Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

143 задачі
ГеометріяОсновна властивість бісектриси
Балтійський шляхBW-1993-017

Рівні кути від точки перетину медіани й бісектриси

У трикутнику ABCABC маємо ∣AB∣=15|AB| = 15, ∣BC∣=12|BC| = 12 і ∣AC∣=13|AC| = 13. Нехай медіана AMAM і бісектриса BKBK перетинаються в точці OO, де M∈BCM \in BC, K∈ACK \in AC. Нехай OL⊥ABOL \perp AB, де L∈ABL \in AB. Доведіть, що ∠OLK=∠OLM\angle OLK = \angle OLM.
10–11 класиМетод координат
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2025-064

Відношення площ за умови рівності кутів

Точка PP лежить усередині трикутника △ABC\triangle ABC так, що ∠ABP=∠ACP\angle ABP = \angle ACP. Відомо, що AB=6AB = 6, AC=8AC = 8, BC=7BC = 7 і BPPC=12\frac{BP}{PC} = \frac{1}{2}. Обчисліть ∣BPC∣∣ABC∣\frac{|BPC|}{|ABC|}. (Тут ∣XYZ∣|XYZ| позначає площу △XYZ\triangle XYZ.)
10–11 класиОсновна властивість бісектриси
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2025-010

Перетин бісектрис у трикутнику

Нехай ABCABC — трикутник, а DD — точка всередині трикутника ABCABC така, що ADAD ділить навпіл ∠BAC\angle BAC. Нехай пряма BDBD перетинає сторону ACAC у точці EE. Нехай пряма CDCD перетинає сторону ABAB у точці FF. Нехай TT — перетин (внутрішніх) бісектрис кутів ∠AED\angle AED і ∠AFD\angle AFD. Доведіть, що якщо TT лежить на відрізку ADAD, то трикутник ABCABC рівнобедрений.
10–11 класиОсновна властивість бісектриси2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-124

Прямокутний трикутник з висотою, бісектрисою й медіаною

Нехай ABCABC — трикутник із ∠BAC=90∘\angle BAC = 90^\circ. Нехай DD, EE і FF — основи висоти, бісектриси та медіани, проведених з AA до BCBC відповідно. Якщо DE=3DE = 3 і EF=5EF = 5, обчисліть довжину BCBC.
10–11 класиОсновна властивість бісектриси2 розв’язки
Італійська математична олімпіадаITAMO-2024-002

Рівнобедрений трикутник з бісектрисних перетинів

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, а DD — основа бісектриси, проведеної з AA. Нехай EE та FF — відповідно перетин прямої ACAC з описаним колом трикутника ABDABD і перетин прямої ABAB з описаним колом трикутника ACDACD. Нехай також PP — перетин прямих BEBE і CFCF. a. Доведіть, що трикутник PBCPBC — рівнобедрений. b. Доведіть, що BD:BE=CD:CFBD : BE = CD : CF. c. Нехай F′F^{\prime} — точка, симетрична точці FF відносно середини відрізка BCBC. Доведіть, що трикутник EBF′EBF^{\prime} подібний до трикутника ABCABC.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2023-010

Трикутник із рівним поділом кута

Маємо трикутник △ABC\triangle ABC і дві точки DD та EE на відрізку BCBC, такі, що ∠BAD=∠DAE=∠EAC\angle BAD = \angle DAE = \angle EAC. Крім того, ∣AB∣=6|AB| = 6, ∣BD∣=4|BD| = 4, ∣DE∣=2|DE| = 2 і ∣EA∣=3|EA| = 3. Дивіться рисунок праворуч: зауважте, його намальовано не в масштабі! Чому дорівнює довжина відрізка CECE? A) 2 B) 2142\frac{1}{4} C) 2122\frac{1}{2} D) 2342\frac{3}{4} E) 3
10–11 класиОсновна властивість бісектриси
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-011

Описаний чотирикутник і центри вписаних кіл трикутників

Опуклий чотирикутник ABCDABCD має вписане коло з центром II. Нехай IaI_a, IbI_b, IcI_c і IdI_d — центри вписаних кіл трикутників DABDAB, ABCABC, BCDBCD і CDACDA відповідно. Припустимо, що спільні дотичні до описаних кіл трикутників AIbIdAI_bI_d і CIbIdCI_bI_d перетинаються в точці XX і що зовнішні спільні дотичні до описаних кіл трикутників BIaIcBI_aI_c і DIaIcDI_aI_c перетинаються в точці YY. Доведіть, що XIY^=90∘\widehat{XIY} = 90^{\circ}.
10–11 класиГомотерія і подібність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-033

Бісектриса кута та відстані до перпендикулярної прямої

Нехай точка DD лежить на стороні BCBC трикутника ABCABC так, що ADAD — бісектриса ∠BAC\angle BAC, а ℓ\ell — пряма через AA, перпендикулярна до ADAD. Якщо відстані від BB і CC до прямої ℓ\ell дорівнюють 55 і 66 відповідно, обчисліть довжину відрізка ADAD.
10–11 класиОсновна властивість бісектриси
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-040

Згинання трикутника з умовою про середину

Елісенда має аркуш паперу у формі трикутника з вершинами AA, BB і CC такого, що AB=42AB = 42. Вона вибирає точку DD на відрізку ACAC і згинає папір уздовж прямої BDBD так, що AA потрапляє в точку EE на відрізку BCBC. Потім вона згинає папір уздовж прямої DEDE. При цьому BB потрапляє в середину відрізка DCDC. Обчисліть периметр початкового розгорнутого трикутника.
10–11 класиОсновна властивість бісектриси
Відбіркові тести на IMOTST-2023-014

Відстані від зовнівписаного центра і центра описаного кола

У трикутнику △ABC\triangle ABC, де ∠ABC<∠BCA\angle ABC < \angle BCA, позначимо через KK центр зовнівписаного кола, яке дотикається до сторони ACAC. Прямі AKAK і BCBC перетинаються в точці DD. Нехай EE — центр описаного кола трикутника △BKC\triangle BKC. Доведіть, що 1∣KA∣=1∣KD∣+1∣KE∣\frac{1}{|KA|} = \frac{1}{|KD|} + \frac{1}{|KE|}
10–11 класиЗовнівписане коло
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2023-011

Бісектриса в прямокутному трикутнику

Нехай трикутник ABCABC прямокутний у вершині AA. Нехай DD — точка на стороні ACAC така, що BDBD є бісектрисою кута ∠ABC\angle ABC. Доведіть, що BC−BD=2ABBC - BD = 2AB тоді й лише тоді, коли 1BD−1BC=12AB\frac{1}{BD} - \frac{1}{BC} = \frac{1}{2AB}.
10–11 класиОсновна властивість бісектриси
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-044

Площа в рівнобедреному прямокутному трикутнику

Нехай △ABC\triangle ABC — рівнобедрений прямокутний трикутник, у якого AB=AC=10AB = AC = 10. Нехай MM — середина сторони BCBC, а NN — середина відрізка BMBM. Нехай ANAN перетинає описане коло △ABC\triangle ABC знову в точці TT. Обчисліть площу △TBC\triangle TBC.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-067

Рівні кути з внутрішньої точки

Нехай точка PP лежить усередині трикутника ABCABC. Нехай прямі APAP, BPBP і CPCP перетинають сторони BCBC, CACA і ABAB у точках DD, EE і FF відповідно. Нехай ∠APB=∠BPC=∠CPA\angle APB = \angle BPC = \angle CPA, PD=14PD = \frac{1}{4}, PE=15PE = \frac{1}{5} і PF=17PF = \frac{1}{7}. Обчисліть AP+BP+CPAP + BP + CP.
10–11 класиОсновна властивість бісектриси
Американські математичні змагання 10 (AMC 10)AMC10-2021-027

Рівні кулі, що дотикаються всередині конуса

Усередині прямого кругового конуса, радіус основи якого 55, а висота 1212, розміщено три рівні кулі, кожна радіуса rr. Кожна куля дотикається двох інших куль, а також основи й бічної поверхні конуса. Чому дорівнює rr? (A) 32\frac{3}{2} (B) 90−40311\frac{90 - 40\sqrt{3}}{11} (C) 22 (D) 144−25344\frac{144 - 25\sqrt{3}}{44} (E) 52\frac{5}{2}
8–10 класиОсновна властивість бісектриси
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2021-025

Бісектриси в паралелограмі

Нехай ABCDABCD — паралелограм. Внутрішня бісектриса кута BAC^\widehat{BAC} перетинає відрізок [BC][BC] у точці EE, а його зовнішня бісектриса перетинає пряму (CD)(CD) у точці FF. Нехай MM — середина відрізка [AE][AE]. Доведіть, що прямі (EF)(EF) і (BM)(BM) паралельні.
9–11 класиОсновна властивість бісектриси4 розв’язки
Італійська математична олімпіадаITAMO-2021-010

Прямокутний трикутник з HD перпендикулярною BC і відношенням сторін

Нехай ABCABC — прямокутний трикутник з прямим кутом при BB. Нехай HH — основа висоти, проведеної з BB, а DD — перетин бісектриси кута при AA зі стороною BCBC. Припустімо, що відрізок HDHD перпендикулярний до BCBC. Чому дорівнює (ABBC)2\left(\frac{AB}{BC}\right)^2? (A) 52\frac{\sqrt{5}}{2} (B) 5−12\frac{\sqrt{5}-1}{2} (C) 5\sqrt{5} (D) 5+12\frac{\sqrt{5}+1}{2} (E) Такої конфігурації не існує.
10–11 класиПодібність в прямокутному трикутн…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-132

Радіус описаного кола через відрізки на бісектрисі

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з описаним колом Γ\Gamma. Нехай внутрішня бісектриса кута ∠BAC\angle BAC перетинає BCBC і Γ\Gamma у точках EE і NN відповідно. Нехай A′A' — точка на колі Γ\Gamma, діаметрально протилежна AA, а VV — точка перетину відрізка AA′AA' зі стороною BCBC. Відомо, що EV=6EV=6, VA′=7VA'=7 і A′N=9A'N=9. Обчисліть радіус кола Γ\Gamma.
10–11 класиОсновна властивість бісектриси2 розв’язки
Італійська математична олімпіадаITAMO-2020-014

Трикутник з бісектрисою і дотичним колом

Нехай ABCABC — трикутник, а DD — основа бісектриси, проведеної з вершини AA. Нехай ω\omega — коло, що дотикається до прямої ACAC в точці AA і проходить через DD. Нехай PP — друга точка перетину кола ω\omega з прямою BCBC. Відомо, що AC=54AC=54, AD=63AD=63 і CP=108CP=108. Знайдіть довжину відрізка ABAB. (A) 72 (B) 1472\frac{147}{2} (C) 98 (D) 99 (E) 102
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-039

Квадрат з рівними відрізками на сторонах

Розглянемо квадрат ABCDABCD з центром OO. Нехай E,F,GE, F, G і HH — внутрішні точки сторін AB,BC,CDAB, BC, CD і DADA відповідно, такі, що AE=BF=CG=DHAE = BF = CG = DH. Відомо, що OAOA перетинає HEHE в точці XX, OBOB перетинає EFEF в точці YY, OCOC перетинає FGFG в точці ZZ і ODOD перетинає GHGH в точці WW. Нехай xx і yy — довжини відрізків AEAE і AHAH відповідно. а) Якщо площа (EFGH)=1 см2(EFGH) = 1\ \text{см}^2, обчисліть значення x2+y2x^2 + y^2. б) Доведіть, що HX=yx+yHX = \frac{y}{x+y}. Далі доведіть, що X,Y,ZX, Y, Z і WW — вершини квадрата. в) Обчисліть Площа (ABCD)⋅(ABCD) \cdot Площа (XYZW)(XYZW).
10–11 класиОсновна властивість бісектриси
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-111

Відношення відрізків при зовнішній бісектрисі трикутника

У △ABC\triangle ABC зовнішня бісектриса кута ∠BAC\angle BAC перетинає пряму BCBC в точці DD. EE — точка на промені AC→\overrightarrow{AC} така, що ∠BDE=2∠ADB\angle BDE = 2 \angle ADB. Якщо AB=10AB = 10, AC=12AC = 12 і CE=33CE = 33, обчисліть відношення DBDE\frac{DB}{DE}.
10–11 класиОсновна властивість бісектриси
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-025

Відношення площ у трикутнику з медіаною

Нехай △ABC\triangle ABC — гострокутний трикутник, а MM — середина відрізка BC‾\overline{BC}, така, що AM=BCAM = BC. Нехай DD і EE — точки перетину внутрішніх бісектрис кутів ∠AMB\angle AMB і ∠AMC\angle AMC зі сторонами ABAB і ACAC відповідно. Знайдіть відношення площі △DME\triangle DME до площі △ABC\triangle ABC.
10–11 класиОсновна властивість бісектриси2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-028

Поворот трикутника і відношення відрізків

Трикутник △PNR\triangle P N R має довжини сторін PN=20P N = 20, NR=18N R = 18 і PR=19P R = 19. Розглянемо точку AA на стороні PNP N. Трикутник △NRA\triangle N R A повертають навколо RR до △N′RA′\triangle N' R A', так що RR, N′N' і PP лежать на одній прямій, а AA′A A' перпендикулярна до PRP R. Знайдіть PAAN\frac{P A}{A N}.
10–11 класиОсновна властивість бісектриси
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-043

Точки на бісектрисі з прямим кутом

Трикутник △ABC\triangle ABC має AB=21AB = 21, BC=55BC = 55 і CA=56CA = 56. Є дві точки PP у площині △ABC\triangle ABC, для яких ∠BAP=∠CAP\angle BAP = \angle CAP і ∠BPC=90∘\angle BPC = 90^{\circ}. Знайдіть відстань між ними.
10–11 класиОсновна властивість бісектриси
Естонська математична олімпіадаESTMO-2017-010

Бісектриса через середину відрізка до точки дотику

Нехай ABCABC — різносторонній трикутник з медіаною AMAM. Нехай KK — точка дотику вписаного кола трикутника ABCABC зі стороною BCBC. Доведіть, що якщо довжина сторони BCBC є середнім арифметичним довжин сторін ABAB і ACAC, то бісектриса кута BACBAC проходить через середину відрізка KMKM.
11 класОсновна властивість бісектриси
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2017-069

Бісектриса кута у дотичних колах

Нехай два кола ω1\omega_{1}, ω2\omega_{2} дотикаються одне до одного в точці TT, причому ω1\omega_{1} міститься всередині кола ω2\omega_{2}. Нехай MM і NN — дві різні точки на колі ω1\omega_{1}, відмінні від TT. Нехай [AB][AB] і [CD][CD] — дві хорди кола ω2\omega_{2}, що проходять відповідно через MM і NN. Припустимо, що відрізки [BD][BD], [AC][AC] і [MN][MN] перетинаються в одній точці KK. Доведіть, що пряма (TK)(TK) є бісектрисою кута MTN^\widehat{MTN}.
9–11 класиСтепінь точки відносно кола

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.