Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

644 задачі
Теорія чиселМетод математичної індукції
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-24-25-056

Найменше k-кратне число для розбиття непарних чисел

Нехай натуральне k>2k>2. Натуральне число ll називається kk-кратним, якщо числа 1,3,5,…,2k−11,3,5,\ldots,2k-1 можна розбити на дві множини AA та BB такі, що сума елементів множини AA буде в ll разів більша за суму елементів множини BB. Доведіть, що найменше kk-кратне число взаємно просте з kk.
7–8 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-24-25-105

Вираз з P(x) і множником xy-x-y

Доведіть, що існує рівно один многочлен P(x)P(x), для якого вираз (x+y)1000−P(x)−P(y)(x+y)^{1000}-P(x)-P(y) розкладається на множники, один із яких є (xy−x−y)(xy-x-y).
9 класМногочлени багатьох змінних
Київський турнір математичних боївKMB-23-24-129

Функціональне рівняння і значення f(1) при f(40)

Позначимо через Z+\mathbb{Z}^+ множину всіх цілих невід'ємних чисел. Відомо, що функція f:Z+→Z+f : \mathbb{Z}^+ \to \mathbb{Z}^+ для довільних a,b∈Z+a, b \in \mathbb{Z}^+ задовольняє умову f(a+b2)=f(a)+f(b2)+ab2.f(a + b^2) = f(a) + f(b^2) + ab^2. Знайдіть значення f(1)f(1), якщо відомо, що f(40)=2020f(40) = 2020.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Київський турнір математичних боївKMB-23-24-097

Подання n-цифрового числа сумою рівних чисел

Назвемо число рівним, якщо для його запису використано однакові цифри, наприклад 11111111, 55, 9 999 9999\,999\,999. Доведіть, що кожне nn-цифрове число можна подати як суму не більше ніж n+1n + 1 рівного числа.
9 класМетод математичної індукції
Київський турнір математичних боївKMB-23-24-023

Прості числа та їхні порядкові номери

Прості числа занумеровано в порядку зростання: перше число — це 22, друге число — це 33, третє число — це 55 і так далі. Доведіть, що, починаючи з простого числа за номером 1212, кожне просте число більше ніж у 33 рази перевищує свій номер.
8 класМетод математичної індукції
Київський турнір математичних боївKMB-23-24-113

Функції з натуральних чисел з умовою подільності

Знайдіть усі функції f ⁣:N→Nf\colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}, для яких справджується умова: n∣mn \mid m тоді й тільки тоді, коли f(n)∣f(m)−nf(n) \mid f(m)-n.
9 класБазові підстановки (однакові аргу…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-23-24-083

Послідовність з квадратним коренем і сума обернених

Послідовність (xn)(x_n) визначено таким чином: x1=1x_1 = 1, xn=xn−1+xn−1x_n = x_{n-1} + \sqrt{x_{n-1}}, n⩾2n \geqslant 2. Доведіть, що 1x1+1x2+…+1x2022<3\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} + \ldots + \dfrac{1}{x_{2022}} < 3.
9 класСуми послідовностей
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-23-24-118

Двоколірне коло довжини n і його дільник

Задано натуральне число nn і коло завдовжки nn. Числа 00, 11, …\ldots, n−1n - 1 записані по колу на рівних відстанях у вказаному порядку за рухом годинної стрілки. Кожне із цих чисел є жовтим або синім, при цьому кожного кольору є принаймні одне ненульове число. Нехай множина S⊂{0,1,…,n−1}S \subset \{0, 1, \ldots, n - 1\}, для якої ∣S∣⩾2|S| \geqslant 2, має такі властивості: якщо дуга (x,y)(x, y) за рухом годинної стрілки така, що її кінці різного кольору, а довжина дуги належить множині SS, то y∈Sy \in S. Доведіть, що існує дільник dd числа nn такий, що числа xx, yy мають однаковий колір, якщо довжина дуги (x,y)(x, y) ділиться націло на dd, а дільник dd не ділить ні xx, ні yy.
10–11 класиНСД та НСК
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-23-24-122

Мінімальний модуль знакової суми степенів

Для натурального числа nn визначимо таку величину: cn=min⁡z1,z2,…,zn∈{−1,1}∣z1⋅12018+z2⋅22018+…+zn⋅n2018∣.c_n = \min_{z_1, z_2, \ldots, z_n \in \{-1, 1\}} \left| z_1 \cdot 1^{2018} + z_2 \cdot 2^{2018} + \ldots + z_n \cdot n^{2018} \right|. Доведіть, що послідовність (cn)(c_n) — обмежена.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-23-24-100

Односторонні рейси з майже однаковими входом і виходом

У країні є декілька міст, сполучених двосторонніми авіарейсами. Уряд планує всі двосторонні рейси замінити односторонніми, рух якими здійснюватиметься в одному з двох напрямків. Чи можна зробити таким чином, щоб для кожного міста справджувалася умова: кількість рейсів, для яких місто є кінцем маршруту, та кількість рейсів, для яких місто є початком маршруту, відрізнялися не більше ніж на 11?
9 класОрієнтовані графи
Київський турнір математичних боївKMB-22-23-103

Функція з нерівністю для квадратів значень

Відомо, що для функції f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} для довільних дійсних чисел xx, yy справджується умова (f(x))2⩽f(y)(f(x))^2 \leqslant f(y). Доведіть, що для довільного x∈Rx \in \mathbb{R} справджується нерівність 0⩽f(x)⩽10 \leqslant f(x) \leqslant 1.
10–11 класиВластивості монотонності або обме…
Київський турнір математичних боївKMB-22-23-089

Найменше n ≥ 2023 з рівністю f(n) = n

Функція f:N→N∪{0}f : \mathbb{N} \to \mathbb{N} \cup \{0\} задовольняє такі умови: - f(1)=0f(1) = 0; - f(p)=1f(p) = 1 для кожного простого pp; - для довільних натуральних xx, yy маємо f(xy)=yf(x)+xf(y)f(xy) = yf(x) + xf(y). Знайдіть найменше натуральне n⩾2023n \geqslant 2023, для якого f(n)=nf(n) = n.
9 класОсновна теорема арифметики
Київський турнір математичних боївKMB-22-23-115

Сума перших 2020 значень функції з умовами на модуль

Розглянемо такі функції f:N→Zf : \mathbb{N} \to \mathbb{Z}, які для кожного натурального nn задовольняють умови: а) ∣f(n)∣=n|f(n)| = n; б) 0⩽∑k=1nf(k)<2n0 \leqslant \sum\limits_{k=1}^{n} f(k) < 2n. Знайдіть значення виразу ∑k=12020f(k)\sum\limits_{k=1}^{2020} f(k).
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Київський турнір математичних боївKMB-21-22-091

Оцінка біноміального коефіцієнта через степінь четвірки

Для кожного натурального nn доведіть нерівність 4nn+1⩽C2nn⩽4n.\frac{4^n}{n+1} \leqslant C_{2n}^n \leqslant 4^n.
9 класМетод математичної індукції
Київський турнір математичних боївKMB-21-22-097

Обнулення таблиці ходами по рядках, стовпцях і діагоналях

У кожній одиничній комірці таблиці розміром m×nm \times n, m,n⩾3m, n \geqslant 3, записано ціле число. Діагоналлю назвемо групу комірок, у яких різниця між номером рядка та номером стовпчика є сталим числом. Наприклад, комірки (1,5)(1, 5), (2,6)(2, 6), (3,7)(3, 7), …\ldots утворюють діагональ, а от комірки (1,5)(1, 5), (2,4)(2, 4), (3,3)(3, 3), …\ldots діагональ не утворюють. Зазначимо, що окрема права верхня комірка таблиці сама також утворює діагональ. Ми можемо робити такі ходи: вибираємо деякий рядок, стовпчик або діагональ та додаємо 11 чи −1-1 до чисел, що стоять у вибраних комірках (до всіх вибраних чисел додаємо однакове число під час кожного ходу). Відомо, що в довільній частині таблиці розміром завбільшки 3×33 \times 3 ми можемо отримати такими ходами всі числа, що дорівнюватимуть 00, не змінюючи жодного іншого числа поза цим фрагментом 3×33 \times 3. Доведіть, що таким чином можна отримати таблицю із числом 00 у кожній комірці. На рис. 7.5 зображено приклад діагоналі та фрагмент 3×33 \times 3 таблиці. | | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |---|---|---|---|---|---|---|---|---|---| | 1 | | | | | | ♣ | | | | | 2 | | ◊ | ◊ | ◊ | | | ♣ | | | | 3 | | ◊ | ◊ | ◊ | | | | ♣ | | | 4 | | ◊ | ◊ | ◊ | | | | | ♣ | | 5 | | | | | | | | | | Рис. 7.5
9 класІнші інваріанти
Київський турнір математичних боївKMB-21-22-105

Максимальна кількість рукостискань при обмеженні на п'ятірки

На конференції були присутні 20152015 учасників. Відомо, що серед кожних п’яти учасників було не більше ніж шість рукостискань. Яка максимальна кількість рукостискань могла відбутися на конференції?
9 класКласичні теореми теорії графів
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-21-22-115

Щільні підмножини множини з сусідніми різницями 1 або 2

Нехай множина натуральних чисел X={x1<x2<…<xn}X = \{x_1 < x_2 < \ldots < x_n\} задовольняє умову 1⩽xi−xi−1⩽21 \leqslant x_i - x_{i-1} \leqslant 2, i=2,n‾i = \overline{2, n}. Дійсне число aa назвемо гарним, якщо існує j=1,n‾j = \overline{1, n}, для якого ∣xj−a∣⩽12\left| x_j - a \right| \leqslant \frac{1}{2}. Множину YY назвемо щільною, якщо середнє арифметичне її чисел є гарним числом. Покажіть, що принаймні 2n−32^{n-3} підмножин множини XX є щільними.
10–11 класиВластивості біноміальних коефіціє…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-21-22-091

Повний набір гир після прибирання найважчої

Дано набір гир, маси яких виражено натуральними числами m1,m2,…,mnm_1, m_2, \ldots, m_n. Назвемо набір повним, якщо для будь-якого натурального числа M⩽m1+m2+…+mnM \leqslant m_1 + m_2 + \ldots + m_n існує такий набір гир, сумарна маса яких дорівнює MM. Доведіть, що коли із цього набору прибрати найважчу гирю, то набір, що залишився, так само буде повним.
9 класМетод математичної індукції
Олімпіада SET University з математикиSETMO-21-22-030

Найбільше q для нерівності зі степенями n

Для якого найбільшого qq нерівність 2n⩾1+nqn2^n \geqslant 1 + nq^n справджується при всіх натуральних n⩾2n \geqslant 2? У відповіді запишіть знайдене значення, піднесене до квадрата та помножене на 44.
9 класМетод математичної індукції
Київський турнір математичних боївKMB-20-21-041

Кортежі цілих чисел з рівністю модулів різниць

Знайдіть усі кортежі цілих чисел (a1,a2,…,an)(a_1, a_2, \ldots, a_n), що задовольняють такі умови: - 1⩽ai⩽n, ∀i=1,n‾1 \leqslant a_i \leqslant n,\ \forall i = \overline{1, n}; - ∣ai−aj∣=∣i−j∣, ∀i=1,n‾|a_i - a_j| = |i - j|,\ \forall i = \overline{1, n}.
6–7 класиРозбиття на випадки
Київський турнір математичних боївKMB-20-21-097

Рівняння f(-f(x)-f(y)) = 1-x-y

Знайдіть усі функції f:Z→Zf: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}, які для довільних цілих xx, yy задовольняють рівність f(−f(x)−f(y))=1−x−y.f(-f(x) - f(y)) = 1 - x - y.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Київський турнір математичних боївKMB-20-21-085

Значення квадратного тричлена, кратне 2ⁿ

Нехай число nn — натуральне. Доведіть, що існує ціле число mm, для якого значення 2018m2+20 182 017m+20172018m^2 + 20\,182\,017m + 2017 ділиться націло на 2n2^n.
9 класМетод математичної індукції
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-20-21-115

Шлях довжини m на n точках з nm відрізками

Натуральні числа nn, mm такі, що n⩾2m+1n \geqslant 2m+1. Задано nn різних точок і nmnm різних відрізків, кожний з яких сполучає певну пару заданих точок. Доведіть, що обов'язково існують точки A0,A1,…,AmA_0, A_1, \ldots, A_m такі, що ∀i=0,m−1‾\forall i = \overline{0, m-1} буде проведено відрізок AiAi+1A_iA_{i+1}.
10–11 класиШляхи на графах
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-20-21-048

Значення квадратного тричлена з 2018 простими дільниками

Доведіть, що для довільної пари натуральних чисел (a,b)(a, b) існує натуральне nn, для якого число n2+an+bn^2 + an + b має щонайменше 20182018 попарно різних простих дільників.
7–8 класиМетод математичної індукції
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-20-21-130

Подання чисел сумами різних степенів 3, 4 і 7

Доведіть, що кожне натуральне число можна виразити як суму цілих невід’ємних степенів чисел 33, 44 і 77, у якій немає двох доданків з однаковими основами та показниками. Примітка. Наприклад, такі подання чисел 2=30+702 = 3^0 + 7^0 і 22=32+30+41+40+7122 = 3^2 + 3^0 + 4^1 + 4^0 + 7^1 є припустимими, а подання чисел 2=70+702 = 7^0 + 7^0 і 22=32+32+4122 = 3^2 + 3^2 + 4^1 — ні.
10–11 класиМетод математичної індукції

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.