Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

2 443 задачі
ГеометріяКола
Відкрита олімпіада Рішельєвського ліцеюRLMO-2001-011

Бісектриса, середина дуги та рівновеликі частини трикутника

Навколо трикутника ABCABC описано коло. Нехай точка MM — середина сторони ACAC, BDBD — бісектриса трикутника ABCABC, причому точка DD лежить між точками AA і MM. Із середини PP дуги ACAC, що містить точку BB, проведено перпендикуляр PNPN до сторони BCBC. Доведіть, що відрізок NDND ділить трикутник ABCABC на дві рівновеликі фігури.
Допоміжне коло (перекидання кутів)
Відкрита олімпіада Рішельєвського ліцеюRLMO-2001-020

Дотичні до описаного кола і висота трикутника

Навколо гострокутного трикутника ABCABC описано коло. Дотичні до цього кола, що проведені в точках AA і CC, перетинають дотичну до кола, побудовану в точці BB, у точках MM і NN відповідно. Нехай BDBD — висота трикутника ABCABC. Доведіть, що ∠MDB=∠NDB\angle MDB = \angle NDB.
Дотична кола
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-24-25-003

Опуклий п'ятикутник і перетин прямих KP, LQ, MD

Нехай ABCDEABCDE — опуклий п'ятикутник, точка MM — середина сторони ABAB. Відомо, що відрізок ABAB дотикається в точці MM до кола, описаного навколо трикутника CMECME, а точка DD лежить на перетині кіл, описаних навколо трикутників AMEAME та BMCBMC. Прямі ADAD та MEME перетинаються в точці KK, а прямі BDBD та MCMC — у точці LL. Точки PP та QQ на прямій CECE такі, що ∠PDC=∠EDQ=∠ADB.\angle PDC = \angle EDQ = \angle ADB. Доведіть, що прямі KPKP, LQLQ та MDMD перетинаються в одній точці.
10–11 класиГомотерія і подібність
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-24-25-005

Вписаний чотирикутник з паралельною хордою і дотик кола

Нехай ABCDABCD — такий вписаний у коло ω\omega чотирикутник, для якого AE=ECAE=EC, де E=AC∩BDE=AC \cap BD. Точка FF вибрана на колі ω\omega таким чином, що AC∥BFAC \parallel BF. Доведіть, що якщо GG — точка, симетрична точці FF відносно вершини AA, то описане коло трикутника ADGADG дотикається до прямої ACAC.
10–11 класиСиметрія
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-24-25-010

Дві точки на стороні трикутника і центр описаного кола

На стороні ACAC трикутника ABCABC обрали дві різні точки PP, QQ такі, що AP⋅AQ=BP⋅BQ=CP⋅CQAP \cdot AQ = BP \cdot BQ = CP \cdot CQ. Доведіть, що описане коло трикутника BPQBPQ проходить через центр описаного кола трикутника ABCABC.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-24-25-002

Трапеція, точки на описаних колах і паралельність

Нехай ABCDABCD — трапеція з основами AB<CDAB < CD. Прямі ADAD та BCBC перетинаються в точці PP. На описаному колі трикутника ABCABC вибрана така точка X≠CX \neq C, для якої PC=PXPC = PX. На описаному колі трикутника ABDABD вибрана така точка Y≠DY \neq D, для якої PD=PYPD = PY. Прямі AXAX та BYBY перетинаються в точці QQ. Доведіть, що PQ∥ABPQ \parallel AB.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-24-25-007

Три прямі BC, EF і AX у гострокутному трикутнику

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, у якому AB<ACAB < AC, вписаний у коло Γ\Gamma. Висоти ADAD, BEBE, CFCF трикутника ABCABC перетинаються в точці HH. Пряма AMAM вдруге перетинає коло Γ\Gamma в точці NN, де MM — середина сторони BCBC. Описані кола трикутників AHMAHM та ADNADN вдруге перетинаються в точці XX. Доведіть, що прямі BCBC, EFEF, AXAX перетинаються в одній точці.
10–11 класиРадикальна вісь
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-24-25-012

Бісектриси кутів вписаного чотирикутника і спільне коло

Вписаний чотирикутник ABCDABCD задовольняє умову AB+AD=CB+CDAB + AD = CB + CD. Нехай ω\omega — коло діаметром ACAC, EE — одна з двох точок перетину бісектриси кута ABCABC та кола ω\omega, що розташована далі від точки BB. Аналогічно, FF — точка перетину бісектриси кута ADCADC та кола ω\omega, що розташована далі від точки DD. Доведіть, що точки BB, EE, DD та FF лежать на одному колі.
10–11 класиСиметрія
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-23-24-002

Точки на сторонах трикутника і сума кутів

Точки DD, EE, FF вибрано на сторонах BCBC, ACAC, ABAB трикутника ABCABC відповідно. Точки KK та LL вибрано по той самий бік відносно прямої FEFE, що й точка AA, так, що точки KK та CC лежать по різні боки відносно прямої ABAB, а точки BB та LL лежать по різні боки відносно прямої ACAC, причому ∠KFE=∠BDE\angle KFE = \angle BDE, ∠LEF=∠FDC\angle LEF = \angle FDC та ∠AKF=∠ABC\angle AKF = \angle ABC, ∠ALE=∠ACB\angle ALE = \angle ACB. Доведіть, що ∠AKB+∠ALC=180∘\angle AKB + \angle ALC = 180^\circ.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-23-24-008

Два кола, хорди-дотичні та коло ABZ до PQ

Нехай кола γ\gamma та ω\omega перетинаються в точках AA та BB і нехай DD — довільна точка на колі γ\gamma. Точки PP та QQ лежать на колі γ\gamma так, що хорди DPDP і DQDQ дотикаються до кола ω\omega в точках XX та YY відповідно. Пряма XYXY перетинає пряму PQPQ в точці ZZ. Доведіть, що описане коло трикутника ABZABZ дотикається до прямої PQPQ.
10–11 класиІнверсія
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-23-24-011

Паралельні сторони двох трикутників зі спільними колами

Трикутники A1B1C1A_1B_1C_1 та A2B2C2A_2B_2C_2 мають спільне описане коло із центром OO та спільне вписане коло, що дотикається до сторін B1C1B_1C_1 та B2C2B_2C_2 в точках T1T_1 і T2T_2 відповідно. Доведіть, що коли B1C1∥B2C2B_1C_1 \parallel B_2C_2 (ці прямі не збігаються), то прямі A1T2A_1T_2 та A2T1A_2T_1 перетинаються на описаному колі трикутника A1A2OA_1A_2O.
10–11 класиЗовнівписане коло
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-23-24-002

Перетин прямих DT і HS на описаному колі

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з ортоцентром у точці HH та описаним колом Γ\Gamma. Нехай DD — точка, діаметрально протилежна точці AA на колі Γ\Gamma. Пряма, що проходить через точку HH паралельно прямій BCBC, перетинає прямі ABAB та ACAC у точках XX та YY відповідно. Нехай пряма ADAD вдруге перетинає описане коло трикутника DXYDXY у точці S≠DS \ne D. Нехай дотична до кола Γ\Gamma у точці AA перетинає пряму XYXY у точці TT. Доведіть, що прямі DTDT і HSHS перетинаються на колі Γ\Gamma.
10–11 класиІнверсія
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-23-24-010

Рівність відстаней до AB і CD у вписаному чотирикутнику

Усередині вписаного різностороннього чотирикутника ABCDABCD вибрано точку PP так, що ∠APB=∠C+∠D2\angle APB = \frac{\angle C + \angle D}{2} та ∠CPD=∠A+∠B2\angle CPD = \frac{\angle A + \angle B}{2}. Доведіть, що відстані від точки PP до сторін ABAB і CDCD рівні.
10–11 класиРадикальна вісь
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-22-23-002

Точки X і Y на колах ABD і ACE

У гострокутному трикутнику ABCABC відрізок AFAF — висота, а PP — точка на відрізку AFAF. Прямі, що проходять через точку PP паралельно сторонам ACAC та ABAB, перетинають сторону BCBC у точках DD та EE відповідно. Точки X≠AX \ne A та Y≠AY \ne A вибрано відповідно на описаних колах трикутників ABDABD та ACEACE так, що DA=DXDA = DX та EA=EYEA = EY. Доведіть, що точки BB, CC, XX, YY лежать на одному колі.
10–11 класиРадикальна вісь
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-22-23-008

Трикутник з кутом 60°, пряма Ейлера і симедіана

У трикутнику ABCABC відомо, що ∠A=60∘\angle A = 60^\circ, пряма Ейлера перетинає описане коло трикутника в точках UU та VV, ADAD — висота трикутника ABCABC, а ω\omega — його коло дев’яти точок. Коло Ω\Omega, описане навколо трикутника UVDUVD, удруге перетинає коло ω\omega в точці KK. Точка SS така, що KSKS — діаметр кола ω\omega. Доведіть, що ASAS — симедіана трикутника ABCABC. Примітка. Пряма Ейлера — це пряма, що проходить через ортоцентр, центр описаного кола та точку перетину медіан трикутника. Коло дев’яти точок — це коло, на якому лежать основи висот, середини сторін і середини відрізків між вершинами та ортоцентром трикутника. Симедіана трикутника, що проведена з вершини AA, — це пряма, симетрична медіані, проведеній із вершини AA, відносно бісектриси, проведеній із вершини AA.
10–11 класиКоло Ейлера (коло 9 точок)
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-22-23-011

Дві паралельні січні і кола трикутників з перпендикулярів

Нехай у деякому трикутнику ABCABC прямі l1,l2l_1, l_2 — паралельні. Для i=1,2i = 1, 2 нехай пряма lil_i перетинає прямі BCBC, CACA, ABAB у точках Xi,Yi,ZiX_i, Y_i, Z_i відповідно. Прямі, що проходять через точку XiX_i перпендикулярно до прямої BCBC, через точку YiY_i — перпендикулярно до прямої CACA та через точку ZiZ_i — перпендикулярно до прямої ABAB, утворюють невироджений трикутник Δi\Delta_i. Доведіть, що кола, описані навколо невироджених трикутників Δ1\Delta_1 і Δ2\Delta_2, дотикаються один до одного.
10–11 класиГомотерія і подібність
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-22-23-002

Симетрична середина BC на EF та AM до AO

У гострокутному нерівнобедреному трикутнику ABCABC провели висоти BEBE і CFCF. Позначимо через MM та OO середину сторони BCBC та центр описаного кола трикутника ABCABC відповідно. Відомо, що точка, симетрична точці MM відносно точки OO, лежить на прямій EFEF. Знайдіть усі можливі значення відношення AMAO\dfrac{AM}{AO}.
10–11 класиТочка перетину висот
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-22-23-004

Спільна дотична двох кіл і перетин прямих на колі

Одну з точок перетину кіл ω1\omega_1 та ω2\omega_2 позначимо літерою AA. Спільна зовнішня дотична до кіл ω1,ω2\omega_1, \omega_2 дотикається до них у точках T1,T2T_1, T_2 відповідно. Нехай B1,B2B_1, B_2 — довільні точки на колах ω1,ω2\omega_1, \omega_2 відповідно, відмінні від точок T1,T2T_1, T_2 і такі, що трикутник AB1B2AB_1B_2 — невироджений. Нехай ω\omega — описане коло трикутника AB1B2AB_1B_2. Промені T1B1,T2B2T_1B_1, T_2B_2 перетинають коло ω\omega вдруге в точках C1,C2C_1, C_2 відповідно. Доведіть, що прямі C1T2,C2T1C_1T_2, C_2T_1 перетинаються на колі ω\omega.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-22-23-009

Точка дотику вписаного кола і три точки на колі

Вписане коло трикутника ABCABC із центром у точці II дотикається до сторони BCBC у точці DD. Пряма, що проходить через точку AA, перетинає прямі BCBC, BIBI, CICI в точках XX, YY, ZZ відповідно. Описане коло трикутника ABCABC перетинає вдруге описані кола трикутників AIYAIY та AIZAIZ у точках UU та VV відповідно. Доведіть, що точки DD, UU, VV, XX лежать на одному колі.
10–11 класиІнверсія
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-21-22-003

Точки на бісектрисі трикутника та кут AMD

На бісектрисі ALAL різностороннього трикутника ABCABC вибрано точку KK. Точка PP лежить по той самий бік відносно прямої BCBC, що й точка AA, причому ∠BPL=∠CKL\angle BPL = \angle CKL і ∠CPL=∠BKL\angle CPL = \angle BKL. Точка MM — середина відрізка KPKP, а точка DD — проєкція точки KK на сторону BCBC. Доведіть, що ∠AMD=180∘−∣∠ABC−∠ACB∣\angle AMD = 180^\circ - |\angle ABC - \angle ACB|.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-21-22-009

Паралелограм, два кола і перетин трьох прямих

Нехай чотирикутник ABCDABCD — паралелограм, у якому AC=BCAC = BC. Довільна точка PP лежить на промені ABAB за точкою BB. Описане коло трикутника ACDACD перетинає відрізок PDPD вдруге в точці QQ, а описане коло трикутника APQAPQ перетинає вдруге відрізок PCPC в точці RR. Доведіть, що прямі CDCD, AQAQ і BRBR перетинаються в одній точці.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-21-22-002

Трикутник з кутом 120° і коло, дотичне до AC

У трикутнику ABCABC, у якому ∠A=120∘\angle A = 120^\circ, відмітили центр OO описаного кола. Позначимо через PP та QQ основи перпендикулярів, проведених із вершини BB відповідно на прямі COCO та AOAO. Нехай точка MM — середина відрізка AOAO. Доведіть, що описане коло трикутника MPQMPQ дотикається до прямої ACAC.
10–11 класиІнші точки трикутника
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-21-22-004

Симетричні кола в чотирикутнику і перетин на AC

Дано чотирикутник ABCDABCD з рівними кутами при вершинах BB і DD. Відомо, що кола ω1\omega_1, ω2\omega_2 симетричні відносно прямої ACAC, причому коло ω1\omega_1 проходить через точку BB та перетинає вдруге прямі ABAB та BCBC у точках KK та LL відповідно, а коло ω2\omega_2 проходить через точку DD та перетинає вдруге прямі CDCD та ADAD у точках MM та NN відповідно. Доведіть, що прямі KMKM та LNLN перетинаються на прямій ACAC.
10–11 класиСиметрія
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-21-22-012

Умова на точку T і відношення IP до IQ

На стороні BCBC трикутника ABCABC знайшлася така точка TT, що BA+BT=CA+CTBA + BT = CA + CT та AT2=AB⋅ACAT^2 = AB \cdot AC. Нехай точка II — інцентр трикутника ABCABC. Пряма, що проходить через інцентр II перпендикулярно до прямої AIAI, перетинає описане коло трикутника ABCABC у точках PP і QQ. Знайдіть усі можливі значення відношення IP:IQIP : IQ.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-20-21-004

Гострокутний трикутник ABC, кола через A і прямі PQ

Нехай точка OO — центр описаного кола Ω\Omega фіксованого гострокутного трикутника ABCABC, у якому AB<ACAB < AC. Точку DD вибрано на стороні BCBC так, що ∠BDO=∠ACB+12∠BAC\angle BDO = \angle ACB + \frac{1}{2}\angle BAC. Коло ω\omega, центр якого рівновіддалений від точок OO і DD, перетинає коло Ω\Omega у точках AA і QQ. Також це коло ω\omega перетинає пряму, що проходить через точку DD перпендикулярно до прямої BCBC, у точці PP, яка лежить усередині кола Ω\Omega по той самий бік від прямої BCBC, що й точка AA. Доведіть, що незалежно від вибору кола ω\omega усі прямі PQPQ проходять через фіксовану точку.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.