Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

1 192 задачі
КомбінаторикаІнваріанти та напівінваріанти
Французька математична олімпіадаFRMO-0000-010

Триколірне розфарбування цілих чисел із забороненими трійками

Нехай aa і bb — цілі числа такі, що a+ba + b не ділиться на 33. Доведіть, що неможливо розфарбувати цілі числа у три кольори так, щоб для кожного цілого nn три числа nn, n+an+a і n+bn+b мали різні кольори.
8–10 класиОстача від ділення
Французька математична олімпіадаFRMO-0000-014

Гра з пересуванням фішок у ряді

Розглянемо ряд клітинок, пронумерованих 0,1,…,k0,1, \ldots, k зліва направо, де для кожного i⩾1i \geqslant 1 клітинка номер ii містить xix_{i} фішок. Спочатку на клітинці номер 00 немає жодної фішки. Далі Аліса та Боб грають по черзі за такими правилами: - Боб вибирає множину SS фішок, не обов'язково всіх з однієї клітинки. - Аліса може далі або усунути всі фішки, які не входять до SS, але тоді пересунути кожну фішку з SS з клітинки, яку вона займає, до сусідньої клітинки ліворуч (така фішка переходить, отже, з клітинки номер ii до клітинки номер i−1i-1), або усунути всі фішки, які входять до SS, але тоді пересунути кожну фішку, яка не входить до SS, з клітинки, яку вона займає, до сусідньої клітинки ліворуч. Боб виграє партію, якщо йому вдається привести якусь фішку на клітинку номер 00, а Аліса виграє, якщо їй вдається усунути всі фішки. 1) Доведіть, що Аліса має виграшну стратегію, якщо ∑i=1k2−ixi<1\sum_{i=1}^{k} 2^{-i} x_{i}<1. 2) Чи правда, що якщо ∑i=1k2−ixi⩾1\sum_{i=1}^{k} 2^{-i} x_{i} \geqslant 1, то Боб має виграшну стратегію?
8–10 класиНапівінваріанти
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-082

Виграшна стратегія в грі з сірниками

На стіл кладуть 23 сірники, і двоє гравців грають у гру: кожен по черзі забирає від 1 до 4 сірників включно. Той, хто забере останній сірник, перемагає. Чи існує виграшна стратегія для когось із двох? Виграшна стратегія — це спосіб гри, який дає змогу одному з двох перемогти незалежно від того, як грає його суперник.
8–10 класиВиграшні та програшні позиції: ан…
Відбіркові тести на IMOTST-0000-001

Контрольна з шести запитань для 67 учнів

6767 учнів пишуть контрольну роботу. Контрольна складається з 66 запитань з варіантами відповіді, на кожне з яких треба відповісти «так» чи «ні». Кожен учень відповідає при цьому на всі 66 запитань. Правильна відповідь на kk-те запитання дає kk балів, неправильна відповідь — −k-k балів. a) Доведіть, що принаймні двоє учнів заповнили аркуш однаково. b) Доведіть, що принаймні четверо учнів набрали однакову кількість балів.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Відбіркові тести на IMOTST-0000-004

Бінарні матриці з парною кількістю одиниць у рядках і стовпцях

Дано таблицю з mm рядками та nn стовпцями. Скількома способами можна заповнити цю таблицю самими нулями й одиницями так, щоб у кожному рядку та кожному стовпці стояла парна кількість одиниць?
10–11 класиПарність і непарність2 розв’язки
Італійська математична олімпіадаITAMO-0000-018

Раціональна послідовність з рекурсією за парністю чисельника

Нехай x0,x1,x2,…x_{0}, x_{1}, x_{2}, \ldots — послідовність раціональних чисел, задана рекурентно таким чином: x0x_{0} — довільне раціональне число, а для n≥0n \geq 0 xn+1={∣xn2−1∣ якщо чисельник xn парний ,∣1xn−1∣ якщо чисельник xn непарний ,x_{n+1}= \begin{cases}\left|\frac{x_{n}}{2}-1\right| & \text { якщо чисельник } x_{n} \text { парний }, \\ \left|\frac{1}{x_{n}}-1\right| & \text { якщо чисельник } x_{n} \text { непарний },\end{cases} де під чисельником раціонального числа розуміється чисельник дробу, зведеного до найменшого вигляду. Доведіть, що для кожного значення x0x_{0}: (a) послідовність містить лише скінченну кількість попарно різних членів; (b) послідовність містить рівно одне з чисел 0 і 2/32 / 3 (тобто: або існує індекс kk такий, що xk=0x_{k}=0, або існує індекс mm такий, що xm=2/3x_{m}=2 / 3, але не обидва разом).
10–11 класиНапівінваріанти
Інші змаганняMISC-0000-180

Операції калькулятора з піднесенням до квадрата і відніманням

a) Калькулятор у країні Сінколандії має лише цифри від 0 до 9 і дві кнопки □\square і △\triangle. Кнопка □\square підносить до квадрата число, що є на екрані калькулятора. Кнопка △\triangle віднімає 5 від числа, що є на екрані калькулятора. Моніка набирає число 7, а потім натискає □\square, далі натискає кнопку △\triangle. Який результат покаже калькулятор? b) Покажіть, що якщо натуральне число xx дає остачу 4 при діленні на 5, то число x2x^{2} дає остачу 1 при діленні на 5. c) Чи можна на калькуляторі із Сінколандії набрати число 9, а потім отримати результат 7, натискаючи відповідним чином кнопки □\square або △\triangle?
10–11 класиАрифметика остач (базові властиво…
Інші змаганняMISC-0000-183

Парність суми рукостискань

У групі з 20 людей деякі люди обмінюються рукостисканнями. a) Підрахуємо, скільки рукостискань зробила кожна людина, і додамо всі ці числа. Доведіть, що результат парний. b) Чи можливо, щоб у групі з 99 людей кожна людина зробила рівно 3 рукостискання?
10–11 класиПідрахунок двома способами
Інші змаганняMISC-0000-144

Ітераційна операція над набором чисел

На дошці є числа 11, 22, 33, 44, 55 і 66. За кожен хід Жуан може замінити два числа aa і bb на a⋅b+a+ba \cdot b + a + b. Знайдіть усі можливі значення останнього числа на дошці.
8–9 класиІнші інваріанти
Інші змаганняMISC-0000-085

Процес зміни кольору хамелеонів

На таємничому острові було 13 сірих хамелеонів, 15 коричневих хамелеонів і 17 червоних хамелеонів. Коли два хамелеони різних кольорів зустрічаються, обидва набувають третього кольору. Наприклад, якщо сірий зустрічається з червоним, то обидва стають коричневими. Через бурю відбулися 2 зустрічі сірий-червоний, 3 зустрічі коричневий-червоний і ще 1 зустріч сірий-червоний. Скільки хамелеонів кожного кольору залишилося на острові?
6–11 класиІнші інваріанти
Інші змаганняMISC-0000-159

Обміни кольорів у вершинах п'ятикутника

Жоау має ґудзики трьох кольорів: синього, білого і сірого. Синій ґудзик позначатимемо через AA, білий ґудзик — через BB, а сірий ґудзик — через CC. Він розміщує п'ять ґудзиків у вершинах правильного п'ятикутника за годинниковою стрілкою: A,C,B,CA, C, B, C і BB, як на малюнку нижче. Він знає, що може робити деякі обміни ґудзиків, дотримуючись певного правила. Вибираючи ґудзик, він може обміняти його на ґудзик іншого кольору за умови, що не виявиться двох ґудзиків однакового кольору в сусідніх вершинах. Щоб не міняти ґудзики без мети, він ставить за мету отримати кольори A,B,C,BA, B, C, B і CC за годинниковою стрілкою. Після багатьох обмінів Жоау не зміг дійти до бажаної кінцевої ситуації. Тоді він вирішив попросити допомоги у свого вчителя Піралду. Вчитель стверджує, що перейти від початкової конфігурації до бажаної кінцевої конфігурації неможливо. Щоб це довести, вчитель Піралду взяв кілька карток із числами 1,−11,-1 і 0. Далі він сказав Жоау покласти на кожну сторону п'ятикутника картку за таким правилом: i) Дивлячись за годинниковою стрілкою, якщо у вершинах будуть BB і AA або будуть AA і CC, покладіть картку з числом 1. ii) Також дивлячись за годинниковою стрілкою, якщо у вершинах будуть AA і BB або будуть CC і AA, покладіть картку з числом -1. iii) В інших випадках покладіть картку 0. Щоразу, коли робитимете обмін, змінюйте картки за цими вказівками. Після пояснення вчитель Піралду сказав, що, проаналізувавши поведінку карток, Жоау тепер зможе зрозуміти, чому досягти початкової мети неможливо. a) Роблячи всі можливі обміни ґудзиків, з AA на BB, з BB на CC чи з CC на AA і зворотні обміни, що відбувається із сумою карток, покладених на сторони за вказівками вчителя Піралду? b) Яка сума карток у початковій ситуації та в бажаній кінцевій ситуації? Зробіть висновок, що перейти від початкової конфігурації до бажаної кінцевої ситуації неможливо.
8–9 класиІнші інваріанти
Інші змаганняMISC-0000-163

Розбиття купки камінців на купки по три

На столі лежить купка камінців. Петрик грає в таку гру: за один хід він може вибрати купку з принаймні 3 камінцями, забрати один із цих камінців і розділити купку на дві непорожні купки. Наприклад, якщо в нього є купка з 15 камінців, він може розділити цю купку на дві купки з 9 і 5 (він забирає один камінець, залишаючи в купці 14 камінців, а потім її ділить). Він може продовжувати процес. Наприклад, Петрик може розділити купку з 9 камінців на дві — одну з 3 і одну з 5, отримавши наприкінці три купки: одну з 3 і дві з 5. a) Якщо спочатку на столі лежить єдина купка з 19 камінців, чи зможе Петрик після кількох ходів домогтися того, щоб усі купки, що залишилися, мали рівно по 3 камінці? b) А якщо є єдина купка з 1001 камінця?
8–9 класиІнші інваріанти
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-0000-118

Зіткнення однакових кульок

П’ять однакових кульок рухаються в одному напрямку вздовж фіксованої прямої, зберігаючи певну відстань одна від одної. Вздовж тієї самої прямої, але в протилежному напрямку, інші п’ять кульок рухаються назустріч першим. Швидкості всіх кульок однакові. Коли дві кульки зіштовхуються, вони повертаються назад з тією самою швидкістю, що й раніше, вздовж тієї самої прямої. Скільки зіткнень між кульками відбудеться?
8–9 класиІнші інваріанти
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-0000-123

Мурахи на вершинах прямокутника

Три мурахи нерухомо стоять у трьох із чотирьох вершин прямокутника на площині. Мурахи рухаються по площині по черзі, по одній. Щоразу та мураха, що рухається, переміщується по прямій, паралельній до прямої, визначеної положеннями двох інших мурах. Чи можливо, щоб після кількох рухів мурахи опинилися в серединах трьох із чотирьох сторін початкового прямокутника?
10–11 класиІнші інваріанти
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-0000-006

Розподіл каменів на шахівниці з обмеженнями на ходи

Нехай nn — додатне ціле число. Розглянемо таку гру: спочатку kk каменів розподілено по n2n^{2} клітинках шахівниці розміром n×nn \times n. Хід полягає у виборі клітинки, що містить принаймні стільки ж каменів, скільки її сусідніх клітинок (дві клітинки є сусідніми, якщо вони мають спільну сторону), і переміщенні одного каменя з цієї клітинки до кожної з її сусідніх клітинок. Визначте всі додатні цілі числа kk такі, що: (a) Існує початкова конфігурація з kk каменями, при якій жоден хід неможливий. (b) Існує початкова конфігурація з kk каменями, при якій можлива нескінченна послідовність ходів.
10–11 класиБієкції
Естонська математична олімпіадаESTMO-2025-050

Сума після операцій з НСД та НСК на дошці

Каті записує на дошку числа 20,21,22,…,2100,30,31,32,…,3100,60,61,62,…,61002^0, 2^1, 2^2, \dots, 2^{100}, 3^0, 3^1, 3^2, \dots, 3^{100}, 6^0, 6^1, 6^2, \dots, 6^{100} На кожному кроці вона виконує одну з таких операцій: (1) Вона може вибрати два числа і замінити їх на їхній найбільший спільний дільник і найменше спільне кратне; або (2) Вона може вибрати два числа, одне з яких ділиться на інше, і замінити їх на деякі два числа, найбільшим спільним дільником і найменшим спільним кратним яких були б ці два вибрані числа. Знайдіть найменшу та найбільшу суму всіх чисел на дошці, яку можна досягти за скінченну кількість кроків.
Інші інваріанти
Естонська математична олімпіадаESTMO-2025-019

Жаби проти монстрів на дошці з ходами коня

Нехай n≥3n \ge 3 — ціле число. На клітинній дошці n×nn \times n є три невидимі монстри: один у правій верхній кутовій клітинці й по одному в кожній із сусідніх з нею клітинок. В області 2×22 \times 2 у протилежному куті дошки розміщено декілька жаб. В одній клітинці може міститися більше ніж одна жаба. Жаби й монстри по черзі виконують такі ходи. Ходом жаб кожна жаба робить хід конем, стрибаючи або на дві клітинки вгору й одну вправо, або на одну вгору й дві вправо. Ходом монстрів вони можуть зробити загалом до 3 ходів конем, стрибаючи або на дві клітинки вниз й одну вліво, або на одну вниз і дві вліво. Починають жаби. Якщо жаба й монстр коли-небудь опиняться на одній клітинці, монстр з'їсть жабу. Знайдіть найменшу кількість жаб, потрібну для того, щоб гарантувати, що принаймні одна жаба зможе дістатися до місця, звідки обидва можливі стрибки виводили б її за межі дошки.
Кольорові інваріанти (розфарбуван…
Естонська математична олімпіадаESTMO-2025-045

Код Грея від нулів до дев’яток

Знайдіть усі натуральні числа nn, для яких усі 10n10^n невід’ємних цілих чисел, що складаються з nn цифр, можна впорядкувати так, щоб виконувалися всі такі умови: (1) перше число складається лише з нулів; (2) будь-які два числа, сусідні в цьому порядку, відрізняються рівно в одній позиції, а цифри в цій позиції відрізняються рівно на 1; (3) останнє число складається лише з дев’яток. Зауваження: у цій задачі дозволяється, щоб числа починалися з нуля (нулів).
Парність і непарність2 розв’язки
Естонська математична олімпіадаESTMO-2024-007

Чотири прямокутники сітки з покриттям 2x3

Прямокутна сітка розділена двома перпендикулярними прямими на чотири менші прямокутники з цілочисельними довжинами сторін. Можна видалити один з цих чотирьох прямокутників таким чином, що фігура, яка залишиться, може бути точно покрита прямокутниками розміром 2×32 \times 3 та 3×23 \times 2. Доведіть, що можна точно покрити один з цих чотирьох менших прямокутників прямокутниками розміром 2×32 \times 3 та 3×23 \times 2. (Під точним покриттям ми розуміємо покриття без проміжків, накладань та виходів за межі.)
Кольорові інваріанти (розфарбуван…2 розв’язки
Математичний гурток БеркліBMC-2022-034

Послідовне заповнення таблиці 3 на 3

Скільки існує способів записати всі числа від 11 до 99 у клітинках дошки 3×33 \times 3 так, щоб для всіх цілих 1≤n<91 \leq n < 9 клітинка з числом nn мала спільну сторону з клітинкою з числом n+1n+1?
Кольорові інваріанти (розфарбуван…
Математичний гурток БеркліBMC-2022-005

Перевертання монет фіксованими групами

Ейріт має 5 монет, усі лежать орлом догори. Вона хоче перевернути їх так, щоб усі лежали решкою догори. а) Якщо за один хід вона мусить перевертати рівно три монети (з орла на решку або навпаки), чи можливо це? б) А якщо за один хід вона мусить перевертати рівно дві монети? Для кожного пункту або покажіть спосіб, як це можна зробити, або доведіть, що це неможливо.
Парність і непарність
Математичний гурток БеркліBMC-2022-028

Стратегія гри на вилучення з кола

Софія та Маркіз грають у гру, ходячи по черзі. Вони утворюють коло з 20232023 іншими людьми, і кожного ходу Софія або Маркіз може прибрати з кола одного зі своїх сусідів ліворуч або праворуч. Той, хто прибере іншого гравця, перемагає. Якщо починає Софія, хто має виграшну стратегію?
Виграшні та програшні позиції: ан…
Математичний гурток БеркліBMC-2022-018

Сто додатних чисел на дошці та заміни до одного

Аеріт пише 100100 додатних чисел на дошці. Щохвилини Боб або замінює одне число xx на 1x\frac{1}{x}, або замінює два числа x,yx, y на xy+1x+y\frac{x y+1}{x+y}. Відомо, що після 20212021 хвилин залишилося лише одне число. Доведіть, що це число залежить лише від початкових чисел Аеріт.
Інші інваріанти
Математичний гурток БеркліBMC-2022-019

Процес на клітинній дошці зі зменшенням і збільшенням сусідів

Аеріт записує натуральне число в кожну клітинку клітинної дошки 2021×20212021 \times 2021. Щосекунди Боб вибиратиме клітинку зі значенням щонайменше п'ять, якщо така існує, зменшуватиме її значення на чотири та збільшуватиме на 11 значення кожного її сусіда. Чи обов'язково цей процес колись зупиниться?
Напівінваріанти
Математичний гурток БеркліBMC-2022-023

Замощення прямокутника вертикальними й горизонтальними плитками

Деякий прямокутник можна замостити комбінацією вертикальних плиток b×1b \times 1 і горизонтальних плиток 1×a1 \times a. Доведіть, що прямокутник можна замостити лише плитками одного з цих двох типів.
Кольорові інваріанти (розфарбуван…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.