Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

2 443 задачі
ГеометріяКола
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-09-10-002

Вписаний чотирикутник і точки O, P, Q

Задано чотирикутник ABCDABCD, вписаний у коло з центром OO, PP — точка перетину діагоналей ACAC і BDBD, пряма BCBC не паралельна ADAD. Промені ABAB та DCDC перетинаються в точці EE. Коло з центром II, вписане в трикутник EBCEBC, дотикається до BCBC в точці T1T_1. Коло з центром JJ, зовнівписане в трикутник EADEAD, дотикається до сторони ADAD в точці T2T_2. Прямі IT1IT_1 та JT2JT_2 перетинаються в точці QQ. Доведіть, що точки OO, PP та QQ лежать на одній прямій.
10–11 класиКоло і подібність
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-09-10-005

Точка перетину BY і CZ та два паралелограми

Коло, вписане в трикутник ABCABC, дотикається до сторін ABAB та ACAC в точках ZZ та YY відповідно. Нехай GG — точка перетину прямих BYBY і CZCZ, а RR і SS — такі точки, що BCYRBCYR і BCSZBCSZ — паралелограми. Доведіть, що GR=GSGR = GS.
10–11 класиРадикальна вісь
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-09-10-007

Нерівність для суми сторін трикутника та висоти

Позначимо в трикутнику ABCABC через hh довжину висоти, що проведена з вершини AA, а через α=∠BAC\alpha = \angle BAC. Доведіть, що виконується нерівність AB+AC⩾BC⋅cos⁡α+2hsin⁡αAB + AC \geqslant BC \cdot \cos\alpha + 2h\sin\alpha. Чи існують трикутники, для яких ця нерівність перетворюється в рівність?
10–11 класиСиметрія
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-09-10-011

Трикутник з дотичним колом і точки M та N

Нехай у трикутнику ABCABC AB>ACAB > AC. Коло ωa\omega_a дотикається до відрізка BCBC у точці DD, до продовження відрізка ABAB за точку BB — у точці FF, а до продовження відрізка ACAC за точку CC — у точці EE. Промінь ADAD перетинає вдруге коло ωa\omega_a у точці MM. Позначимо коло, яке описане навколо трикутника CDMCDM, через ω\omega. Це коло перетинає відрізок DFDF у точці NN. Доведіть, що FN>NDFN > ND.
10–11 класиДотична кола
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-08-09-001

Трапеція, рівні кути та кола через середину

Задана трапеція ABCDABCD з основами ABAB і CDCD. Нехай існують такі точки EE на прямій BCBC, зовні відрізку BCBC, та точка FF всередині відрізку ADAD такі, що ∠DAE=∠CBF\angle DAE = \angle CBF. Позначимо через II та JJ точки перетину з прямою EFEF прямих CDCD та ABAB відповідно. Нехай точка KK – середина відрізку EFEF і вона не лежить на прямій ABAB. Довести, що точка KK лежить на колі, що описане навколо трикутника ABIABI тоді і тільки тоді, коли точка KK лежить на колі, що описане навколо трикутника CDJCDJ.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-08-09-005

П'ять точок на колі та трикутник з ортоцентрів

Нехай A,B,C,DA, B, C, D та EE – послідовні точки на колі з центром в точці OO, такі, що AC=BD=CE=DOAC = BD = CE = DO. Нехай точки H1,H2H_1, H_2 та H3H_3 – це точки перетину висот трикутників ACD,BCDACD, BCD та BCEBCE відповідно. Довести, що трикутник H1H2H3H_1H_2H_3 – прямокутний.
10–11 класиВекторний метод
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-08-09-008

Два кола, пряма AB і фіксована точка

Задані два кола γ1\gamma_1 та γ2\gamma_2 з центрами у точках O1O_1 та O2O_2 відповідно. На колі γ2\gamma_2 вибрали деяку точку KK і побудували два кола – γ3\gamma_3, яке дотикається до кола γ2\gamma_2 у точці KK і кола γ1\gamma_1 у точці AA, та γ4\gamma_4, яке дотикається до кола γ2\gamma_2 у точці KK і кола γ1\gamma_1 у точці BB. Довести, що незалежно від вибору точки KK на колі γ2\gamma_2, усі прямі ABAB проходять через фіксовану точку площини.
10–11 класиІнверсія
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-08-09-010

Точки P і Q всередині опуклого чотирикутника ABCD

Всередині опуклого чотирикутника ABCDABCD вибрані точки PP та QQ таким чином, що PQDAPQDA та QPBCQPBC – вписані чотирикутники. Припустимо, що існує така точка EE на відрізку PQPQ, що ∠PAE=∠QDE\angle PAE = \angle QDE та ∠PBE=∠QCE\angle PBE = \angle QCE. Довести, що чотирикутник ABCDABCD також вписаний.
10–11 класиГомотерія і подібність
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-07-08-001

Різниця кутів MTB і CTM у рівнобедреному трикутнику

Дано рівнобедрений трикутник ABCABC (AB=ACAB = AC). Позначимо через MM середину сторони BCBC. Нехай XX – деяка точка на меншій з дуг MAMA описаного навколо трикутника ABMABM кола. Точка TT, що лежить всередині кута BMABMA, така, що ∠TMX=90∘\angle TMX = 90^\circ та TX=BXTX = BX. Доведіть, що різниця ∠MTB−∠CTM\angle MTB - \angle CTM не залежить від положення точки XX.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-07-08-004

Внутрішній дотик двох кіл і рівність сум відрізків

Кола w1,w2w_1, w_2 дотикаються внутрішнім чином в точці PP. На їх спільній дотичній по різні боки від точки PP обрані точки AA і BB. Нехай CC – точка перетину дотичних, що проведені з точки AA до кола w1w_1, і з точки BB до кола w2w_2, точка DD – точка перетину дотичних, що проведені з точки BB до кола w1w_1, і з точки AA до кола w2w_2. Довести, що CA+CB=DA+DBCA + CB = DA + DB.
10–11 класиДотична кола
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-06-07-002

Трапеція з перпендикулярними діагоналями, точка M і бісектриси

У трапеції ABCDABCD з основами AD,BCAD, BC кут між діагоналями прямий. Всередині ABCDABCD існує така точка MM, відмінна від точки перетину діагоналей, що ∠AMB=∠CMD=90∘\angle AMB = \angle CMD = 90^\circ. Нехай PP – точка перетину бісектрис кутів ∠A\angle A і ∠C\angle C, QQ – точка перетину бісектрис кутів ∠B\angle B і ∠D\angle D. Довести, що ∠PMB=∠QMC\angle PMB = \angle QMC.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-06-07-005

Середина відрізка A2B2 у гострокутному трикутнику з кутом γ

В гострокутному трикутнику ABCABC висоти AA3,BB3AA_3, BB_3 перетинають описане коло в точках A1,B1A_1, B_1 відповідно. На прямих BCBC і CACA обрано точки A2A_2 та B2B_2 відповідно таким чином, що пряма B1B2B_1B_2 паралельна прямій BCBC і пряма A1A2A_1A_2 паралельна прямій ACAC. Нехай MM – середина відрізку A2B2A_2B_2. Знайти кут ∠B3MA3\angle B_3MA_3, якщо кут ∠ACB=γ\angle ACB = \gamma.
10–11 класиЗастосування тригонометрії
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-06-07-010

Розбиття трикутника на вписані чотирикутники з геометричною прогресією

Для яких натуральних nn гострокутний трикутник ABCABC з кутом ∠BAC<45∘\angle BAC < 45^\circ можна розбити на nn вписаних чотирикутників таких, що радіуси описаних навколо них кіл утворюють геометричну прогресію?
10–11 класиОписане коло
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-05-06-003

Внутрішнє дотичне коло до кіл на сторонах трапеції

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник, у якому сторони ADAD і BCBC є паралельними. Позначимо через ω1\omega_1, ω2\omega_2, ω3\omega_3, ω4\omega_4 кола, побудовані як на діаметрах на сторонах ABAB, BCBC, CDCD, DADA відповідно. Доведіть, що коло, центр якого міститься всередині чотирикутника ABCDABCD і яке дотикається зсередини до всіх кіл ω1\omega_1, ω2\omega_2, ω3\omega_3, ω4\omega_4, існує тоді й тільки тоді, коли чотирикутник ABCDABCD є паралелограмом.
10–11 класиНерівність трикутника
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-05-06-005

Два кола, що перетинаються, і паралельні дотичні

Два кола ω1\omega_1 і ω2\omega_2 перетинаються в двох різних точках AA і BB. Через точку BB проведено пряму, яка вдруге перетинає коло ω1\omega_1 у точці KK, а коло ω2\omega_2 — у точці MM (точки KK і MM відмінні від AA). Нехай пряма ℓ1\ell_1 паралельна прямій AMAM і дотикається до кола ω1\omega_1 у точці QQ, відмінній від точок AA і BB. Пряма AQAQ вдруге перетинає коло ω2\omega_2 в точці RR. а) Доведіть, що пряма ℓ2\ell_2, яка дотикається до кола ω2\omega_2 в точці RR, паралельна прямій AKAK; б) Доведіть, що прямі ℓ1\ell_1, ℓ2\ell_2 і KMKM перетинаються в одній точці.
10–11 класиДотична кола
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-05-06-007

Прямокутний трикутник, бісектриса і перпендикуляр до прямої

Нехай ABCABC — прямокутний трикутник, у якому ∠C=90∘\angle C = 90^\circ. На сторонах ABAB і BCBC відмічено точки MM і NN відповідно так, що CN:NB=AC:BC=2CN : NB = AC : BC = 2 і MN∥ACMN \parallel AC. Нехай OO — точка перетину відрізків CMCM і ANAN. Точку KK відмічено на відрізку ONON так, що MO+OK=KNMO + OK = KN. Нехай TT — точка перетину бісектриси кута BB трикутника ABCABC і перпендикуляра до прямої ANAN, проведеного через точку KK. Доведіть, що ∠MTB=90∘\angle MTB = 90^\circ.
10–11 класиКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-05-06-012

Точки перетину дотичних з перпендикулярами в трикутнику

Нехай точка OO — центр описаного кола ω\omega трикутника ABCABC. Позначимо через A1A_1 середину сторони BCBC. Нехай A2A_2 — друга точка перетину прямої AA1AA_1 з колом ω\omega, пряма ℓa\ell_a дотикається до кола ω\omega в точці A2A_2. Позначимо через PaP_a точку перетину прямої ℓa\ell_a з прямою, яка проходить через точку A1A_1 перпендикулярно до прямої AOAO. Точки PbP_b і PcP_c визначаються аналогічно. Доведіть, що точки PaP_a, PbP_b і PcP_c лежать на одній прямій.
10–11 класиРадикальна вісь
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-04-05-002

Пряма EF через проєкції ортоцентра ділить відрізок HK

Гострокутний трикутник ABCABC є вписаним у коло ω\omega з центром OO. На дузі BCBC кола ω\omega, яка не містить точку AA, відмітили довільну точку PP, відмінну від BB і CC. Нехай DD — така точка, що чотирикутник APCDAPCD є паралелограмом. Позначимо через HH та KK ортоцентри трикутників ABCABC і ACDACD відповідно, а через EE і FF — ортогональні проекції точки KK на прямі BCBC і ACAC відповідно. Доведіть, що пряма EFEF ділить відрізок HKHK навпіл.
10–11 класиТочка перетину висот
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-04-05-005

Середини діагоналей вписаного чотирикутника

Чотирикутник ABCDABCD є вписаним у коло з центром OO. Середини діагоналей ACAC і BDBD позначено XX і YY відповідно. Доведіть, що точки BB, XX, OO і DD лежать на одному колі тоді й тільки тоді, коли точки AA, OO, YY і CC лежать на одному колі.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-04-05-009

Пряма через перетин вписаних кіл трикутників ABX і ACX

Дано трикутник ABCABC, що має таку властивість: на продовженні його сторони BCBC за точку CC можна обрати точку XX так, що вписані кола трикутників ABXABX і ACXACX перетинаються в двох різних точках. Позначимо ці дві точки як PXP_X і QXQ_X. Доведіть існування такої точки, що пряма PXQXP_X Q_X проходить через неї — незалежно від вибору точки XX.
10–11 класиВписане коло
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-04-05-010

Нерівність з радіусами кіл та відрізками AM і AX

Нехай RR і rr — радіуси відповідно описаного та вписаного кіл гострокутного трикутника ABCABC з найбільшим кутом AA. Точку перетину дотичних, проведених до описаного кола в точках BB і CC, позначимо через XX, а середину відрізка BCBC через MM. Доведіть, що rR≥AMAX\dfrac{r}{R} \ge \dfrac{AM}{AX}.
10–11 класиПодібність в прямокутному трикутн…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-03-04-002

Прямі через вершини трикутника та точки на променях

Нехай OO — центр описаного кола гострокутного трикутника ABCABC, і цей центр не належить жодній з медіан AA0AA_0, BB0BB_0, CC0CC_0. На променях OA0OA_0, OB0OB_0 і OC0OC_0 позначили точки A1A_1, B1B_1, C1C_1 відповідно так, що ∠OAA0=∠OA1A\angle OAA_0 = \angle OA_1 A, ∠OBB0=∠OB1B\angle OBB_0 = \angle OB_1 B і ∠OCC0=∠OC1C\angle OCC_0 = \angle OC_1 C. Доведіть, що прямі AA1AA_1, BB1BB_1 і CC1CC_1 перетинаються в одній точці.
10–11 класиОзнаки подібності
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-02-03-002

Два перетинні кола і центри описаних кіл трикутників

Коло ω1\omega_1 перетинає коло ω2\omega_2 в двох різних точках PP і QQ. На колі ω1\omega_1 обираються дві різні точки A1A_1 і B1B_1, які не співпадають з точками PP і QQ. Прямі A1PA_1 P і B1PB_1 P вдруге перетинають коло ω2\omega_2 в точках A2A_2 і B2B_2 відповідно. Нехай CC — точка перетину прямих A1B1A_1 B_1 і A2B2A_2 B_2. Доведіть, що незалежно від вибору точок A1A_1 і B1B_1 на колі ω1\omega_1 центри кіл, описаних навколо трикутників A1A2CA_1 A_2 C, — усі лежать на одному фіксованому колі.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-02-03-008

Діаметр кола, дотичні та колінеарні точки S, K, T

Нехай ABAB — діаметр кола ω\omega. Позначимо через lal_a і lbl_b дотичні до кола ω\omega в точках AA і BB відповідно. На колі ω\omega обирається довільно точка CC. Нехай BCBC перетинає lal_a в точці KK, а бісектриса кута CAKCAK перетинає CKCK в точці HH. Нехай MM — середина дуги CABCAB, SS — інша точка перетину HMHM і кола ω\omega, TT — точка перетину прямої lbl_b і дотичної до кола ω\omega в точці MM. Доведіть, що точки SS, KK і TT лежать на одній прямій.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-02-03-011

Точка на описаному колі, паралелограм і паралельні прямі

Нехай точка HH — ортоцентр гострокутного трикутника ABCABC, PP — довільна точка дуги BCBC кола, описаного навколо трикутника ABCABC, яка не містить точку AA. Нехай BEBE — висота трикутника ABCABC, QQ — така точка, що APCQAPCQ — паралелограм. Позначимо через FF точку перетину прямої HQHQ з прямою, що проходить через точку AA паралельно до прямої BPBP. Доведіть, що EF∥APEF \parallel AP.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.