Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

1 904 задачі
КомбінаторикаОптимальна конструкція (оцінка і приклад)
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-18-19-013

Максимальна кількість ходів гри зі степенями двійки на стрічці

Олексій грає у гру на стрічці, що складається з 99 одиничних клітинок. На початку гри всі клітинки порожні. Кожним кроком Олексій може зробити одну з двох дій: - вибрати довільне число вигляду 2j2^j, де jj — деяке невід’ємне ціле число, і записати його в порожню клітинку; - вибрати дві (не обов’язково сусідні) клітинки, у яких записано однакові числа, скажімо, 2j2^j, і записати в одній із них число 2j+12^{j+1}, а другу клітинку витерти. У кінці гри виявилося, що в одній клітинці записано число 2n2^n (де nn — наперед задане натуральне число), а решта клітинок порожні. Знайдіть максимальну кількість ходів, які міг зробити Олексій, залежно від значення nn.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-18-19-018

Додатні числа з обмеженим відношенням і гострокутний трикутник

Знайдіть усі натуральні n⩾3n \geqslant 3 такі, що серед довільних nn додатних дійсних чисел a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n, за умови max⁡(a1,a2,…,an)⩽nmin⁡(a1,a2,…,an)\max(a_1, a_2, \ldots, a_n) \leqslant n \min(a_1, a_2, \ldots, a_n), існують попарно різні індекси ii, jj, kk, для яких ai,aj,aka_i, a_j, a_k — сторони гострокутного трикутника.
7–9 класиЧисла Фібоначі
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-18-19-003

Найбільша можлива різниця a2018 - a2017 у послідовності

Нехай a0,a1,a2…a_0, a_1, a_2\ldots — така послідовність дійсних чисел, що a0=0a_0 = 0, a1=1a_1 = 1 і для кожного натурального n⩾2n \geqslant 2 існує натуральне число kk, 1⩽k⩽n1 \leqslant k \leqslant n, для якого an=1k(an−1+…+an−k).a_n = \frac{1}{k}(a_{n-1} + \ldots + a_{n-k}). Знайдіть найбільше можливе значення a2018−a2017a_{2018} - a_{2017}.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-18-19-004

Жуки в пронумерованих коробках, що повзуть праворуч

Дано натуральне число nn. Ганна виставила в ряд (n+1)(n + 1) коробку та, пронумерувавши коробки зліва направо числами 0,1,2,…,n0, 1, 2, \ldots, n, помістила в нульову коробку nn жуків. Ці жуки почали переповзати по коробках. За одну хвилину рівно один із kk жуків, які містилися в коробці, переповзає в не більше ніж kk коробок праворуч. Через деякий час усі жуки опинилися в коробці з номером nn. Доведіть, що минуло не менше ніж [n1]+[n2]+…+[nn]\left[\dfrac{n}{1}\right] + \left[\dfrac{n}{2}\right] + \ldots + \left[\dfrac{n}{n}\right] хвилин від початку до цього моменту.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-17-18-013

Найбільша кількість ходів гри на дев'яти клітинках

Олексій грає у гру на стрічці, що складається з дев'яти клітинок. На початку гри всі клітинки порожні. Кожним кроком Олексій може виконати одну з двох дій: а) вибрати довільне число вигляду 2j2^j, де jj — деяке невід'ємне ціле число, і записати його в порожню клітинку; б) вибрати дві (не обов'язково сусідні) клітинки, у яких записано однакові числа, скажімо 2j2^j, а після цього записати в одній із цих клітинок число 2j+12^{j+1}, а другу клітинку витерти. У кінці гри виявилося, що в одній клітинці записано число 2n2^n, де nn — наперед задане натуральне число, а решта клітинок порожні. Знайдіть максимальну кількість ходів, яку міг зробити Олексій залежно від значення nn.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-17-18-005

Сума квадратів відстаней між дванадцятьма точками

Знайдіть найменше додатне число λ\lambda таке, що для довільних 12 точок P1P_1, P2P_2, …, P12P_{12} на площині (точки можуть збігатися, а відстань між двома довільними з них не перевищує 1) виконується нерівність ∑1⩽i<j⩽12PiPj2⩽λ\sum\limits_{1 \leqslant i < j \leqslant 12} P_iP_j^2 \leqslant \lambda.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-15-16-006

Найменше n для єдиного розбиття зі 101 синьою клітинкою

101 клітинку дошки розміром n×nn \times n пофарбовано синім кольором. Відомо, що існує єдине розбиття дошки по лініях сітки на прямокутники таким чином, що кожен прямокутник розбиття містить рівно одну синю клітинку. Знайдіть найменше значення nn, при якому це можливо.
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-15-16-017

Множина з рівно 2015 хороших розбиттів

Розбиття скінченної множини AA, яка складається з натуральних чисел, на непорожні множини A1A_1 і A2A_2 назвемо хорошим, якщо A1A_1 і A2A_2 не перетинаються, а найменше спільне кратне елементів з A1A_1 дорівнює найбільшому спільному дільнику елементів з A2A_2. Знайдіть найменше значення nn, для якого існує множина AA, що складається з nn елементів і має рівно 2015 хороших розбиттів.
10–11 класиНСД та НСК
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-14-15-003

Кількість різних модулів різниці перестановки

Для довільної перестановки σ\sigma чисел із множини {1,2,…,2014}\{1, 2, \ldots, 2014\} розглянемо множину Iσ={∣σ(i)−i∣:i=1,2,…,2014},I_\sigma = \left\{ \left| \sigma(i) - i \right| : i = 1, 2, \ldots, 2014 \right\}, де через σ(i)\sigma(i) позначено ii-й елемент перестановки σ\sigma. Позначимо через ∣Iσ∣\left| I_\sigma \right| кількість елементів множини IσI_\sigma. Знайдіть усі можливі значення, яких може набувати ∣Iσ∣\left| I_\sigma \right|.
10–11 класиПарність і непарність
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-14-15-012

Рівні відрізки в центрально-симетричній множині точок

На сторонах опуклого kk-кутника вибрали mm точок таким чином, що множина PP з n=m+kn = m + k точок (kk вершин многокутника і mm вибраних точок) центрально-симетрична. Нехай S(P)S(P) позначає максимальну кількість відрізків однакової довжини в множині PP. Доведіть, що максимальне значення, якого може набувати величина S(P)S(P) при фіксованому nn, дорівнює 2n−32n - 3.
10–11 класиГеометричні конфігурації точок
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-14-15-015

Буси для друзів і ворогів з найменшою кількістю кольорів

На деякому острові проживає nn аборигенів. Кожна пара аборигенів або товаришує, або ворогує між собою. Одного дня вони отримали завдання виготовити собі буси з різнокольорових самоцвітів кількістю бусин від 00 і більше таким чином, щоб: - у кожної пари товаришів у бусах були самоцвіти однакового кольору; - у кожної пари ворогів самоцвітів однакового кольору не було. Яка найменша кількість кольорів має бути, щоб це можна було зробити для довільних відносин між жителями острова?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-14-15-002

Неможливий розклад наступного туру футбольного турніру

У футбольному турнірі nn команд грають в одне коло (n⋮2n \vdots 2). У кожному турі мають грати n/2n/2 пар команд, які ще не грали між собою. Розклад кожного туру складається напередодні його проведення. Для якого найменшого натурального kk можлива така ситуація: після проведення kk турів скласти розклад k+1k + 1-го туру вже неможливо, тобто ці nn команд не можна розбити на n/2n/2 пар, у кожній з яких зустрічаються команди, що не грали в попередніх kk турах?
10–11 класиКласичні теореми теорії графів
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-14-15-005

Нерівність між коштами послідовностей Андрія та Юри

Для довільної послідовності x1,x2,…,xnx_1, x_2, \ldots, x_n, яка складається з дійсних чисел, будемо називати її коштом число max⁡1⩽i⩽n∣x1+x2+…+xi∣\max\limits_{1 \leqslant i \leqslant n} |x_1 + x_2 + \ldots + x_i|. Із заданих nn дійсних чисел Андрій та Юра хочуть утворити послідовність, яка має малий кошт. Андрій перебирає всі можливі послідовності й вибирає з них ту, кошт DD якої мінімальний. Юра, у свою чергу, вибирає спочатку x1x_1 таке, що величина ∣x1∣|x_1| мінімальна, далі з решти чисел вибирає x2x_2 таке, що величина ∣x1+x2∣|x_1 + x_2| набуває найменшого значення, і так далі. Іншими словами, на ii-му кроці Юра вибирає xix_i із чисел, які вони ще не використовували, і величина ∣x1+x2+…+xi∣|x_1 + x_2 + \ldots + x_i| є мінімальною. На кожному кроці, якщо існують декілька чисел, для яких досягається мінімальне значення, Юра вибирає довільне з них. Для побудованої послідовності він підраховує її кошт GG. Знайдіть найменше значення константи cc такої, що для довільного натурального nn, для довільних nn дійсних чисел x1,x2,…,xnx_1, x_2, \ldots, x_n і для довільної послідовності, яку може отримати Юра, виконується нерівність G⩽cDG \leqslant cD.
10–11 класиЖадібний алгоритм
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-14-15-009

Точки з опуклим семикутником і точками всередині п'ятикутників

Множина MM складається з nn точок на площині й задовольняє умови: - у множині MM існують сім точок, що є вершинами опуклого семикутника; - для довільних п'яти точок із множини MM, що є вершинами опуклого п'ятикутника, існує точка, яка також належить MM і лежить усередині цього п'ятикутника. Знайдіть найменше можливе значення, якого може набувати nn.
10–11 класиГеометричні конфігурації точок
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-13-14-001

Мурахи на вершинах 2n-кутника без прямих через центр

Задано натуральне число n⩾2n \geqslant 2 і правильний 2n2n-кутник, у кожній вершині якого сидить по мурасі. У деякі моменти часу кожна мураха переповзає в одну з двох сусідніх вершин (у деяких вершинах може опинитись одночасно декілька мурах). Через kk таких операцій виявилося, що довільна пряма, яка сполучає дві різні вершини многокутника, у яких є мурахи, не проходить через його центр. Знайдіть для заданого nn найменше можливе значення kk.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-13-14-007

Найменше фішок двох кольорів на n×n з парним набором

Для кожного натурального n⩾4n \geqslant 4 знайдіть найменше натуральне число kk, яке задовольняє таку властивість: для довільного розташування kk фішок двох кольорів по клітинках дошки розміром n×nn \times n (не більше однієї фішки в клітинці) з них можна вибрати такий непорожній набір, щоб у кожному рядку й у кожному стовпчику стояла парна (можливо, нульова) кількість фішок кожного кольору.
10–11 класиДвочасткові графи
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-12-13-001

Найбільша кількість різних букв у таблиці n × n

У клітини таблиці n×nn \times n вписано букви (у кожну клітину по одній букві) таким чином, що в кожному рядку та кожному стовпчику опинилося не більше трьох різних букв. Яка найбільша кількість різних букв може бути в таблиці?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-12-13-002

Найбільша кількість зірочок з умовою на рядки або стовпці

Учитель повідомив Петрику непарне натуральне число l⩽2013l\leqslant 2013 і дав хлопцю домашнє завдання. Петрик має розставити зірочки в комірках таблиці 2013×20132013\times 2013 так, щоб справджувалася умова: якщо в деякій клітинці таблиці стоїть зірочка, то або в рядку, або в стовпчику, де міститься ця клітинка, має стояти не більше ніж ll зірочок (включно з даною). При цьому в кожну комірку таблиці хлопець може поставити щонайбільше одну зірочку. Учитель пообіцяв Петрику, що його оцінка буде пропорційною кількості зірочок, які хлопцю вдасться розставити. Яку найбільшу кількість зірочок зможе розставити в таблиці Петрик?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-10-11-003

n чисел між сусідніми n-ми степенями з добутком-степенем

Задано натуральне число n>2n > 2. Доведіть, що існує натуральне KK таке, що для всіх цілих k⩾Kk \geqslant K на відкритому інтервалі (kn,(k+1)n)(k^n, (k + 1)^n) існують nn різних цілих чисел, добуток яких є nn-м степенем цілого числа.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-10-11-008

Існування зростаючої послідовності з сумами і оцінкою

Чи існує зростаюча послідовність цілих чисел 0=a0<a1<a2<…0 = a_0 < a_1 < a_2 < \ldots, для якої одночасно виконуються такі дві умови: 1) будь-яке натуральне число можна подати у вигляді ai+aja_i + a_j для деяких (можливо, рівних) i⩾0i \geqslant 0, j⩾0j \geqslant 0; 2) an>n216a_n > \dfrac{n^2}{16} для всіх натуральних nn?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-10-11-012

Перестановки чисел від 1 до 2n з різними різницями

Нехай nn — натуральне число. Розгляньмо всі перестановки (a1,…,a2n)(a_1, \ldots, a_{2n}) перших 2n2n натуральних чисел такі, що числа ∣ai+1−ai∣|a_{i+1} - a_i|, i=1,…,2n−1i = 1, \ldots, 2n - 1, є попарно різними. Доведіть, що a1−a2n=na_1 - a_{2n} = n тоді і лише тоді, коли 1⩽a2k⩽n1 \leqslant a_{2k} \leqslant n для всіх k=1,…,nk = 1, \ldots, n.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-09-10-001

Максимальна кількість раундів передачі карток по колу

Є 20102010 карток червоного та 20102010 карток білого кольорів. Усі ці 40204020 карток перемішуються та роздаються по дві випадковим чином кожному з 20102010 гравців, які сидять за круглим столом. Гра складається з декількох раундів, у кожному з яких гравці одночасно передають картки один одному за таким правилом. Якщо гравець має принаймні одну червону картку, він передає одну червону картку гравцю, що сидить ліворуч від нього, у противному разі він передає ліворуч одну білу картку. Гра закінчується після того раунду, коли в кожного з гравців виявляється по одній червоній та білій картці. Визначите максимально можливу кількість таких раундів.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-08-09-011

Найменша кількість жовто-блакитних клітинок таблиці n на n

Нехай задано натуральні числа m<nm < n. Розглянемо таблицю розміром n×nn \times n, у комірках якої довільним чином записані усі числа від 11 до n2n^2. В кожному рядочку таблиці пофарбуємо в жовтий колір mm найбільших елементів. Аналогічно, блакитним пофарбуємо mm найбільших елементів в кожному стовпчику. Знайти найменшу можливу кількість клітинок, що пофарбовані жовтим і блакитним одночасно.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-07-08-002

Найбільша довжина рядка з цифр і літер

У рядок записані символи – цифри від 00 до 99 та українські букви (їх 3333). Деякі символи можуть повторюватися. При цьому у рядку немає таких двох різних цифр nin_i та njn_j, що ni>njn_i > n_j та nin_i знаходиться у рядку лівіше за njn_j. Також немає таких двох різних букв lil_i та ljl_j, що lil_i зустрічається у алфавіті пізніше за ljl_j і при цьому lil_i знаходиться у рядку лівіше за ljl_j. Також немає двох однакових символів, які ідуть підряд або через один символ. Яка найбільша кількість символів (цифр та букв разом) може бути у такому рядку?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-04-05-003

Чудова таблиця 1019 × 1019 і найбільше число

Для таблиці розміром 1019×10191019 \times 1019, заповненої натуральними числами, позначимо через XiX_i множину чисел в її ii-му рядку, а через YiY_i — множину чисел в її ii-му стовпчику, 1≤i≤10191 \le i \le 1019. У випадку, якщо всі множини X1,X2,…,X1019X_1, X_2, \ldots, X_{1019}, Y1,Y2,…,Y1019Y_1, Y_2, \ldots, Y_{1019} є попарно різними, таку таблицю назвемо чудовою. Знайдіть найменше можливе значення найбільшого числа в чудовій таблиці.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.