Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

374 задачі
ГеометріяСтепінь точки відносно кола
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-14-15-131

Два кола, дотичні з точки C і паралельність прямих

Два кола ω1\omega_1 і ω2\omega_2 перетинаються в точках AA і BB. На прямій ABAB відмічено точку CC таку, що точка BB лежить між точками AA і CC. Точку PP вибрано на колі ω1\omega_1 так, що вона лежить зовні кола ω2\omega_2 і пряма CPCP дотикається до кола ω1\omega_1. Аналогічно точку QQ вибрано на колі ω2\omega_2 так, що вона лежить зовні кола ω1\omega_1 і пряма CQCQ дотикається до кола ω2\omega_2. Пряма PQPQ перетинає кола ω1\omega_1 і ω2\omega_2 в точках RR і SS відповідно, причому жодна із цих точок не збігається з точками PP, QQ чи BB. Припустимо, що пряма CRCR вдруге перетинає коло ω1\omega_1 у точці XX, а пряма CSCS вдруге перетинає коло ω2\omega_2 в точці YY. Нехай ZZ — точка на прямій XYXY. Доведіть, що прямі SZSZ і QXQX паралельні тоді і лише тоді, коли паралельними є прямі PZPZ і RXRX.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-14-15-160

Прямий кут з медіаною, бісектрисою та ортоцентром

У трикутнику ABCABC проведено медіану AMAM і бісектрису ALAL. Дотичні до описаного кола трикутника ABCABC, які проведені через точки BB і CC, перетинаються в точці FF. Пряма AFAF вдруге перетинає це коло в точці KK (K≠A)(K \neq A). Пряма AMAM перетинається з описаним колом трикутника AKLAKL в точці PP (P≠A)(P \neq A). Нехай HH — ортоцентр трикутника ABCABC. Доведіть, що ∠APH=90∘\angle APH = 90^\circ.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-14-15-170

Прямокутник на бісектрисах кута A трикутника

Точка PP лежить на внутрішній бісектрисі кута AA трикутника ABCABC. Точка DD — середина BCBC, PDPD перетинає зовнішню бісектрису кута BACBAC у точці EE. Точку FF вибрали таким чином, що PAEFPAEF — прямокутник. Доведіть, що PFPF — внутрішня або зовнішня бісектриса кута BFCBFC.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Київський турнір математичних боївKMB-13-14-192

Рівність відношень для кола в основі висоти

Нехай ADAD — висота трикутника ABCABC. Коло ww, що дотикається до сторони BCBC у точці DD, перетинає сторону ABAB у точках MM, NN, а сторону ACAC — у точках PP, QQ. Доведіть рівність AM+ANAC=AP+AQAB\dfrac{AM+AN}{AC}=\dfrac{AP+AQ}{AB}.
9 класСтепінь точки відносно кола
Київський турнір математичних боївKMB-13-14-217

Пряма B1C1 та рівність AP = AQ

Описане коло ww гострокутного трикутника ABCABC має центром точку OO. Нехай BO∩AC=B1BO \cap AC = B_1, CO∩AB=C1CO \cap AB = C_1. Пряма B1C1B_1C_1 перетинає коло ww у точках PP і QQ. Доведіть, що коли AP=AQAP = AQ, то AB=ACAB = AC.
9 класАнтипаралельні прямі
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-13-14-186

Гострокутний трикутник з кутом 45° і висоти

Задано гострокутний нерівнобедрений трикутник ABCABC, у якому ∠A=45∘\angle A = 45^\circ. Висоти ADAD, BEBE, CFCF перетинаються в точці HH, пряма EFEF перетинає сторону BCBC у точці PP. Нехай точка II — середина BCBC і пряма IFIF перетинає PHPH у точці QQ. а) Доведіть, що ∠IQH=∠AIE\angle IQH = \angle AIE. б) Нехай KK — ортоцентр трикутника AEFAEF, ww — описане коло трикутника KPDKPD, JJ — центр ww. Пряма CKCK перетинає коло ww у точці GG (K≠G)(K \ne G), пряма IGIG перетинає ww у точці MM (M≠G)(M \ne G), пряма JCJC перетинає коло, побудоване на BCBC як на діаметрі, у точці NN (C≠N)(C \ne N). Доведіть, що точки GG, MM, NN, CC циклічні.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-13-14-198

Спільна дотична до двох кіл всередині третього

Два кола γ1\gamma_1 і γ2\gamma_2 перетинаються в точках QQ та RR і дотикаються внутрішнім чином до кола γ\gamma в точках A1A_1 і A2A_2 відповідно. Нехай PP — довільна точка на колі γ\gamma. Відрізки PA1PA_1 і PA2PA_2 перетинають кола γ1\gamma_1 і γ2\gamma_2 в точках B1B_1 і B2B_2 відповідно. Доведіть, що пряма B1B2B_1B_2 — спільна дотична до кіл γ1\gamma_1 і γ2\gamma_2 тоді і тільки тоді, коли точка PP належить прямій QRQR.
10–11 класиРадикальна вісь
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-13-14-234

Точка з кутами в чотирикутнику та колінеарність O, E

У чотирикутнику ABCDABCD точка OO — центр описаного кола, а точка EE — перетин діагоналей. Усередині чотирикутника вибрано точку PP таку, що ∠PAB+∠PCB=∠PBC+∠PDC=90∘\angle PAB + \angle PCB = \angle PBC + \angle PDC = 90^\circ. Доведіть, що точки PP, EE та OO колінеарні.
10–11 класиРадикальна вісь
Київський турнір математичних боївKMB-12-13-179

Перпендикуляр до медіани та два дотичні кола

У гострокутному трикутнику ABCABC провели медіану AMAM і висоти BB1BB_1 та CC1CC_1. Перпендикуляр до AMAM, що проходить через точку AA, перетинає прямі BB1BB_1 і CC1CC_1 у точках EE та FF. Нехай PP та QQ — точки перетину двох кіл, кожне з яких лежить усередині кола, описаного навколо трикутника EFMEFM, дотикається до цього кола в точці, що лежить по інший бік від прямої EFEF, ніж точка MM, а також дотикається до відрізка EFEF. Доведіть, що точки MM, PP та QQ лежать на одній прямій.
10–11 класиРадикальна вісь
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-11-12-230

Дотична B1C1 до кола BTC і рівність кутів

На сторонах BCBC, CACA та ABAB трикутника ABCABC позначили відповідно точки A1A_1, B1B_1 і C1C_1 таким чином, що прямі AA1AA_1, BB1BB_1 і CC1CC_1 перетинаються в деякій точці всередині трикутника. Нехай TT — точка перетину прямих AA1AA_1 і B1C1B_1C_1, а MM — середина сторони BCBC. Відомо, що пряма B1C1B_1C_1 дотикається до описаного кола трикутника BTCBTC. Доведіть, що ∠BTM=∠A1TC\angle BTM = \angle A_1TC.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-11-12-172

Спільне коло шести точок на прямих середин

Точки A′A', B′B' і C′C' — середини відповідно сторін BCBC, CACA й ABAB трикутника ABCABC. Нехай A1A_1 і A2A_2 — дві різні точки на прямій B′C′B'C', B1B_1 і B2B_2 — дві різні точки на прямій C′A′C'A', а C1C_1 і C2C_2 — дві різні точки на прямій A′B′A'B'. Відомо, що AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2.AA_1 = AA_2 = BB_1 = BB_2 = CC_1 = CC_2. Доведіть, що точки A1A_1, A2A_2, B1B_1, B2B_2, C1C_1 і C2C_2 лежать на одному колі.
10–11 класиКоло Ейлера (коло 9 точок)
Київський турнір математичних боївKMB-10-11-081

Довжина відрізка ON за довжинами OK, OL, OM

У чотирикутник ABCDABCD вписано коло з центром у точці OO. Через точки AA, BB, CC та DD перпендикулярно до OAOA, OBOB, OCOC та ODOD проведено прямі lal_a, lbl_b, lcl_c та ldl_d відповідно. Прямі lal_a та lbl_b перетинаються в точці KK, прямі lbl_b та lcl_c — у точці LL, lcl_c та ldl_d — у точці MM, нарешті, прямі ldl_d та lal_a перетинаються в точці NN. За умови, що довжини відрізків OKOK, OLOL та OMOM дорівнюють відповідно pp, qq та rr, знайдіть довжину відрізка ONON.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Київський турнір математичних боївKMB-09-10-161

Геометричне місце точок C1 для трикутника на параболі

На декартовій площині зображено графік функції y=x2y = x^2. Хорда ABAB цієї параболи паралельна осі абсцис. Для кожної точки CC, яка лежить на параболі та відмінна від точок AA і BB, знаходимо точку C1C_1, що належить колу, описаному навколо трикутника ABCABC. При цьому хорда кола CC1CC_1 паралельна осі ординат. Знайдіть ГМТ C1C_1, коли CC пробігає всю параболу, за винятком точок AA і BB.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-09-10-160

Спільна точка кіл через точки дотику в трикутнику

У трикутнику ABCABC, такому, що CA≠CBCA \ne CB, CLCL — бісектриса кута CC. Вписане в трикутник ABCABC коло дотикається до сторін ABAB, BCBC, CACA відповідно в точках MM, NN, PP, зовнівписане коло трикутника ABCABC дотикається до сторони ABAB і продовжень сторін CACA і CBCB відповідно в точках QQ, SS, TT. Доведіть, що кола, описані навколо трикутників PSLPSL, NTLNTL, CMQCMQ, мають спільну точку.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-09-10-164

Внутрішня точка трикутника і пряма XY паралельна BC

Нехай DD — довільна внутрішня точка трикутника ABCABC, EE — довільна точка відрізка ADAD, відмінна від DD. Кола ω1\omega_1 і ω2\omega_2, описані навколо трикутників BDEBDE і CDECDE, перетинають сторону BCBC у точках FF і GG відповідно. XX — точка перетину DGDG і ABAB, YY — точка перетину DFDF і ACAC. Доведіть, що XY∥BCXY \parallel BC.
10–11 класиТеорема Менелая
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-09-10-128

Геометричне місце ортоцентрів трикутників ABP з діаметром AB

Нехай ω\omega — коло та PP — фіксована точка, що не належить ω\omega. Знайдіть геометричне місце ортоцентрів трикутників ABPABP, де ABAB — діаметр кола ω\omega.
9 класІнверсія
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-09-10-165

Площа ламаної ABHSA у трикутнику з ортоцентром

Трикутник ABCABC, у якого кути BB і CC не перевищують 90∘90^\circ, вписаний у коло з центром у точці KK і радіусом R=1R=1. Нехай HH — ортоцентр трикутника ABCABC, SS — точка перетину прямих HKHK і BCBC. Визначте площу, яку обмежує замкнена ламана ABHSAABHSA, якщо відомо, що SK⋅(SK−SH)=1SK \cdot (SK - SH) = 1.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-09-10-169

Два рівні кола, січна і рівність відрізків

Два рівних кола S1S_1 та S2S_2 перетинаються у двох різних точках. Пряма ll перетинає коло S1S_1 у точках AA, CC, а коло S2S_2 — у точках BB, DD, причому розташування точок на прямій таке: AA, BB, CC, DD. Кола Γ1\Gamma_1 і Γ2\Gamma_2 визначаються так: вони обидва дотикаються до кола S1S_1 внутрішнім чином, до кола S2S_2 — зовнішнім і обидва з двох різних боків дотикаються до прямої ll. Припустимо, що кола Γ1\Gamma_1 і Γ2\Gamma_2 дотикаються одне до одного. Доведіть тоді, що AB=CDAB = CD.
10–11 класиГомотерія і подібність
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-09-10-135

Вписаний прямокутний трикутник, дотичні та кут EMK

У коло вписали прямокутний трикутник ABCABC з гіпотенузою ABAB. Нехай KK — середина дуги BCBC, що не містить точку AA, NN — середина відрізка ACAC, MM — точка перетину променя KNKN з колом. У точках AA і CC провели дотичні до кола, які перетинаються в точці EE. Доведіть, що ∠EMK=90∘\angle EMK = 90^\circ.
9 класСтепінь точки відносно кола
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-09-10-178

Геометричне місце перетину кіл з діаметром на прямій

На площині дано коло Γ\Gamma і пряма ll, що не перетинаються. Знайдіть геометричне місце точок перетину всіх можливих кіл з діаметром ABAB, де {A, B}\{A,\, B\} — така довільна пара точок на прямій ll, для якої існують точки P, Q, R, SP,\, Q,\, R,\, S на колі Γ\Gamma, такі, що PQ∩RS=APQ \cap RS = A і PS∩QR=BPS \cap QR = B.
10–11 класиКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-09-10-203

Перпендикулярність AC і PQ у вписаному чотирикутнику

Чотирикутник ABCDABCD вписано в коло діаметром BDBD. A1A_1 і B1B_1 — точки, симетричні AA і BB відносно BDBD і ACAC відповідно. Нехай PP — точка перетину прямих CA1CA_1 і BDBD, QQ — точка перетину DB1DB_1 і ACAC. Доведіть, що ACAC і PQPQ — перпендикулярні.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-09-10-207

Рівність для центра вписаного кола чотирикутника

OO — центр і rr — радіус кола, вписаного в чотирикутник ABCDABCD. Нехай PP — точка перетину прямих ABAB і CDCD, QQ — точка перетину прямих ADAD і BCBC, EE — точка перетину діагоналей ACAC і BDBD. Доведіть, що OE⋅d=r2OE \cdot d = r^2, де dd — відстань від точки OO до прямої PQPQ.
10–11 класиРадикальна вісь
Київський турнір математичних боївKMB-08-09-051

Чотирикутник з точок дотику двох вписаних кіл

Коло, що вписане у ΔABC\Delta ABC дотикається до його сторін BC,CA,ABBC, CA, AB у точках D,E,FD, E, F відповідно. Точка XX – внутрішня точка ΔABC\Delta ABC, коло, що вписане у ΔXBC\Delta XBC дотикається до його сторін BC,CX,XBBC, CX, XB у точках D,Y,ZD, Y, Z відповідно. Довести, що чотирикутник EFZYEFZY – вписаний.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-08-09-138

Вписаний рівносторонній трикутник і дотичні до меншого кола

Два кола дотикаються одне до одного внутрішнім чином і рівносторонній трикутник вписане у більше з них. З кожної вершини цього трикутника провели один з відрізків дотичної до меншого кола. Доведіть, що довжина одного з цих відрізків дорівнює сумі довжин двох інших.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-08-09-101

Медіана, висоти і колінеарність перетинів дотичних кіл

У трикутнику ABCABC AMAM – медіана, BB1BB_1, CC1CC_1 – висоти. Через точку AA провели пряму, перпендикулярну AMAM, яка перетинає BB1BB_1, CC1CC_1 в точках E,FE, F відповідно. Нехай kk – коло, описане навколо трикутника EFMEFM, а k1k_1 і k2k_2 – кола, що дотикаються до прямої EFEF і дотикаються (внутрішнім чином) дуги EFEF кола kk, що не містить точку MM. Точки перетину k1k_1 і k2k_2 позначимо PP і QQ. Доведіть, що точки P,Q,MP, Q, M лежать на одній прямій.
8–9 класиКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.