального числа nn. Відомо, що a1=a3=1a_{1}=a_{3}=1 і a98=a99a_{98}=a_{99}. Обчисліть a1+a2+⋯+a100a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{100}.
10–11 класиСуми послідовностей
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-043

Очікувана кількість підкидань монети до нуля

Тім починає з числа nn, а далі неодноразово підкидає чесну монету. Якщо випадає аверс, він віднімає 11 від свого числа, а якщо випадає реверс — віднімає 22. Нехай EnE_{n} — математичне сподівання кількості підкидань, які зробить Тім, доки його число не стане нулем або від'ємним. Знайдіть пару (a,b)(a, b) таку, що lim⁡n→∞(En−an−b)=0\lim_{n \rightarrow \infty}\left(E_{n}-a n-b\right)=0
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-052

Очікувана кількість підкидань для повтореної послідовності

Деяка монета може впасти гербом (H), решкою (T) або на ребро (M), кожен випадок з імовірністю 13\frac{1}{3}. Знайдіть математичне сподівання кількості підкидань, необхідної, щоб побачити підряд послідовність HMMTHMMT...HMMT, де послідовність HMMT повторено 2016 разів.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-067

Числа Люка з цифрою 1

Числа Люка визначено як L0=2L_{0} = 2, L1=1L_{1} = 1 і Ln+2=Ln+1+LnL_{n+2} = L_{n+1} + L_{n} для всіх n≥0n \geq 0. Нехай NN — кількість цілих чисел 1≤n≤20161 \leq n \leq 2016 таких, що LnL_{n} містить цифру 11. Оцініть NN. Оцінка EE приносить ⌊20−2∣N−E∣⌋\lfloor 20 - 2|N - E| \rfloor або 00 балів, залежно від того, яке з них більше.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-133

Різниця ймовірностей досягнення у випадковому блуканні

Починаючи з числа 00, Кейсі виконує нескінченну послідовність ходів у такий спосіб: він навмання обирає число з {1,2}\{1, 2\} (кожне з імовірністю 12\frac{1}{2}) і додає його до поточного числа. Нехай pmp_{m} — імовірність того, що Кейсі коли-небудь досягне числа mm. Знайдіть p20−p15p_{20} - p_{15}.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-116

Рекурентне співвідношення для підрахунку дільників

Для цілого nn нехай f9(n)f_{9}(n) позначає кількість додатних цілих чисел d≤9d \leq 9, які ділять nn. Припустимо, що mm — натуральне число, а b1,b2,…,bmb_{1}, b_{2}, \ldots, b_{m} — дійсні числа такі, що f9(n)=∑j=1mbjf9(n−j)f_{9}(n)=\sum_{j=1}^{m} b_{j} f_{9}(n-j) для всіх n>mn>m. Знайдіть найменше можливе значення mm.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.