Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

1 140 задач
ГеометріяВизначні точки та лінії трикутника
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2002-005

Бісектриси та чотирикутник з вписаним колом

Нехай дано трикутник ABCABC. Позначимо через MM та NN середини сторін ACAC і BCBC відповідно. Нехай також SS і TT — точки на сторонах ACAC і BCBC відповідно такі, що: AS=13ACBT=13BC.AS = \frac{1}{3} AC \quad BT = \frac{1}{3} BC. Доведіть, що бісектриси кутів ∠AST\angle AST і ∠BTS\angle BTS перетинаються в точці PP сторони ABAB тоді й лише тоді, коли чотирикутник AMNBAMNB є описаним навколо кола.
10–11 класиПаралельні прямі і теорема Фалеса
Відбіркові тести на IMOTST-2001-002

Сума кутів з центром описаного кола та висотою трикутника

Нехай △ABC\triangle ABC — гострокутний трикутник, а точка OO — центр його описаного кола. Нехай точка PP на прямій BCBC — основа висоти, проведеної з вершини AA. Припустимо, що ∠BCA≥∠ABC+30∘\angle BCA \ge \angle ABC + 30^\circ. Доведіть, що ∠CAB+∠COP<90∘\angle CAB + \angle COP < 90^\circ.
10–11 класиЗастосування тригонометрії
Відбіркові тести на IMOTST-2001-004

Вписане коло, точки дотику і рівні відрізки

Нехай △ABC\triangle ABC — трикутник, а ω\omega — його вписане коло. Позначимо через D1D_1 і E1E_1 точки, в яких ω\omega дотикається до сторін BCBC і ACAC відповідно. Позначимо через D2D_2 і E2E_2 точки на сторонах BCBC і ACAC відповідно такі, що CD2=BD1CD_2 = BD_1 і CE2=AE1CE_2 = AE_1, а через PP — точку перетину відрізків AD2AD_2 і BE2BE_2. Коло ω\omega перетинає відрізок AD2AD_2 у двох точках, ближчу з яких до вершини AA позначено через QQ. Доведіть, що AQ=D2PAQ = D_2P.
10–11 класиГомотерія і подібність
Відбіркові тести на IMOTST-2000-013

Точки дотику вписаних кіл лежать на одному колі

Вписане коло трикутника ABCA B C дотикається до сторін AB,BCA B, B C і CAC A в точках D,ED, E і FF. Нехай PP — точка всередині трикутника ABCA B C, така, що вписане коло трикутника ABPA B P також дотикається до сторони ABA B в точці DD, а до сторін APA P і BPB P — в точках QQ і RR. Доведіть, що чотири точки E,F,RE, F, R і QQ лежать на одному колі.
10–11 класиВписане коло
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2000-012

Трикутник з висотою, бісектрисою і медіаною

Нехай точки H,K,MH, K, M вибрано на сторонах трикутника ABCA B C так, що AHA H — висота, BKB K — бісектриса, а CMC M — медіана. Позначимо через DD перетин відрізків AHA H і BKB K, а через EE — перетин відрізків HMH M і BKB K. Відомо, що KD=2,DE=1,EB=3K D=2, D E=1, E B=3: (i) доведіть, що відрізок HMH M паралельний стороні ACA C; (ii) доведіть, що AB=ACA B=A C; (iii) доведіть, що AB=BCA B=B C.
9–11 класиОзнаки подібності2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-1999-054

Радіуси вписаних кіл як сторони трикутника

Нехай rr — радіус вписаного кола трикутника ABCABC. Візьмемо точку DD на стороні BCBC, і нехай r1r_{1} та r2r_{2} — радіуси вписаних кіл трикутників ABDABD і ACDACD. Доведіть, що rr, r1r_{1} і r2r_{2} завжди можуть бути довжинами сторін трикутника.
10–11 класиВписане коло
Французька математична олімпіадаFRMO-0000-118

Перетин описаних кіл на медіані

Нехай ABCABC — трикутник, а MM — середина відрізка [BC][BC]. Позначимо через IbI_{b} і IcI_{c} центри вписаних кіл трикутників AMBAMB і AMCAMC. Доведіть, що друга точка перетину описаних кіл трикутників ABIbABI_{b} і ACIcACI_{c} лежить на прямій (AM)(AM).
9–11 класиТочка перетину бісектрис
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-079

Описане коло рівнобічної трапеції

Нехай ABCDABCD — рівнобічна трапеція, у якої (AD)//(BC)(AD)//(BC). a. Доведіть, що ABCDABCD має описане коло. b. Позначимо через OO центр описаного кола трапеції ABCDABCD, а через EE — точку перетину діагоналей. Доведіть, що OO лежить на описаному колі трикутника AEBAEB.
8–10 класиОписане коло
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-066

Рівнобедрений трикутник із рівністю суми відрізків

Нехай ABCABC — трикутник, у якому ABC^=ACB^=40∘\widehat{ABC} = \widehat{ACB} = 40^{\circ}. Бісектриса, проведена з вершини BB, перетинає пряму (AC)(AC) у точці DD. Доведіть, що BD+DA=BCBD + DA = BC.
8–10 класиТеорема про тризуб2 розв’язки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-093

Паралелограм, утворений центрами трикутника

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, не рівнобедрений з вершиною AA. Нехай MM — середина відрізка [BC][BC], HH — ортоцентр трикутника ABCABC, O1O_{1} — середина відрізка [AH][AH], а O2O_{2} — центр описаного кола трикутника CBHCBH. Доведіть, що чотирикутник O1AMO2O_{1}AMO_{2} — паралелограм.
8–10 класиТочка перетину висот
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-094

Спільна точка дотичної, висоти та перпендикуляра

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, ω\omega — його описане коло, а OO — центр кола ω\omega. Перпендикуляр, проведений з AA до прямої (BC)(BC), перетинає (BC)(BC) в точці DD, а коло ω\omega — в точці EE. Нехай FF — точка на відрізку [AE][AE] така, що 2⋅FD=AE2 \cdot FD = AE. Нехай ℓ\ell — перпендикуляр до прямої (OF)(OF), що проходить через FF. Доведіть, що пряма ℓ\ell, пряма (BC)(BC) і дотична до кола ω\omega в точці EE перетинаються в одній точці.
8–10 класиСтепінь точки відносно кола
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-040

Колінеарність центра вписаного кола трикутника

Нехай ADEADE — рівнобедрений трикутник з вершиною AA. Нехай ω\omega — коло, дотичне до прямих (AD)(AD) і (AE)(AE) в точках DD і EE. Нехай BB і CC — дві точки за DD і EE на прямих (AD)(AD) і (AE)(AE). Припустимо, що BC>BD+CEBC > BD + CE. Нарешті, нехай FF і GG — дві точки на відрізку [BC][BC] такі, що BD=BFBD = BF і CG=CECG = CE, прямі (DG)(DG) і (FE)(FE) перетинаються в точці KK, а дотична до кола ω\omega, паралельна прямій (BC)(BC) і розташована між точкою AA та прямою (BC)(BC), дотикається до кола ω\omega в точці LL. Доведіть, що центр вписаного кола трикутника ABCABC лежить на прямій (KL)(KL).
10–11 класиПроєктивна геометрія
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-096

Дотична до вписаного кола в рівносторонньому трикутнику

Нехай ABCABC — рівносторонній трикутник. Нехай XX — точка прямої (BC)(BC), відмінна від BB і CC. Нехай YY і ZZ — точки на прямих (AB)(AB) і (AC)(AC) такі, що обидві прямі (BZ)(BZ) і (CY)(CY) паралельні прямій (AX)(AX). Пряма (XY)(XY) перетинає пряму (AC)(AC) у точці MM, а пряма (XZ)(XZ) перетинає пряму (AB)(AB) у точці NN. Доведіть, що пряма (MN)(MN) дотикається до вписаного кола трикутника ABCABC.
8–10 класиЗовнівписане коло
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-056

Колінеарність, породжена перетинами вписаного чотирикутника

Нехай AA, BB, CC і DD — чотири точки на колі в такому порядку. Нехай UU — точка перетину прямих (AB)(AB) і (CD)(CD), а VV — точка перетину прямих (BC)(BC) і (DA)(DA). Нехай KK — точка перетину бісектриси, проведеної з UU в трикутнику AUCAUC, і бісектриси, проведеної з VV в трикутнику AVCAVC. Нехай LL — точка перетину серединного перпендикуляра до відрізка [KU][KU] і серединного перпендикуляра до відрізка [KV][KV]. Доведіть, що точки UU, VV і LL лежать на одній прямій.
10–11 класиТочка перетину серединних перпенд…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-058

Центр квадрата на бісектрисі кута

Нехай BCDEBCDE — квадрат, а OO — його центр. Нехай AA — точка поза квадратом BCDEBCDE така, що трикутник ABCABC прямокутний з прямим кутом при вершині AA. Доведіть, що точка OO належить бісектрисі кута BAC^\widehat{BAC}.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-059

Основа висоти з інцентра на описаному колі

Нехай ABCABC — трикутник, не рівнобедрений при вершині AA, а II — центр його вписаного кола. Позначимо через DD точку прямої (BC)(BC) таку, що DIA^=90∘\widehat{DIA} = 90^{\circ}. Позначимо через EE основу висоти, проведеної з II у трикутнику ADIADI. Доведіть, що точка EE лежить на описаному колі трикутника ABCABC.
10–11 класиРадикальна вісь
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-060

Ортоцентр трикутника на описаному колі

Нехай ABCABC — трикутник, HH — його ортоцентр, а MM — середина відрізка [BC][BC]. Нехай dd — пряма, що проходить через точку MM. Припустимо, що dd перетинає коло з діаметром [AH][AH] у точках PP і QQ. Доведіть, що ортоцентр трикутника APQAPQ лежить на описаному колі трикутника ABCABC.
10–11 класиТочка перетину висот
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-049

Центр описаного кола AIT на прямій BC

Нехай ABCABC — трикутник, а II — центр його вписаного кола. Перпендикуляр до прямої (AI)(AI), що проходить через точку II, перетинає пряму (AB)(AB) у точці DD і пряму (AC)(AC) у точці EE. Припустимо, що існують дві точки FF і GG на відрізку [BC][BC] такі, що BA=BFBA = BF і CA=CGCA = CG. Нехай TT — точка перетину описаних кіл трикутників ADFADF і AEGAEG. Доведіть, що центр описаного кола трикутника AITAIT лежить на прямій (BC)(BC).
10–11 класиТеорема Менелая
Італійська математична олімпіадаITAMO-0000-012

Зовнівписане коло і прямий кут

Нехай Γ\Gamma — зовнівписане коло трикутника ABCABC, протилежне вершині AA, тобто коло, дотичне до сторони BCBC та до продовжень сторін ABAB і ACAC з боку BB і CC. Нехай DD — центр кола Γ\Gamma, а EE та FF — відповідно точки дотику кола Γ\Gamma з продовженнями сторін ABAB та ACAC. Нехай JJ — перетин відрізків BDBD та EFEF. Доведіть, що кут ∠CJB\angle CJB прямий.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Італійська математична олімпіадаITAMO-0000-013

Вписаний чотирикутник, побудований за центроїдом

Нехай ABCABC — трикутник з центроїдом GG. Нехай D≠AD \neq A — точка на прямій AGAG така, що AG=GDAG = GD, і нехай E≠BE \neq B — точка на прямій GBGB така, що GB=GEGB = GE. Нехай, нарешті, MM — середина сторони ABAB. Доведіть, що чотирикутник BMCDBMC D є вписаним у коло тоді й лише тоді, коли BA=BEBA = BE.
10–11 класиТочка перетину медіан
Італійська математична олімпіадаITAMO-0000-023

Поділ дуги кола навпіл через центри двох кіл

Нехай на площині дано два кола γ1\gamma_{1} і γ2\gamma_{2} з центрами AA і BB відповідно, які перетинаються у двох точках CC і DD. Припустімо, що коло, яке проходить через AA, BB і CC, перетинає γ1\gamma_{1} і γ2\gamma_{2} ще раз у точках EE та FF відповідно, і що дуга EFE F, яка не містить CC, лежить поза двома кругами, обмеженими колами γ1\gamma_{1} і γ2\gamma_{2}. Доведіть, що дуга EFE F, яка не містить CC, ділиться навпіл прямою CDC D.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Інші змаганняMISC-0000-133

Дві дотичні з однієї точки й ортоцентр

З точки AA до кола з центром OO проведено дві дотичні, що дотикаються до нього в точках BB і CC. Нехай HH — ортоцентр трикутника ABCABC. Відомо, що ∠BAC=40∘\angle BAC = 40^\circ. Знайдіть величину кута ∠HCO\angle HCO.
8–9 класиТочка перетину висот
Інші змаганняMISC-0000-194

Лема про тризуб для інцентра

Нехай ABCABC — трикутник, вписаний у зображене нижче коло. Нехай також II — інцентр трикутника ABCABC, а DD — точка, в якій пряма AIAI перетинає коло. Доведіть, що ∣DB‾∣=∣DC‾∣=∣DI‾∣|\overline{DB}| = |\overline{DC}| = |\overline{DI}|.
10–11 класиТеорема про тризуб
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-0000-002

Конкурентні прямі від середин дуг

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник. Нехай MAM_{A}, MBM_{B} та MCM_{C} — середини сторін BCBC, CACA та ABAB відповідно. Нехай MA′M_{A}^{\prime}, MB′M_{B}^{\prime} та MC′M_{C}^{\prime} — середини менших дуг BCBC, CACA та ABAB на описаному колі трикутника ABCABC відповідно. Нехай PAP_{A} — перетин прямої MBMCM_{B}M_{C} та перпендикуляра до прямої MB′MC′M_{B}^{\prime}M_{C}^{\prime}, проведеного через AA. Точки PBP_{B} та PCP_{C} означено аналогічно. Доведіть, що прямі MAPAM_{A}P_{A}, MBPBM_{B}P_{B} та MCPCM_{C}P_{C} перетинаються в одній точці.
10–11 класиТеорема Чеви2 розв’язки
Естонська математична олімпіадаESTMO-2025-006

Прямокутник із рівними чевіанами

Нехай ABCDABCD — прямокутник. Бісектриса кута CADCAD перетинає сторону CDCD в точці LL. Нехай MM — середина відрізка ALAL. Пряма DMDM перетинає прямі ACAC і ABAB в точках EE і FF відповідно. Відомо, що відрізки AEAE і AFAF рівні. Доведіть, що ABCDABCD — квадрат.
Рівнобедрений та рівносторонній т…2 розв’язки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.