Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

139 задач
АлгебраПеріодичні і неперіодичні послідовності
Шорт-лист IMOIMOSL-2010-011

Максимальне розфарбування модульної таблиці

Рядки і стовпці таблиці 2n×2n2^{n} \times 2^{n} пронумеровано від 00 до 2n−12^{n}-1. Клітинки таблиці розфарбовано так, що виконується така властивість: для кожного 0≤i,j≤2n−10 \leq i, j \leq 2^{n}-1, jj-та клітинка в ii-му рядку і (i+j)(i+j)-та клітинка в jj-му рядку мають однаковий колір. (Індекси клітинок у рядку розглядаються за модулем 2n2^{n}.) Доведіть, що максимально можлива кількість кольорів дорівнює 2n2^{n}.
10–11 класиФункція vₚ(n) та її властивості
Шорт-лист IMOIMOSL-2006-012

Перемикання ламп за станом сусідів

Маємо n≥2n \geq 2 ламп L1,…,LnL_{1}, \ldots, L_{n} в ряд, кожна з яких або увімкнена, або вимкнена. Щосекунди ми одночасно змінюємо стан кожної лампи за таким правилом: - якщо лампа LiL_{i} та її сусіди (лише один сусід для i=1i=1 або i=ni=n, два сусіди для інших ii) перебувають в однаковому стані, то LiL_{i} вимикається; - інакше LiL_{i} вмикається. Спочатку всі лампи вимкнені, крім найлівішої, яка увімкнена. a. Доведіть, що існує нескінченно багато цілих чисел nn, для яких усі лампи зрештою виявляться вимкненими. b. Доведіть, що існує нескінченно багато цілих чисел nn, для яких лампи ніколи не будуть усі вимкненими.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Балтійський шляхBW-2002-016

Біноміальні коефіцієнти за модулем 2002

Доведіть, що послідовність (20022002),(20032002),(20042002),…\left(\begin{array}{l} 2002 \\ 2002 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 2003 \\ 2002 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 2004 \\ 2002 \end{array}\right), \ldots розглянута за модулем 20022002, є періодичною.
10–11 класиПеріодичні і неперіодичні послідо…
Балтійський шляхBW-1997-005

Періодичність послідовності, залежної від парності

У послідовності u0,u1,…u_{0}, u_{1}, \ldots натуральних чисел u0u_{0} — довільне, а для будь-якого невід'ємного цілого числа nn, un+1={12un для парного una+un для непарного unu_{n+1}= \begin{cases}\frac{1}{2} u_{n} & \text{ для парного } u_{n} \\ a+u_{n} & \text{ для непарного } u_{n}\end{cases} де aa — фіксоване непарне натуральне число. Доведіть, що послідовність, починаючи з деякого кроку, є періодичною.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Балтійський шляхBW-1996-006

Цілочисельна послідовність з рекурсією за парністю

Послідовність цілих чисел a1,a2,…a_{1}, a_{2}, \ldots така, що a1=1a_{1}=1, a2=2a_{2}=2 і для n≥1n \geq 1 an+2={5an+1−3an якщо an⋅an+1 парний, an+1−an якщо an⋅an+1 непарний. a_{n+2}= \begin{cases}5 a_{n+1}-3 a_{n} & \text{ якщо } a_{n} \cdot a_{n+1} \text{ парний, } \\ a_{n+1}-a_{n} & \text{ якщо } a_{n} \cdot a_{n+1} \text{ непарний. }\end{cases} Доведіть, що an≠0a_{n} \neq 0 для всіх nn.
10–11 класиМіркування за модулем
Американські математичні змагання 10 (AMC 10)AMC10-2024-017

Ітерований процес із діленням та збільшенням

Розглянемо таку операцію. Нехай дано натуральне число nn. Якщо nn кратне 33, то замініть nn на n3\frac{n}{3}. Якщо nn не кратне 33, то замініть nn на n+10n+10. Далі продовжуйте цей процес. Наприклад, починаючи з n=4n=4, ця процедура дає 4→14→24→8→18→6→2→12→…4 \rightarrow 14 \rightarrow 24 \rightarrow 8 \rightarrow 18 \rightarrow 6 \rightarrow 2 \rightarrow 12 \rightarrow \dots. Припустимо, що починаємо з n=100n=100. Яке значення отримаємо, якщо виконати цю операцію рівно 100100 разів? (A) 10 (B) 20 (C) 30 (D) 40 (E) 50
8–10 класиПеріодичні і неперіодичні послідо…
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2024-003

Послідовність з рекурентним співвідношенням через модуль

Розглянемо послідовність a1,a2,a3,…a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots, задану умовою a1=20242024a_{1} = 2024^{2024} і для кожного натурального числа nn, an+1=∣an−2∣.a_{n + 1} = \left|a_{n} - \sqrt{2}\right|. Доведіть, що існує ціле число kk таке, що ak+2=aka_{k + 2} = a_{k}. Тут ∣x∣|x| позначає абсолютну величину числа xx.
10–11 класиПеріодичні і неперіодичні послідо…
Нідерландська юніорська математична олімпіадаDJMO-2023-010

Трикутні числа, що закінчуються нулем

Трикутне число — це кількість кіл, які можна розмістити в рівносторонньому трикутнику певної висоти. Наприклад, на малюнку праворуч видно, що четверте трикутне число дорівнює 1010. Жасмин записує перші 10001000 трикутних чисел: 11, 33, 66, 1010, 1515, …\ldots. Скільки з цих чисел закінчуються на 00?
7–9 класиАрифметика остач (базові властиво…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-088

Послідовність з двома періодами

Нехай (un)n∈N\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} — послідовність, періодична з періодом 2022 і з періодом 5. Доведіть, що (un)\left(u_{n}\right) стала. Послідовність (un)\left(u_{n}\right) називається періодичною з періодом tt, якщо для кожного натурального числа nn виконується un+t=unu_{n+t}=u_{n}.
10–11 класиПеріодичні і неперіодичні послідо…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-095

Подільність у нелінійній рекурентній послідовності

Нехай (an)n⩾1\left(a_{n}\right)_{n \geqslant 1} — послідовність натуральних чисел така, що a1a_{1} і a2a_{2} взаємно прості і для всіх n⩾1n \geqslant 1 виконується an+2=anan+1+1a_{n+2}=a_{n} a_{n+1}+1. Доведіть, що для будь-якого цілого m>1m>1 існує n>mn>m таке, що amm∣anna_{m}^{m} \mid a_{n}^{n}. Чи залишається результат правильним при m=1m=1?
10–11 класиПеріодичні і неперіодичні послідо…
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2023-017

НСД членів рекурентної послідовності

Нехай xx, yy та a0a_{0}, a1a_{1}, a2a_{2}, …\ldots — цілі числа, що задовольняють a0=a1=0a_{0}=a_{1}=0 і an+2=x⋅an+1+y⋅an+1a_{n+2}=x \cdot a_{n+1}+y \cdot a_{n}+1 для всіх цілих n≥0n \geq 0. Нехай pp — довільне просте число. Доведіть, що НСД(ap,ap+1)\text{НСД}\left(a_{p}, a_{p+1}\right) або дорівнює 11, або більше за p\sqrt{p}.
10–11 класиПеріодичні і неперіодичні послідо…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-055

Подільність тягне остаточну періодичність

Нехай (an)n⩾1\left(a_{n}\right)_{n \geqslant 1} — послідовність натуральних чисел така, що an+2ma_{n+2 m} ділить an+an+ma_{n}+a_{n+m} для всіх цілих чисел m⩾1m \geqslant 1 і n⩾1n \geqslant 1. Доведіть, що ця послідовність є остаточно періодичною, тобто існують цілі числа N⩾1N \geqslant 1 і d⩾1d \geqslant 1 такі, що an=an+da_{n}=a_{n+d} для всіх n⩾Nn \geqslant N.
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-001

Нескінченний добуток із факторіальними показниками

Чи є ∏k=0∞(1−12022k!)\prod_{k=0}^{\infty}\left(1-\frac{1}{2022^{k!}}\right) раціональним?
10–11 класиСистеми числення
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2021-005

Перерозподіл монет за круглим столом

Навколо круглого столу сидять n≥3n \ge 3 гравців. Ведучий роздає nn монет гравцям так, що не кожен отримує рівно одну монету. Кожен гравець бачить кількість монет у кожного іншого гравця. Кожні 10 секунд ведучий дзвонить у дзвінок. У цей момент кожен гравець дивиться, скільки монет мають його двоє сусідів. Потім вони всі одночасно роблять таке: Якщо гравець має більше монет, ніж принаймні один із його сусідів, гравець віддає рівно одну монету. Він віддає цю монету сусідові з найменшою кількістю монет. Якщо обидва його сусіди мають однакову кількість монет, він віддає монету сусідові ліворуч. Якщо гравець не має більше монет, ніж принаймні один із його сусідів, гравець нічого не робить і чекає наступного раунду. Гра закінчується, якщо кожен має рівно одну монету. a) Для кожного n≥3n \ge 3 знайдіть початковий розподіл монет так, щоб гра ніколи не закінчилася (і доведіть, що для вашого початкового розподілу гра не закінчується). b) Для кожного n≥4n \ge 4 знайдіть початковий розподіл монет на початку гри так, щоб гра закінчилася (і доведіть, що для вашого початкового розподілу гра закінчується).
10–11 класиКонструкція через періодичність
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2021-015

Опуклий многокутник з рівним поділом кутів

Нехай P1P2…P2021P_{1} P_{2} \ldots P_{2021} — опуклий многокутник з 2021 вершиною такий, що для кожної вершини PiP_{i} 2018 діагоналей, що виходять з PiP_{i}, ділять кут P^i\widehat{P}_{i} на 2019 рівних кутів. Доведіть, що P1P2…P2021P_{1} P_{2} \ldots P_{2021} — правильний многокутник, тобто многокутник, у якого всі кути мають однакову величину, а всі сторони мають однакову довжину.
8–10 класиЛінійні рекурентні послідовності
Відбірковий тест на BxMO та EGMOBXTST-2020-001

Вершини на колі з добутком сусідніх чисел

Для цілого n≥3n \ge 3 розглянемо коло з nn вершинами. Кожній вершині поставимо у відповідність натуральне число, причому ці числа не обов’язково мають бути різними. Таке призначення чисел називається стабільним, якщо добуток будь-яких трьох сусідніх чисел дорівнює nn. Для скількох значень nn, 3≤n≤20203 \le n \le 2020, існує стабільне призначення?
10–11 класиПеріодичні і неперіодичні послідо…
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2020-002

Послідовність із раціональним рекурентним співвідношенням

Для заданого значення tt розглядаємо числові послідовності a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \dots такі, що an+1=an+tan+1a_{n+1} = \frac{a_n + t}{a_n + 1} для всіх n≥1n \ge 1. a. Нехай t=2t = 2. Знайдіть усі початкові значення a1>0a_1 > 0 такі, що 43≤an≤32\frac{4}{3} \le a_n \le \frac{3}{2} виконується для всіх n≥2n \ge 2. b. Нехай t=−3t = -3. Дослідіть, чи a2020=a1a_{2020} = a_1 для всіх початкових значень a1a_1, відмінних від −1-1 і 11.
10–11 класиПеріодичні і неперіодичні послідо…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-098

Вкладені модулі 2019 з x, y та відношення x/y

Додатні дійсні числа xx і yy задовольняють ∣∣⋯∣∣∣x∣−y∣−x∣⋯−y∣−x∣=∣∣⋯∣∣∣y∣−x∣−y∣⋯−x∣−y∣||\cdots|||x|-y|-x| \cdots-y|-x|=||\cdots|||y|-x|-y| \cdots-x|-y| де з кожного боку є 2019 знаків модуля ∣⋅∣|\cdot|. Знайдіть з доведенням усі можливі значення xy\frac{x}{y}.
10–11 класиЦиклічні підстановки (метод орбіт)
Відбіркові тести на IMOTST-2020-004

Стабільне розміщення чисел на колі з умовою добутку

Для натурального числа n≥3n \geq 3 розглянемо коло з nn точками на ньому. У кожній точці поставимо натуральне число, причому числа не обов'язково мають бути різними. Таке розміщення чисел називається стабільним, якщо будь-які три сусідні числа завжди мають добуток nn. Для скількох значень nn з 3≤n≤20203 \leq n \leq 2020 можна розмістити числа стабільним чином?
10–11 класиПеріодичні і неперіодичні послідо…
Відбіркові тести на IMOTST-2019-020

Виграшна стратегія у грі з двома купками

Нехай (a,b)(a, b) — пара натуральних чисел. Геннінг і Пауль грають у гру: спочатку на столі лежать дві купки з aa та bb камінців відповідно. Пара (a,b)(a, b) називається початковою конфігурацією гри. Гравці діють так: - Гравці ходять по черзі, причому починає Геннінг. - Кожного ходу гравець або забирає додатну кількість камінців з однієї з двох купок, або однакову додатну кількість камінців з обох купок. - Гравець, який забирає останній камінець зі столу, виграє гру. Нехай AA — множина всіх натуральних чисел aa, для яких існує натуральне число b<ab<a таке, що Пауль має виграшну стратегію для початкової конфігурації (a,b)(a, b). Впорядкуємо елементи множини AA за зростанням як a1<a2<…a_{1}<a_{2}<\ldots a. Доведіть, що множина AA нескінченна. b. Доведіть, що послідовність (mk)k≥1\left(m_{k}\right)_{k \geq 1}, визначена як mk:=ak+1−akm_{k}:=a_{k+1}-a_{k} для всіх k≥1k \geq 1, не є зрештою періодичною. Зауваження: Послідовність (xk)k≥1\left(x_{k}\right)_{k \geq 1} є зрештою періодичною, якщо існує ціле число k0≥0k_{0} \geq 0 таке, що послідовність (xk+k0)k≥1\left(x_{k+k_{0}}\right)_{k \geq 1} є періодичною.
10–11 класиВиграшні та програшні позиції: ан…2 розв’язки
Італійська математична олімпіадаITAMO-2019-010

Послідовність зі сталою сумою чотирьох членів

Дано послідовність із 2019 чисел a1,a2,a3,…,a2019a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots, a_{2019}. Відомо, що сума будь-яких 4 послідовних членів послідовності є сталою. Так само різниця за абсолютною величиною двох послідовних чисел є сталою (тобто ∣a1−a2∣=∣a2−a3∣=∣a3−a4∣=…\left|a_{1}-a_{2}\right|=\left|a_{2}-a_{3}\right|=\left|a_{3}-a_{4}\right|=\ldots). Крім того, відомо, що a1<a2<a3a_{1}<a_{2}<a_{3} і що a2=6a_{2}=6. Чому дорівнює сума всіх чисел послідовності? (A) 2019 (B) 2020 (C) 4038 (D) 12114 (E) Даних недостатньо, щоб її визначити
10–11 класиПеріодичні і неперіодичні послідо…
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2019-009

Періодична послідовність з рекурентним співвідношенням

Знайдіть усі періодичні послідовності x1,x2,x3,…x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots з додатних дійсних чисел таких, що для всіх n≥1n \geq 1 xn+2=12(1xn+1+xn)x_{n+2}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x_{n+1}}+x_{n}\right)
10–11 класиПеріодичні і неперіодичні послідо…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-013

Періодичність послідовності, заданої многочленом

Нехай PP — многочлен з раціональними коефіцієнтами степеня не менше 22, а (qn)n∈N\left(q_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} — послідовність раціональних чисел така, що для всякого n⩾0n \geqslant 0 виконується qn=P(qn+1)q_{n} = P\left(q_{n+1}\right). Доведіть, що послідовність qnq_{n} починаючи з деякого місця є періодичною.
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2017-010

Гра з ітерованою послідовністю за модулем

Каті та Пеетер грають у таку гру. Спочатку Каті пише на дошці натуральне число a>2016a > 2016. Потім Пеетер починає дописувати на дошку нові числа, додаючи на кожному кроці число 2016b+12016b + 1, де bb — найбільше число на дошці. Пеетер виграє, якщо в якийсь момент він напише число, яке ділиться на 20172017. Інакше виграє Каті. Чи може Каті виграти, і якщо так, то яке найменше число aa вона може написати, щоб виграти?
10–11 класиАрифметика остач (базові властиво…
Французька математична олімпіадаFRMO-2017-018

3-адичний показник у лінійному рекурентному співвідношенні

Послідовність задано так: {u0=15, u1=57un=un−1+un−2  для всіх n≥2\left\{\begin{array}{l} u_{0}=15,\ u_{1}=57 \\ u_{n}=u_{n-1}+u_{n-2}\ \text{ для всіх } n \geq 2 \end{array}\right. Знайдіть найбільше ціле число kk таке, що 3k∣u20173^{k} \mid u_{2017}.
10–11 класиАрифметика остач (базові властиво…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.