Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

1 352 задачі
АлгебраПослідовності і суми
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-064

Циклічна сума зі значеннями функції Ейлера

Для будь-якого натурального числа nn нехай N=φ(1)+φ(2)+…+φ(n)N=\varphi(1)+\varphi(2)+\ldots+\varphi(n). Доведіть, що існує послідовність a1,a2,…,aNa_{1}, a_{2}, \ldots, a_{N} яка містить рівно φ(k)\varphi(k) входжень числа kk для всіх натуральних чисел k≤nk \leq n така, що 1a1a2+1a2a3+⋯+1aNa1=1.\frac{1}{a_{1} a_{2}}+\frac{1}{a_{2} a_{3}}+\cdots+\frac{1}{a_{N} a_{1}}=1 .
10–11 класиФункція Ейлера φ(n)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-110

Випадкове блукання на комплексних перетвореннях

Джейкоб починає з деякого комплексного числа x0x_{0}, відмінного від 00 і 11. Він неодноразово підкидає чесну монету. Якщо n-теn^{\text{-те}} підкидання випадає гербом, він покладає xn=1−xn−1x_{n} = 1 - x_{n-1}, а якщо випадає решкою — xn=1xn−1x_{n} = \frac{1}{x_{n-1}}. Для всіх можливих виборів x0x_{0} знайдіть усі можливі значення ймовірності того, що x2012=x0x_{2012} = x_{0}.
10–11 класиШляхи на графах
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-017

Швидкість кулі після подвоєнь при зіткненнях

Марк і Вільям грають у гру. Дві стіни стоять на відстані 1 метра одна від одної, причому Марк і Вільям запускають кожен свою кулю від однієї зі стін. Одночасно вони випускають свої кулі прямо одна назустріч одній. Обидві кулі зачаровані так, що при зіткненні одна з одною вони миттєво розвертаються і летять удвічі швидше, ніж раніше. Крім того, Марк зачарував свою кулю так, що коли вона вдаряється об стіну, то миттєво розвертається і летить удвічі швидше, ніж раніше (куля Вільяма розвертається з тією самою швидкістю). Спочатку куля Марка рухається зі швидкістю 11000\frac{1}{1000} метрів/с, а куля Вільяма рухається зі швидкістю 1 метр/с. Марк перемагає, коли його куля проходить середину між двома стінами. З якою швидкістю, у метрах/с, летить його куля, коли це вперше відбувається?
10–11 класиГеометрична прогресія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-025

Випадкове блукання на торичній шаховій дошці

ФемтоПравіс гуляє шаховою дошкою 8×88 \times 8, яка загортається по краях (тобто клітинки лівого краю дошки суміжні з клітинками правого краю, і так само для верхнього та нижнього країв). Кожну фемтосекунду ФемтоПравіс переміщується в одному з чотирьох діагональних напрямів рівноймовірно навмання. Через 2012 фемтосекунд яка ймовірність того, що ФемтоПравіс перебуває на своїй початковій клітинці?
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-033

Добуток розмірів підмножин

Нехай QQ — добуток розмірів усіх непорожніх підмножин множини {1,2,…,2012}\{1,2, \ldots, 2012\}, а M=log⁡2(log⁡2(Q))M= \log_{2}\left(\log_{2}(Q)\right). Наведіть нижню й верхню межі LL та UU для MM. Якщо 0<L≤M≤U0<L \leq M \leq U, то ваша оцінка становитиме min⁡(23,⌊233(U−L)⌋)\min \left(23,\left\lfloor\frac{23}{3(U-L)}\right\rfloor\right). Інакше ваша оцінка дорівнюватиме 0.
10–11 класиЛогарифми
Відбіркові тести на IMOTST-2012-041

Рекурентна послідовність із цілою частиною середнього та взаємно простими зсувами

Нехай x0,x1,…,xn0−1x_0, x_1, \dots, x_{n_0-1} — цілі числа, а d1,d2,…,dkd_1, d_2, \dots, d_k — натуральні числа, причому n0=d1>d2>⋯>dkn_0 = d_1 > d_2 > \dots > d_k і НСД(d1,d2,…,dk)=1\text{НСД}(d_1, d_2, \dots, d_k) = 1. Для кожного цілого n≥n0n \ge n_0 визначимо xn=⌊xn−d1+xn−d2+⋯+xn−dkk⌋.x_n = \left\lfloor \frac{x_{n-d_1} + x_{n-d_2} + \dots + x_{n-d_k}}{k} \right\rfloor. Доведіть, що послідовність {xn}\{x_n\} зрештою стає сталою.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Італійська математична олімпіадаITAMO-2012-014

Мінімальна різниця голів у серії матчів

Марко, Фабріціо і Джованні, три математики, викликають групу з чотирьох фізиків на турнір з настільного футболу (який складається з певної кількості матчів), у якому наприкінці перемагає група, що забила найбільшу загальну кількість голів. У кожному матчі фізики забивають на 2 голи більше, ніж забили в попередньому, починаючи з 1 гола в першому. Відомо, що загальна кількість голів, забитих фізиками й математиками, дорівнює 330, і що саме математики здобувають перемогу в турнірі. Визначте мінімальну різницю голів, яка могла виникнути. (A) 1 гол (B) 2 голи (C) 24 голи (D) 42 голи (E) 48 голів.
10–11 класиАрифметична прогресія
Італійська математична олімпіадаITAMO-2012-022

Послідовність зі зростанням і спаданням навперемінно

Кількість чорнила, використаного для складання тексту для Математичної олімпіади, підпорядковується дивному закону: у непарні роки вона збільшується на 50%50\% порівняно з попереднім роком, у парні роки зменшується на шосту частину (завжди порівняно з попереднім роком). Через скільки років вона вперше стане принаймні втричі більшою, ніж у 2012 році? (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 (E) 9.
10–11 класиГеометрична прогресія
Італійська математична олімпіадаITAMO-2012-005

Аналіз стратегії подвоєння в рулетці

Мартіно думає, що відкрив метод, щоб вигравати в рулетку, або принаймні щоб не програвати забагато грошей. Він завжди ставить на червоне. Починає зі ставки 1 євро; щоразу, коли програє, подвоює попередню ставку, а щоразу, коли виграє, у наступній ставці ставить 1 євро. Одного дня він має при собі 31 євро і йде грати, вирішивши, що піде геть, щойно або програє 5 разів поспіль, або виграє 5 разів поспіль, або ж залишиться без грошей раніше, ніж станеться одна з цих двох можливостей. a. Якою буде найменша кількість ігор, яку він муситиме зробити, щоб закінчити гру з 31 євро, якщо він виходить із 5 поразками? b. Якою буде найменша кількість ігор, яку він муситиме зробити, щоб закінчити гру з 31 євро, якщо він виходить із 5 перемогами? c. Якщо він виходить із 5 перемогами, яким щонайменше буде його підсумковий капітал?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2012-008

Квадратичне рекурентне співвідношення зі сталою послідовністю

Послідовність {xn∣n=0,1,2,…}\{x_{n} \mid n=0,1,2, \ldots\} дійсних чисел задано залежно від дійсного параметра aa так: {x0=axn+1=2−xn2 при n≥0\left\{ \begin{array}{l} x_{0}=a \\ x_{n+1}=2-x_{n}^{2} \quad \text{ при } n \geq 0 \end{array} \right. a. Знайдіть усі значення aa, для яких xnx_{n} є сталою (тобто виконується xn=ax_{n}=a для всіх nn). b. Доведіть, що для одного зі значень, знайдених у пункті (a) (позначимо його yy), якщо ∣a∣<∣y∣,∣xn∣<∣y∣|a|<|y|,\left|x_{n}\right|<|y| для всіх nn. c. Доведіть, що якщо ∣a∣>∣y∣,xn|a|>|y|, x_{n} є строго спадною.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2012-015

Подільність на квадрат простого числа для виразу степеня мінус один

Нехай pp — просте число. Знайдіть усі натуральні числа nn, для яких така умова виконується для всіх цілих чисел xx: Умова: якщо xn−1x^n - 1 ділиться на pp, то воно також ділиться на p2p^2.
10–11 класиМала теорема Ферма
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2012-010

Різниця цілих частин обернених чисел

Для дійсного числа rr через [r][r] позначимо найбільше ціле число, яке не перевищує rr. Скільки існує натуральних чисел nn, для яких виконується ⌊1000000n⌋−⌊1000000n+1⌋=1\lfloor \frac{1000000}{n} \rfloor - \lfloor \frac{1000000}{n+1} \rfloor = 1?
10–11 класиЦіла та дробова частини числа
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2012-012

Послідовність Соманаччі з фіксованим членом

Послідовність Соманаччі задається трьома початковими членами, кожен з яких — натуральне число, менше за 20122012. Кожен член послідовності, починаючи з четвертого, дорівнює сумі всіх попередніх чисел. Скільки різних послідовностей Соманаччі містять 20122012 як один зі своїх членів?
8–9 класиГеометрична прогресія
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2012-006

Сюр'єктивне функціональне рівняння на додатних числах

Знайдіть усі сюр'єктивні функції f:(0,+∞)→(0,+∞)f: (0, +\infty) \to (0, +\infty) такі, що 2x⋅f(f(x))=(f(f(x))+x)⋅f(x)2x \cdot f(f(x)) = (f(f(x)) + x) \cdot f(x) для всіх x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty). Функція f:A→Bf: A \to B називається сюр'єктивною тоді й лише тоді, коли область значень функції ff дорівнює BB, тобто для всіх y∈By \in B існує x∈Ax \in A таке, що f(x)=yf(x) = y.
10–11 класиЦиклічні підстановки (метод орбіт)
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2012-001

Гострокутний трикутник серед обмежених відношень

Знайдіть усі цілі числа n≥3n \ge 3, для яких серед будь-яких nn додатних дійсних чисел a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n, що задовольняють умову max⁡(a1,a2,…,an)≤n⋅min⁡(a1,a2,…,an),\max(a_1, a_2, \ldots, a_n) \le n \cdot \min(a_1, a_2, \ldots, a_n), знайдуться три, які є довжинами сторін гострокутного трикутника.
10–11 класиЧисла Фібоначі
Естонська математична олімпіадаESTMO-2011-008

Цілі числа як суми членів арифметичної прогресії

Знайдіть усі цілі числа, які не можна подати у вигляді суми принаймні трьох послідовних членів деякої несталої арифметичної послідовності цілих чисел.
11 класАрифметична прогресія2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-007

Сума цілих чисел за модулем

Знайдіть остачу від ділення 1+2+⋯+20141+2+\cdots+2014 на 20122012.
10–11 класиАрифметика остач (базові властиво…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-080

Тригонометричні значення в геометричній прогресії

Знайдіть кількість кутів θ\theta між 00 і 2π2\pi, відмінних від цілих кратних π/2\pi/2, таких, що величини sin⁡θ\sin \theta, cos⁡θ\cos \theta і tg⁡θ\operatorname{tg} \theta утворюють геометричну прогресію в деякому порядку.
10–11 класиТригонометричні рівняння
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-135

Невласний інтеграл від степеня логарифма

Обчисліть ∫1∞(ln⁡xx)2011dx.\int_{1}^{\infty}\left(\frac{\ln x}{x}\right)^{2011} dx.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-026

Ймовірність у грі з монетою з фібоначчієвими вагами

Розенкранц і Гільденстерн грають у гру, в якій вони неодноразово підкидають чесну монету. Нехай a1=4a_{1}=4, a2=3a_{2}=3, а an=an−1+an−2a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2} для всіх n≥3n \geq 3. На nn-му підкиданні, якщо випадає герб, Розенкранц платить Гільденстерну ana_{n} доларів, а якщо випадає решка, Гільденстерн платить Розенкранцу ana_{n} доларів. Якщо гра триває 2010 ходів, яка ймовірність того, що Розенкранц у підсумку матиме більше грошей, ніж на початку?
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-028

Рекурентна послідовність з добутком мінус сума

Послідовність цілих чисел {ai}\{a_{i}\} задано так: ai=ia_{i} = i для всіх 1≤i≤51 \leq i \leq 5, а ai=a1a2⋯ai−1−1a_{i} = a_{1} a_{2} \cdots a_{i-1} - 1 для всіх i>5i > 5. Обчисліть a1a2⋯a2011−∑i=12011ai2a_{1} a_{2} \cdots a_{2011} - \sum_{i=1}^{2011} a_{i}^{2}.
10–11 класиСуми послідовностей
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-002

Максимальна кількість кроків алгоритму Евкліда

Нехай aa і bb — натуральні числа, такі, що a>ba > b. Визначимо послідовність впорядкованих пар (al,bl)(a_{l}, b_{l}) для невід'ємних цілих ll за правилами a0=aa_{0} = a, b0=bb_{0} = b і (al+1,bl+1)=(bl,al mod bl)(a_{l+1}, b_{l+1}) = (b_{l}, a_{l} \bmod b_{l}), де для будь-яких натуральних чисел xx і yy вираз x mod yx \bmod y означає остачу від ділення xx на yy. Визначимо f(a,b)f(a, b) як найменше натуральне число jj, таке, що bj=0b_{j} = 0. Для натурального числа nn визначимо g(n)g(n) як max⁡1≤k≤n−1f(n,k)\max_{1 \leq k \leq n-1} f(n, k). а. Для натурального числа mm: яке найменше натуральне число nmn_{m}, таке, що g(nm)=mg(n_{m}) = m? б. Яке друге найменше?
10–11 класиАлгоритм Евкліда
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-140

Квадратична рекурента з умовами монотонності

Нехай f(x)=x2−r2x+r3f(x) = x^{2} - r_{2} x + r_{3} для всіх дійсних чисел xx, де r2r_{2} і r3r_{3} — деякі дійсні числа. Визначимо послідовність {gn}\{g_{n}\} для всіх невід'ємних цілих чисел nn рівностями g0=0g_{0} = 0 і gn+1=f(gn)g_{n+1} = f(g_{n}). Припустимо, що {gn}\{g_{n}\} задовольняє такі три умови: (i) g2i<g2i+1g_{2i} < g_{2i+1} і g2i+1>g2i+2g_{2i+1} > g_{2i+2} для всіх 0≤i≤20110 \leq i \leq 2011; (ii) існує натуральне число jj таке, що gi+1>gig_{i+1} > g_{i} для всіх i>ji > j; (iii) {gn}\{g_{n}\} необмежена. Якщо AA — найбільше число таке, що A≤∣r2∣A \leq |r_{2}| для будь-якої функції ff, яка задовольняє ці властивості, знайдіть AA.
10–11 класиМетод допоміжних функцій: g(x) =…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-120

Добуток значень многочлена в коренях з одиниці

Нехай z=cos⁡2π2011+isin⁡2π2011z = \cos \frac{2\pi}{2011} + i \sin \frac{2\pi}{2011}, і нехай P(x)=x2008+3x2007+6x2006+…+2008⋅20092x+2009⋅20102P(x) = x^{2008} + 3 x^{2007} + 6 x^{2006} + \ldots + \frac{2008 \cdot 2009}{2} x + \frac{2009 \cdot 2010}{2} для всіх комплексних чисел xx. Обчисліть P(z)P(z2)P(z3)…P(z2010)P(z) P\left(z^{2}\right) P\left(z^{3}\right) \ldots P\left(z^{2010}\right).
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-141

Добуток многочлена у коренях з одиниці

Нехай z=cos⁡2π2011+isin⁡2π2011z = \cos \frac{2\pi}{2011} + i \sin \frac{2\pi}{2011}, і нехай P(x)=x2008+3x2007+6x2006+…+2008⋅20092x+2009⋅20102P(x) = x^{2008} + 3 x^{2007} + 6 x^{2006} + \ldots + \frac{2008 \cdot 2009}{2} x + \frac{2009 \cdot 2010}{2} для всіх комплексних чисел xx. Обчисліть P(z)P(z2)P(z3)…P(z2010)P(z) P\left(z^{2}\right) P\left(z^{3}\right) \ldots P\left(z^{2010}\right).
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.