Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

146 задач
АлгебраВластивості ін'єктивність або сюр'єктивність функцій
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-09-10-003

Функціональне рівняння з виразами x f(x + y)

Знайдіть усі функції f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, такі, що для усіх xx, yy виконується рівність f(xf(x+y))=f(yf(x))+x2.f(xf(x+y)) = f(yf(x)) + x^2.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-07-08-005

Функціональне рівняння f(x + f(y)) = f(x + y) + f(y)

Знайти усі функції f:R+→R+f : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+ такі, що f(x+f(y))=f(x+y)+f(y)f(x + f(y)) = f(x + y) + f(y) для усіх x,y∈R+x, y \in \mathbb{R}^+. (Символом R+\mathbb{R}^+ тут позначено множину усіх додатних дійсних чисел).
10–11 класиМетод допоміжних функцій: g(x) =…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-02-03-004

Функціональне рівняння з f(x - f(y))

Знайдіть усі такі функції f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, що для всіх x∈Rx \in \mathbb{R} та y∈Ry \in \mathbb{R} виконується рівність f(x−f(y))=f(x)+xf(y)+f(f(y))f\left(x - f(y)\right) = f(x) + xf(y) + f\left(f(y)\right).
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Європейський математичний кубокEMC-2024-008

Функціональне рівняння з виразом x + y f(x)

Знайдіть усі функції f:(0,+∞)→(0,+∞)f: (0, +\infty) \to (0, +\infty), при яких для всіх додатних чисел x,yx, y справджується рівність: f(x+yf(x))=xf(1+y).f(x + yf(x)) = xf(1+y).
10–11 класиВластивості монотонності або обме…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2024-006

Чарівні функції та суми значень у протилежних точках

Нехай Q\mathbb{Q} — множина раціональних чисел. Функцію f:Q→Qf : \mathbb{Q} \to \mathbb{Q} назвемо чарівною, якщо справджується така властивість: для будь-яких чисел x,y∈Qx, y \in \mathbb{Q} має місце рівність f(x+f(y))=f(x)+yабоf(f(x)+y)=x+f(y).f(x + f(y)) = f(x) + y \quad \text{або} \quad f(f(x) + y) = x + f(y). Доведіть, що існує таке ціле число cc, коли для будь-якої чарівної функції ff існують не більше ніж cc різних раціональних чисел вигляду f(r)+f(−r)f(r) + f(-r), де r∈Qr \in \mathbb{Q}, та знайдіть найменше значення числа cc.
10–11 класиВластивості ін'єктивність або сюр…
Європейський математичний кубокEMC-2023-008

Ін'єктивність функції з умовою про повні квадрати

Нехай функція f:N→Nf : \mathbb{N} \to \mathbb{N} така, що для всіх натуральних чисел xx та yy число f(x)+yf(x) + y є повним квадратом тоді й тільки тоді, коли число x+f(y)x + f(y) є повним квадратом. Доведіть, що ff — ін’єктивна функція. Примітка. Функцію f:N→Nf : \mathbb{N} \to \mathbb{N} називають ін’єктивною, якщо для всіх пар (x,y)(x, y) різних натуральних чисел справджується умова f(x)≠f(y)f(x) \neq f(y).
10–11 класиВластивості ін'єктивність або сюр…
Математичний матч Чехія–Австрія–Польща–СловаччинаCAPS-2022-002

Функціональне рівняння з дробом y+1 поділеним на f(y)

Знайдіть усі такі функції f:(0,+∞)→(0,+∞)f: (0, +\infty) \to (0, +\infty), що рівність f(f(x)+y+1f(y))=1f(y)+x+1f\left(f(x) + \frac{y+1}{f(y)}\right) = \frac{1}{f(y)} + x + 1 справджується для всіх x,y>0x, y > 0.
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2021-037

Цілі значення для ітерованого функціонального рівняння

Знайдіть усі k∈Zk \in \mathbb{Z} такі, що існує функція f:Z→Zf : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}, яка задовольняє f(f(n))=n+kf(f(n)) = n + k для всіх n∈Zn \in \mathbb{Z}.
10–11 класиВластивості ін'єктивність або сюр…
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2021-002

Функціональне рівняння з f(xf(x)+y) та x²

Знайдіть усі функції f:Q→Qf : \mathbb{Q} \to \mathbb{Q} такі, що рівність f(xf(x)+y)=f(y)+x2f(xf(x)+y)=f(y)+x^2 справджується при всіх раціональних xx, yy.
10–11 класиВластивості ін'єктивність або сюр…
Шорт-лист IMOIMOSL-2021-004

Циклічне функціональне рівняння на дійсних числах

Знайдіть усі функції f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, які задовольняють (f(a)−f(b))(f(b)−f(c))(f(c)−f(a))=f(ab2+bc2+ca2)−f(a2b+b2c+c2a)(f(a)-f(b))(f(b)-f(c))(f(c)-f(a))=f\left(a b^{2}+b c^{2}+c a^{2}\right)-f\left(a^{2} b+b^{2} c+c^{2} a\right) для всіх дійсних чисел a,b,ca, b, c.
10–11 класиВластивості ін'єктивність або сюр…
Європейський математичний кубокEMC-2020-008

Рівняння з f(x + y) і f(x f(y) + 1)

Позначимо множину як R+=(0,+∞)\mathbb{R}^+ = (0, +\infty). Знайдіть усі функції f:R+→R+f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+ такі, що для довільних x,y∈R+x, y \in \mathbb{R}^+ справджується рівність xf(x+y)+f(xf(y)+1)=f(xf(x)).xf(x + y) + f(xf(y) + 1) = f(xf(x)).
10–11 класиВластивості ін'єктивність або сюр…
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2020-004

Сюр'єктивні функції, що зберігають вільні від сум множини

Множину A⊂NA \subset N називають вільною від сум, якщо для довільних та не обов’язково різних елементів xx, yy цієї множини їхня сума x+y∉Ax+y \notin A. Знайдіть усі сюр’єктивні функції f:N→Nf:\mathbb{N} \to \mathbb{N}, для яких кожна вільна від сум множина AA має образом множину f(A)={f(a)∣a∈A}f(A)=\{f(a) \mid a \in A\}, також вільну від сум. Примітка. Функцію f:N→Nf:\mathbb{N} \to \mathbb{N} називають сюр’єктивною, якщо ∀n∈N∃m∈N: f(m)=n.\forall n \in \mathbb{N}\quad \exists m \in \mathbb{N}:\ f(m)=n.
10–11 класиВластивості ін'єктивність або сюр…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2019-005

Кубічне функціональне рівняння на дійсних числах

Знайдіть усі функції f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} такі, що f(x3+y3)=f(x3)+3x3f(x)f(y)+3f(x)(f(y))2+y6f(y)f(x^3 + y^3) = f(x^3) + 3x^3f(x)f(y) + 3f(x)(f(y))^2 + y^6f(y) для будь-яких двох дійсних чисел xx і yy.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Шорт-лист IMOIMOSL-2015-008

Періодична послідовність різниць функції

Нехай Z>0\mathbb{Z}_{>0} позначає множину натуральних чисел. Розглянемо функцію f:Z>0→Z>0f: \mathbb{Z}_{>0} \rightarrow \mathbb{Z}_{>0}. Для будь-яких m,n∈Z>0m, n \in \mathbb{Z}_{>0} пишемо fn(m)=f(f(…f⏟n(m)…))f^{n}(m)=\underbrace{f(f(\ldots f}_{n}(m) \ldots)). Припустимо, що ff має такі дві властивості: (i) Якщо m,n∈Z>0m, n \in \mathbb{Z}_{>0}, то fn(m)−mn∈Z>0\frac{f^{n}(m)-m}{n} \in \mathbb{Z}_{>0}; (ii) Множина Z>0\{f(n)∣n∈Z>0}\mathbb{Z}_{>0} \backslash\left\{f(n) \mid n \in \mathbb{Z}_{>0}\right\} скінченна. Доведіть, що послідовність f(1)−1,f(2)−2,f(3)−3,…f(1)-1, f(2)-2, f(3)-3, \ldots є періодичною.
10–11 класиАрифметична прогресія
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2014-006

Функціональне рівняння з квадратом і добутком

Знайдіть усі функції f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, що задовольняють співвідношення f(y2+2xf(y)+f2(x))=(y+f(x))(x+f(y))f\left(y^2+2xf(y)+f^2(x)\right)=(y+f(x))(x+f(y)) для довільних дійсних чисел xx, yy.
10–11 класиВластивості ін'єктивність або сюр…
Шорт-лист IMOIMOSL-2013-003

Функціональне рівняння на невід'ємних цілих числах

Нехай Z⩾0\mathbb{Z}_{\geqslant 0} — множина всіх невід'ємних цілих чисел. Знайдіть усі функції f:Z⩾0→Z⩾0f: \mathbb{Z}_{\geqslant 0} \rightarrow \mathbb{Z}_{\geqslant 0}, які задовольняють співвідношення f(f(f(n)))=f(n+1)+1f(f(f(n)))=f(n+1)+1 для всіх n∈Z⩾0n \in \mathbb{Z}_{\geqslant 0}.
10–11 класиВластивості ін'єктивність або сюр…
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2012-003

Функціональне рівняння з f(yf(x+y)+f(x))

Знайдіть усі функції f ⁣:R→Rf\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}, які для довільних дійсних чисел xx та yy задовольняють рівність f(yf(x+y)+f(x))=4x+2yf(x+y).f(yf(x+y)+f(x))=4x+2yf(x+y).
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2011-005

Функціональне рівняння з f(f(x + y) − x)

Нехай R\mathbb{R} позначає множину дійсних чисел. Знайдіть усі функції f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} такі, що xf(f(y))+yf(y−x)=f(f(x+y)−x)f(y)x f(f(y)) + y f(y - x) = f(f(x + y) - x) f(y) для всіх x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2010-003

Функції, для яких добуток є квадратом

Знайдіть усі функції g ⁣:N→Ng\colon \mathbf{N} \to \mathbf{N}, такі, що для довільних натуральних чисел m, nm,\, n число (g(m)+n)(m+g(n))(g(m) + n)(m + g(n)) є квадратом натурального числа.
10–11 класиФункція vₚ(n) та її властивості
Шорт-лист IMOIMOSL-2010-003

Взаємно рекурентні цілочисельні функції

Нехай ff і gg — дві функції, визначені на множині натуральних чисел, які набувають натуральних значень. Припустимо також, що рівності f(g(n))=f(n)+1f(g(n))=f(n)+1 і g(f(n))=g(n)+1g(f(n))= g(n)+1 виконуються для всіх натуральних чисел. Доведіть, що f(n)=g(n)f(n)=g(n) для всіх натуральних чисел nn.
10–11 класиВластивості ін'єктивність або сюр…2 розв’язки
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2009-005

Функції з трикутником зі сторонами a, f(b) і f(b + f(a) - 1)

Знайдіть усі функції f:N→Nf : \mathbb{N} \to \mathbb{N} (тобто функції, що визначені на множині усіх натуральних чисел та приймають натуральні значення) такі, що для будь-яких двох натуральних чисел aa та bb існує невироджений трикутник, довжини сторін якого дорівнюють трьом числам aa, f(b)f(b) та f(b+f(a)−1)f\left(b + f(a) - 1\right). (Трикутник називається невиродженим, якщо його вершини не лежать на одній прямій).
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Шорт-лист IMOIMOSL-2008-003

Функціональне рівняння з пропущеним значенням

Нехай f:R→Nf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{N} — функція, яка задовольняє f(x+1f(y))=f(y+1f(x)) для всіх x,y∈Rf\left(x+\frac{1}{f(y)}\right)=f\left(y+\frac{1}{f(x)}\right) \quad \text{ для всіх } x, y \in \mathbb{R} Доведіть, що існує натуральне число, яке не є значенням функції ff.
10–11 класиВластивості ін'єктивність або сюр…
Шорт-лист IMOIMOSL-2007-019

Сюр'єктивна функція з подільністю на прості числа

Знайдіть усі сюр'єктивні функції f:N→Nf: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} такі, що для будь-яких m,n∈Nm, n \in \mathbb{N} і кожного простого числа pp число f(m+n)f(m+n) ділиться на pp тоді й лише тоді, коли f(m)+f(n)f(m)+f(n) ділиться на pp. (N\mathbb{N} — множина всіх натуральних чисел.)
10–11 класиАрифметика остач (базові властиво…
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-0000-002

Функціональне рівняння з f(f(x)f(y)+y)

Знайдіть усі функції f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} такі, що f(f(x)f(y)+y)=f(x)y+f(y−x+1)f(f(x) f(y)+y)=f(x) y+f(y-x+1) для всіх x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}.
10–11 класиВластивості ін'єктивність або сюр…
Відбіркові тести на IMOTST-2024-006

f(f(m)f(n)) = mn з нерухомими точками 2024a + 1

Знайдіть усі функції f:Z>0→Z>0f: \mathbb{Z}_{>0} \to \mathbb{Z}_{>0} такі, що для всіх натуральних чисел mm, nn і aa виконується: 1. f(f(m)f(n))=mn;f(f(m)f(n)) = mn; 2. f(2024a+1)=2024a+1.f(2024a + 1) = 2024a + 1.
10–11 класиВластивості ін'єктивність або сюр…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.