Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

1 523 задачі
АлгебраЧисла
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2020-006

Вставлення двійок зі збереженням подільності на 91

Ціле число 202020202020 кратне 9191. Для кожного натурального числа nn покажіть, як у десятковий запис числа 202020202020 можна вставити ще nn цифр 22 так, щоб утворене (n+6)(n+6)-значне число також було кратним 9191. Наприклад, при n=5n=5 це можна зробити так: 2202022022222020220222 (вставлені цифри 22 підкреслено).
10–11 класиМіркування за модулем
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2020-004

Різниці сусідніх точних степенів і дільник 9999

Нехай S={1,4,8,9,16,…}S=\{1,4,8,9,16, \ldots\} — множина точних степенів цілих чисел, тобто чисел вигляду nkn^{k}, де n,kn, k — натуральні числа і k≥2k \geq 2. Запишемо S={a1,a2,a3…}S=\left\{a_{1}, a_{2}, a_{3} \ldots\right\} у порядку зростання, так що a1<a2<a3⋯a_{1}<a_{2}<a_{3} \cdots. Доведіть, що існує нескінченно багато натуральних чисел mm таких, що 99999999 ділить різницю am+1−ama_{m+1}-a_{m}.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2020-019

Добутки факторіалів як повні квадрати

Для натурального числа nn через n!n! («ен факторіал») позначимо число, яке одержимо, перемноживши всі цілі числа від 11 до nn. Наприклад: 5!=1⋅2⋅3⋅4⋅5=1205! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120. a. Знайдіть усі цілі числа nn, 1≤n≤1001 \le n \le 100, для яких n!⋅(n+1)!n! \cdot (n+1)! є повним квадратом. Також доведіть, що ви знайшли всі розв’язки nn. b. Доведіть, що не існує натурального числа nn такого, що n!⋅(n+1)!⋅(n+2)!⋅(n+3)!n! \cdot (n+1)! \cdot (n+2)! \cdot (n+3)! є повним квадратом.
10–11 класиМетод затискання між сусідніми зн…
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2020-013

Послідовні числа із сумами цифр, кратними 5

Сума цифр числа утворюється додаванням усіх цифр цього числа. Наприклад, сума цифр числа 13031303 дорівнює 1+3+0+3=71 + 3 + 0 + 3 = 7. Знайдіть найменше натуральне число nn, для якого як сума цифр числа nn, так і сума цифр числа n+1n + 1 діляться на 55.
10–11 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2020-015

Згинання шахівниці

Квадратний аркуш паперу, що лежить на столі, поділено на 8×8=648 \times 8 = 64 однакові квадратики. Ці квадратики пронумеровано від a1 до h8, як поля шахівниці (див. рис. 1). Тепер починаємо згинати так, щоб квадратик a1 завжди залишався на тому самому місці на столі. Спершу згинаємо вздовж горизонтальної середньої лінії (рис. 1). При цьому квадратик a8 опиниться поверх квадратика a1. Потім згинаємо вздовж вертикальної середньої лінії (рис. 2). Далі згинаємо вздовж нової горизонтальної середньої лінії (рис. 3) і так далі. Після шести згинань перед нами лежить невеличкий пакет паперу (рис. 7), який можна розглядати як стос із 64 квадратних шматочків паперу. рис. 1 рис. 2 рис. 3... рис. 7 Квадратики в цьому стосі пронумеровано знизу вгору від 1 до 64. Отже, квадратик a1 отримує номер 1. Який номер отримає квадратик f6?
10–11 класиСистеми числення
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2020-010

Криптарифм з діленням і відніманням

У таблиці нижче кожен із трьох рядків є правильною дією (символ ÷\div позначає ділення). Також кожен із трьох стовпчиків (якщо читати згори вниз) є правильною дією. Проте цифри в таблиці замінено літерами. Різні літери позначають різні цифри, і жодна з цифр не є 00. ABC−ADF=F+−−ADD÷GC=C===CEF÷GD=D\begin{array}{lclcl} \text{ABC} & - & \text{ADF} & = & \text{F} \\ + & & - & & - \\ \text{ADD} & \div & \text{GC} & = & \text{C} \\ = & & = & & = \\ \text{CEF} & \div & \text{GD} & = & \text{D} \end{array} Яку цифру позначає літера EE? A) 11 B) 33 C) 55 D) 77 E) 99
10–11 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2020-001

Відношення добутків послідовних цілих чисел

Юрі пише на дошці декілька послідовних цілих чисел. Відомо, що загальна кількість цих чисел більша за один, а найменше з них більше за 22. Марі теж пише на дошці послідовні цілі числа в такій самій кількості, як і Юрі, але найменше з них дорівнює 11. Чи можливо, що частка від ділення добутку чисел, написаних Юрі, на добуток чисел, написаних Марі, дорівнює квадрату деякого цілого числа?
8–10 класиКорені та степені
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2020-015

Сума дробів з округленої послідовності

Нехай nn — натуральне число. Дійсні числа a1,a2,…,a2na_1, a_2, \dots, a_{2n} задовольняють такі умови: (1) Для кожного i=1,2,…,2n−1i = 1, 2, \dots, 2n - 1 виконується 0<ai+1−ai≤10 < a_{i+1} - a_i \le 1; (2) Округлення чисел a1,a2,…,a2na_1, a_2, \dots, a_{2n} до найближчого цілого (числа, рівновіддалені від двох найближчих цілих, округлюють угору) дає попарно різні додатні цілі числа. Числа a1,a2,…,a2na_1, a_2, \dots, a_{2n} розставлено чисельниками і знаменниками nn дробів. Доведіть, що сума отриманих дробів більша за n4\frac{n}{4}.
10–11 класиЧислові нерівності3 розв’язки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-038

Множини цілих чисел, замкнені відносно коренів многочленів

Нехай SS — множина цілих чисел. Будемо казати, що SS красива, якщо вона містить усі цілі числа виду 2a−2b2^{a}-2^{b}, де aa і bb — ненульові натуральні числа. Будемо також казати, що SS сильна, якщо для будь-якого непостійного многочлена P(X)P(X) з коефіцієнтами з SS цілі корені многочлена P(X)P(X) також належать SS. Знайдіть усі множини, які одночасно красиві й сильні.
10–11 класиТеорема Ейлера
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-006

Максимізація кусково-лінійної кількості балів

Надішліть ціле число xx як відповідь до цієї задачі. Кількість балів, яку ви отримаєте, становитиме max⁡(0,8−∣8x−100∣)\max (0,8-|8 x-100|). (За нецілі відповіді буде нараховано 0 балів.)
10–11 класиЦіла та дробова частини числа
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-087

Степені з цілою частиною в показнику

Для скількох натуральних чисел n≤1000n \leq 1000 рівняння в дійсних числах x⌊x⌋=nx^{\lfloor x\rfloor}=n має додатний розв’язок xx? (Для дійсного числа xx через ⌊x⌋\lfloor x\rfloor позначають найбільше ціле число, яке не перевищує xx.)
10–11 класиЦіла та дробова частини числа
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-120

Сума кількості цифр степенів

Натуральне число NN називається пікантним, якщо існує натуральне число mm таке, що якщо nin_{i} позначає кількість цифр числа mim^{i} (у десятковому записі), то n1+n2+⋯+n10=Nn_{1}+n_{2}+\cdots+n_{10}=N. Нехай pMp_{M} позначає частку пікантних серед перших MM натуральних чисел. Знайдіть lim⁡M→∞pM\lim _{M \rightarrow \infty} p_{M}.
10–11 класиФункція Ейлера φ(n)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-110

Відношення після випадання цифри нуль

Аудиторії в MIT позначені натуральними числами (без початкових нулів). Одного дня, коли президент Райф іде Нескінченним коридором, він помічає, що цифра нуль на табличці з номером кімнати відпала. Нехай NN — початковий номер кімнати, а MM — номер кімнати, як показано на табличці. Найменший проміжок, що містить усі можливі значення MN\frac{M}{N}, можна записати у вигляді [ab,cd)\left[\frac{a}{b}, \frac{c}{d}\right), де a,b,c,da, b, c, d — натуральні числа, для яких НСД(a,b)=НСД(c,d)=1\text{НСД}(a, b)=\text{НСД}(c, d)=1. Обчисліть 1000a+100b+10c+d1000 a+100 b+10 c+d.
10–11 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-121

Многочлени з обмеженими коефіцієнтами в ірраціональній точці

Многочлен P(x)P(x) називається многочленом з основою nn, якщо він має вигляд adxd+ad−1xd−1+⋯+a1x+a0a_{d} x^{d} + a_{d-1} x^{d-1} + \cdots + a_{1} x + a_{0}, де кожне aia_{i} — ціле число від 00 до n−1n-1 включно, а ad>0a_{d} > 0. Знайдіть найбільше натуральне число nn таке, що для будь-якого дійсного числа cc існує не більше одного многочлена з основою nn P(x)P(x), для якого P(2+3)=cP(\sqrt{2} + \sqrt{3}) = c.
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-113

Кола з цілими квадратами радіусів і відрізок

Після огляду статуї Джона Гарварда група туристів вирішує оцінити відстані до сусідніх місць на карті, малюючи коло радіуса n\sqrt{n} дюймів із центром у статуї для кожного цілого 2020≤n≤100002020 \leq n \leq 10000, тобто загалом вони малюють 7981 кіл. Відомо, що на карті ворота Джонстон — це відрізок завдовжки 10 дюймів, який повністю міститься між найменшим і найбільшим колами. Яка найменша можлива кількість точок на цьому відрізку, які лежать на одному з намальованих кіл? (Кінець відрізка вважається точкою цього відрізка.)
10–11 класиМетод координат
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-022

Мінімальний многочлен для обернених до квадратних коренів

Нехай P(x)P(x) — зведений многочлен з раціональними коефіцієнтами найменшого степеня такий, що 12\frac{1}{\sqrt{2}}, 13,14,…,11000\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{4}}, \ldots, \frac{1}{\sqrt{1000}} є коренями многочлена PP. Знайдіть суму коефіцієнтів многочлена PP.
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-114

Процес заміни середнім у геометричній прогресії

Очікуючи на наступне заняття на Кілліан-Корті, Алеша та Белінда обидві записують на аркуші паперу ту саму послідовність SS, де SS — строго зростаюча геометрична прогресія з 2020 членів із цілим знаменником rr. Щосекунди Алеша стирає два найменші члени на своєму аркуші й замінює їх їхнім середнім геометричним, а Белінда стирає два найбільші члени на своєму аркуші й замінює їх їхнім середнім геометричним. Вони продовжують цей процес, доки в Алеші не залишиться єдине значення AA, а в Белінди — єдине значення BB. Нехай r0r_{0} — найменше значення rr, таке, що AB\frac{A}{B} є цілим числом. Якщо dd — кількість додатних дільників числа r0r_{0}, чому дорівнює найближче ціле число до log⁡2d\log _{2} d?
10–11 класиСуми послідовностей
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-085

Послідовність, задана рекурентним співвідношенням з цілою частиною

Послідовність натуральних чисел a1,a2,a3,…a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots задовольняє an+1=n⌊ann⌋+1a_{n+1}=n\left\lfloor\frac{a_{n}}{n}\right\rfloor+1 для всіх натуральних чисел nn. Якщо a30=30a_{30}=30, скільки можливих значень може набувати a1a_{1}? (Для дійсного числа xx через ⌊x⌋\lfloor x\rfloor позначається найбільше ціле число, яке не перевищує xx.)
10–11 класиЦіла та дробова частини числа
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-115

Сподіване значення випадкового числа в трійковій системі

Шон заходить до аудиторії в Меморіал-холі й бачить на дошці 11, після якої записано 20202020 символів 00. Оскільки він прийшов на заняття рано, він вирішує пройти цифри справа наліво й незалежно стерти nn-ту цифру зліва з імовірністю n−1n\frac{n-1}{n}. (Зокрема, 11 ніколи не стирається.) Обчисліть математичне сподівання значення числа, утвореного з цифр, що залишилися, якщо розглядати його як число в системі з основою 33. (Наприклад, якщо на дошці залишилося число 10001000, то його значення дорівнює 2727.)
10–11 класиРекурентний підрахунок
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-051

Числа як сума чотирьох факторіалів

Обчисліть кількість натуральних чисел, менших за 10!10!, які можна подати у вигляді суми щонайбільше 4 (не обов'язково різних) факторіалів.
10–11 класиСистеми числення
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-066

Нерівність із дробовою частиною

Для деякого додатного дійсного α\alpha множина SS додатних дійсних чисел xx, для яких {x}>αx\{x\} > \alpha x, є об'єднанням кількох інтервалів із сумарною довжиною 20.220.2. Значення α\alpha можна подати у вигляді ab\frac{a}{b}, де a,ba, b — взаємно прості натуральні числа. Обчисліть 100a+b100 a + b. (Тут {x}=x−⌊x⌋\{x\} = x - \lfloor x \rfloor — дробова частина числа xx.)
10–11 класиЦіла та дробова частини числа
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-069

Нескінченний добуток зі степеневим показником

Оцініть N=∏n=1∞nn−1.25N = \prod_{n=1}^{\infty} n^{n^{-1.25}} Оцінка E>0E > 0 отримає ⌊22min⁡(N/E,E/N)⌋\lfloor 22 \min (N / E, E / N) \rfloor балів.
10–11 класиНаближення дійсних чисел і оцінки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-073

Восьмизначні числа в трикутнику Паскаля

Оцініть AA — кількість появ восьмизначних чисел у трикутнику Паскаля. Оцінка EE приносить max⁡(0,⌊20−∣A−E∣/200⌋)\max (0,\lfloor 20-|A-E| / 200\rfloor) балів.
10–11 класиВластивості біноміальних коефіціє…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-074

Корінь многочлена з простими коефіцієнтами

Нехай pip_{i} — ii-те просте число. Нехай f(x)=∑i=150pixi−1=2+3x+⋯+229x49f(x)=\sum_{i=1}^{50} p_{i} x^{i-1}=2+3 x+\cdots+229 x^{49} Якщо aa — єдине додатне дійсне число для якого f(a)=100f(a)=100, оцініть A=⌊100000a⌋A=\lfloor 100000 a\rfloor. Оцінка EE принесе max⁡(0,⌊20−∣A−E∣/250⌋)\max (0,\lfloor 20-|A-E| / 250\rfloor) балів.
10–11 класиНаближення дійсних чисел і оцінки
Італійська математична олімпіадаITAMO-2020-011

Кількість цифр у послідовних числах

Аїша пише на аркуші всі числа від 11 до 20202020. Чому дорівнює різниця між кількістю цифр «1» і кількістю цифр «0», які вона написала? (A) 7878 (B) 10101010 (C) 10891089 (D) 20202020 (E) 50055005
10–11 класиРозклад по розрядах, десяткові др…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.