Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

217 задач
АлгебраНерівність Коші-Буняковського
Київський турнір математичних боївKMB-17-18-127

Нерівність з коренями при сумі обернених 2

Числа xx, yy, z>1z > 1 задовольняють умову 1x+1y+1z=2\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = 2. Доведіть, що справджується нерівність x+y+z⩾x−1+y−1+z−1.\sqrt{x + y + z} \geqslant \sqrt{x-1} + \sqrt{y-1} + \sqrt{z-1}. За яких умов можлива рівність?
9 класНерівність Коші-Буняковського
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-17-18-166

Сума трьох дробів з косинусами кутів трикутника

Доведіть, що коли α,β,γ∈(0;π)\alpha, \beta, \gamma \in (0; \pi) — кути трикутника, то виконується нерівність (1+cos⁡α)(1+cos⁡β)7+cos⁡α+cos⁡β−5cos⁡αcos⁡β+(1+cos⁡β)(1+cos⁡γ)7+cos⁡β+cos⁡γ−5cos⁡βcos⁡γ+(1+cos⁡α)(1+cos⁡γ)7+cos⁡α+cos⁡γ−5cos⁡αcos⁡γ⩽1.\dfrac{(1+\cos\alpha)(1+\cos\beta)}{7+\cos\alpha+\cos\beta-5\cos\alpha\cos\beta} + \dfrac{(1+\cos\beta)(1+\cos\gamma)}{7+\cos\beta+\cos\gamma-5\cos\beta\cos\gamma} + \dfrac{(1+\cos\alpha)(1+\cos\gamma)}{7+\cos\alpha+\cos\gamma-5\cos\alpha\cos\gamma} \leqslant 1.
10–11 класиТригонометричні заміни
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-17-18-138

Нерівність з дійсними числами та сумою квадратів

Нехай a1,…,an,b1,…,bna_1, \ldots, a_n, b_1, \ldots, b_n — дійсні числа, p>−1p > -1. Доведіть, що ∑i=1n(ai−bi)(ai(a12+…+an2)p2−bi(b12+…+bn2)p2)⩾0.\sum_{i=1}^{n} (a_i - b_i)\left(a_i\left(a_1^2 + \ldots + a_n^2\right)^{\frac{p}{2}} - b_i\left(b_1^2 + \ldots + b_n^2\right)^{\frac{p}{2}}\right) \geqslant 0.
9 класНерівність Коші-Буняковського
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-15-16-184

Найбільше значення x+2y+4z при x²+3y²+z²=1

Числа xx, yy, zz задовольняють умову x2+3y2+z2=1x^2 + 3y^2 + z^2 = 1. Якого найбільшого значення може набувати вираз x+2y+4zx + 2y + 4z?
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-15-16-197

Набори чисел з нерівністю через квадратні корені

Задано відмінні від 00 дійсні числа a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n. Знайдіть усі набори (r1,r2,…,rn)(r_1, r_2, \ldots, r_n) дійсних чисел таких, що має місце нерівність ∑i=1nri(xi−ai)⩽∑i=1nxi2−∑i=1nai2.\sum_{i=1}^{n} r_i (x_i - a_i) \leqslant \sqrt{\sum_{i=1}^{n} x_i^2} - \sqrt{\sum_{i=1}^{n} a_i^2}.
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-15-16-150

Найменше значення суми цілих частин дробів

Для натуральних чисел aa, bb, cc, dd знайдіть найменше можливе значення виразу [a+b+cd]+[a+b+dc]+[a+d+cb]+[d+b+ca].\left[\frac{a+b+c}{d}\right]+\left[\frac{a+b+d}{c}\right]+\left[\frac{a+d+c}{b}\right]+\left[\frac{d+b+c}{a}\right].
9 класНерівність Коші-Буняковського
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-14-15-141

Нерівність із сумою квадратів дробів при abc = 1

Для довільних додатних aa, bb, cc таких, що abc=1abc = 1, доведіть нерівність (a1+ab)2+(b1+bc)2+(c1+ca)2⩾34.\left(\frac{a}{1+ab}\right)^2+\left(\frac{b}{1+bc}\right)^2+\left(\frac{c}{1+ca}\right)^2 \geqslant \frac{3}{4}.
10–11 класиЗаміни в однорідних виразах
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-14-15-036

Нерівність для чисел з рівностями квадратів

Додатні числа aa, bb, cc, xx, yy, zz задовольняють рівності a2+b2=c2a^2+b^2=c^2, x2+y2=z2x^2+y^2=z^2. Доведіть, що (a+x)2+(b+y)2⩽(c+z)2(a+x)^2+(b+y)^2 \leqslant (c+z)^2.
7–8 класиНерівність Коші-Буняковського
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-14-15-101

Чи правильна нерівність із квадратами п’яти чисел

Чи правда, що нерівність x12+x22+x32+x42+x52⩾x5(x1+x2+x3+x4)x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 + x_5^2 \geqslant x_5(x_1 + x_2 + x_3 + x_4) справджується для довільних дійсних чисел x1x_1, x2x_2, x3x_3, x4x_4, x5x_5?
9 класНерівності та системи другого сте…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-14-15-163

Трикутник ABC і трикутник центрів описаних кіл

Нехай OO — центр описаного кола трикутника ABCABC і нехай A1A_1, B1B_1, C1C_1 — центри описаних кіл трикутників BCOBCO, CAOCAO і ABOABO відповідно. Доведіть, що площа трикутника ABCABC не перевищує площу трикутника A1B1C1A_1B_1C_1.
10–11 класиІнші нерівності в геометрії
Київський турнір математичних боївKMB-12-13-187

Нерівності для сум добутків і часток з додатними числами

Для додатних чисел x1x_1, x2x_2, …\ldots, xnx_n, y1y_1, y2y_2, …\ldots, yny_n, n∈Nn \in \mathbb{N}, справджується нерівність x1+x2+…+xn⩾x1y1+x2y2+…+xnynx_1+x_2+\ldots+x_n \geqslant x_1y_1+x_2y_2+\ldots+x_ny_n. Доведіть, що справедливою є тоді й нерівність x1+x2+…+xn⩽x1y1+x2y2+…+xnyn.x_1+x_2+\ldots+x_n \leqslant \frac{x_1}{y_1}+\frac{x_2}{y_2}+\ldots+\frac{x_n}{y_n}.
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Київський турнір математичних боївKMB-12-13-068

Пропорційні числа та рівність сум квадратів

Додатні числа aa, bb, cc, mm, nn, pp задовольняють умову ma=nb=pc\frac{m}{a}=\frac{n}{b}=\frac{p}{c}. Доведіть рівність (ma+nb+pc)2=(m2+n2+p2)(a2+b2+c2).(ma+nb+pc)^2=(m^2+n^2+p^2)(a^2+b^2+c^2).
8 класНерівність Коші-Буняковського
Київський турнір математичних боївKMB-11-12-096

Нерівність для точки на гіпотенузі прямокутного трикутника

Нехай ABCABC — прямокутний трикутник, на гіпотенузі BCBC якого позначено деяку точку PP. Доведіть, що справджується нерівність AB2PC+AC2PB⩾BC3PA2+PB⋅PC.\frac{AB^2}{PC}+\frac{AC^2}{PB}\geqslant\frac{BC^3}{PA^2+PB\cdot PC}. Для яких точок PP може досягатися рівність?
9 класНерівність Коші-Буняковського
Київський турнір математичних боївKMB-11-12-146

Три перпендикулярні промені з точки P до площини

У просторі задано площину α\alpha і точку P∉αP \notin \alpha. Із точки PP проводять три взаємно перпендикулярні промені, які перетинають площину α\alpha в точках AA, BB і CC. Доведіть, що величина 1/PA2+1/PB2+1/PC21/PA^2+1/PB^2+1/PC^2 залежить лише від точки PP, а не від вибору напря́му променів PAPA, PBPB та PCPC.
10–11 класиМетод координат
Київський турнір математичних боївKMB-11-12-130

Нерівність із синусами та косинусами кутів a і b

Для чисел a∈(0,π2)a \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right), b∈(0,π2)b \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) доведіть нерівність sin⁡3asin⁡b+cos⁡3acos⁡b⩾1cos⁡(a−b).\frac{\sin^3 a}{\sin b} + \frac{\cos^3 a}{\cos b} \geqslant \frac{1}{\cos(a-b)}.
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-11-12-154

Найбільша кількість точок у квадраті 7×7 без прямокутника

У квадраті 7×77 \times 7 відмітили kk центрів маленьких квадратиків таким чином, що ніякі чотири відмічені точки не є вершинами прямокутника зі сторонами, що паралельні сторонам квадрата. За якого найбільшого значення kk це можливо?
9 класПідрахунок двома способами
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-11-12-210

Сума обернених чисел з умовою на суму і добуток

Для додатних чисел aa, bb, cc, які задовольняють умову a+b+c+1=4abca + b + c + 1 = 4abc, доведіть нерівність 1a+1b+1c⩾3.\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geqslant 3.
10–11 класиНерівність Коші
Київський турнір математичних боївKMB-09-10-142

Нерівність із максимумом, мінімумом і питанням рівності

Для дійсних чисел a1a_1, a2a_2, …\dots, ana_n доведіть, що справджується нерівність (a12+a22+⋯+an2a1+a2+⋯+an)knt⩾a1a2…an,\left( \frac{a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2}{a_1 + a_2 + \dots + a_n} \right)^{\frac{kn}{t}} \geqslant a_1 a_2 \dots a_n, де k=max⁡{a1,a2,…,an}k = \max \{a_1, a_2, \dots, a_n\}, а t=min⁡{a1,a2,…,an}t = \min \{a_1, a_2, \dots, a_n\}. Чи можлива тут рівність?
10–11 класиНерівність Коші
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-09-10-139

Нерівність для невід'ємних чисел із сумою 1

Доведіть для невід'ємних чисел, що задовольняють умову a+b+c=1a+b+c=1, нерівність 11−a+11−b+11−c≥21+a+21+b+21+c.\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1-b}+\frac{1}{1-c}\ge\frac{2}{1+a}+\frac{2}{1+b}+\frac{2}{1+c}.
9 класНерівність Коші-Буняковського
Київський турнір математичних боївKMB-08-09-032

Нерівність для додатних a, b, c

Довести для додатних a,b,ca, b, c нерівність: 1+3ab+bc+ca≥6a+b+c.1 + \frac{3}{ab + bc + ca} \ge \frac{6}{a + b + c}.
9 класНерівність Коші-Буняковського
Київський турнір математичних боївKMB-08-09-052

Рівняння із сумою квадратів послідовних різниць

Довести, що для кожного n≥1n \geq 1 рівняння (1−x1)2+(x1−x2)2+...+(xn−1−xn)2+xn2=1n+1(1 - x_1)^2 + (x_1 - x_2)^2 + ... + (x_{n-1} - x_n)^2 + x_n^2 = \frac{1}{n+1} має єдиний розв'язок. Знайти цей розв'язок.
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Київська математична карусельKMC-08-09-075

Найбільше значення виразу x + y - z

Відомо, що x2+14y2+116z2=1x^2 + \frac{1}{4}y^2 + \frac{1}{16}z^2 = 1. Яке найбільше значення може приймати вираз (x+y−z)(x + y - z)?
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-08-09-162

Мотопробіг з лідерами та інтервалами між змінами

У мотопробігу беруть участь n∈Nn \in \mathbb{N} мотоциклістів. Кожен мотоцикліст починає пробіг у довільний момент часу та у довільній точці траси, їде з довільною постійною швидкістю в напрямку від початку траси, та закінчує їхати у довільний момент часу. Лідером у даний момент часу вважається мотоцикліст, який їде по трасі найдалі від її початку. (Мотоциклісти, які не їдуть або які почали чи закінчили їхати у даний момент, не можуть бути лідерами). Відомо, що ніякі два мотоциклісти не будуть одночасно лідерами протягом деякого ненульового проміжку часу. Послідовно відмічають інтервали між моментами зміни лідерами. Довести, що таких інтервалів менше 2n1,52n^{1{,}5}.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Київський турнір математичних боївKMB-07-08-032

Додатні числа із сумою 1 та нерівність

Доведіть, що коли для додатних чисел aa, bb і cc виконується рівність a+b+c=1a+b+c=1, тоді справджується нерівність (a+1a)2+(b+1b)2+(c+1c)2≥3313.\left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2+\left(c+\frac{1}{c}\right)^2 \ge 33\frac{1}{3}.
8–9 класиНерівність Коші-Буняковського
Київський турнір математичних боївKMB-07-08-066

Нерівність із дробами для чисел від 2 до 4

Для чисел x,y,z∈(2,4)x, y, z \in (2, 4) довести нерівність: xy2−z+yz2−x+zx2−y>1.\frac{x}{y^2-z} + \frac{y}{z^2-x} + \frac{z}{x^2-y} > 1.
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.