Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

2 443 задачі
ГеометріяКола
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-012

Спільні кола через діагоналі шестикутника

Нехай ABCDEFABCDEF — вписаний опуклий шестикутник. Точка PP називається допустимою, якщо вона не лежить на описаному колі шестикутника ABCDEFABCDEF ані на жодній з прямих ADAD, BEBE і CFCF. Допустима точка називається фантастичною, якщо кола ⊙(ADP)\odot(ADP), ⊙(BEP)\odot(BEP) і ⊙(CFP)\odot(CFP) перетинаються рівно у двох точках. Доведіть, що якщо існує фантастична точка, то всі допустимі точки є фантастичними.
10–11 класиРадикальна вісь
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-014

Відстань між центром описаного кола та інцентром

Нехай △ABC\triangle ABC — гострокутний трикутник, у якому ∣AB∣>∣AC∣|AB| > |AC|. Внутрішня бісектриса кута ∠BAC\angle BAC перетинає BCBC у точці DD. Нехай OO — центр описаного кола трикутника △ABC\triangle ABC. Нехай пряма AOAO перетинає відрізок BCBC у точці EE. Нехай JJ — інцентр трикутника △AED\triangle AED. Доведіть, що якщо ∠ADO=45∘\angle ADO = 45^\circ, то ∣OJ∣=∣JD∣|OJ| = |JD|.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-015

Паралелограм із побудови в рівнобедреному трикутнику

Нехай △ABC\triangle ABC — рівнобедрений трикутник, у якому ∣AB∣=∣AC∣|AB| = |AC|. Нехай DD — довільна точка на відрізку BCBC. Нехай XX і YY — точки на сторонах ABAB і ACAC відповідно, такі, що пряма XYXY не паралельна стороні BCBC і проходить через середину відрізка ADAD. Доведіть, що якщо центр описаного кола трикутника △ABC\triangle ABC лежить на ⊙(AXY)\odot(AXY), то чотирикутник AYDXAYDX є паралелограмом.
10–11 класиОписане коло
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-016

Ортоцентр і проєкція інцентра на сторону

Нехай △ABC\triangle ABC — гострокутний трикутник, у якому ∣AB∣<∣AC∣|AB| < |AC|, а II — інцентр. Нехай DD — проєкція II на сторону BCBC. Нехай HH — ортоцентр △ABC\triangle ABC. Доведіть, що якщо ∠IDH=∠CBA−∠ACB\angle IDH = \angle CBA - \angle ACB, то ∣AH∣=2⋅∣ID∣|AH| = 2 \cdot |ID|.
10–11 класиТочка перетину висот
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-017

Колінеарність основ висот трикутників із вершинами в точках дотику

У трикутнику △ABC\triangle ABC нехай вписане коло дотикається до сторін BCBC, CACA, ABAB у точках DD, EE, FF відповідно, а зовнівписане коло, протилежне до AA, дотикається до сторін BCBC, CACA, ABAB у точках PP, QQ, RR відповідно. Нехай EXEX і FYFY — висоти в трикутнику △DEF\triangle DEF, а QZQZ і RWRW — висоти в трикутнику △PQR\triangle PQR. Доведіть, що точки XX, YY, ZZ, WW лежать на одній прямій.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-018

Центроїд, центри описаних кіл і перетин перпендикулярів

Нехай △ABC\triangle ABC — трикутник з центроїдом GG. Нехай DD, EE і FF — центри описаних кіл △BCG\triangle BCG, △CAG\triangle CAG і △ABG\triangle ABG відповідно. Точка XX визначена як перетин перпендикулярів, опущених з EE на пряму ABAB і з FF на пряму ACAC. Доведіть, що пряма DXDX ділить відрізок EFEF навпіл.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола3 розв’язки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-019

Конкурентність прямих у трикутнику із серединними перпендикулярами

У гострокутному трикутнику △ABC\triangle ABC з ∣AB∣≠∣AC∣|AB| \neq |AC| серединні перпендикуляри до сторін ACAC і ABAB перетинають відрізок BCBC у точках DD і EE відповідно. Дотичні до ⊙(ABC)\odot(ABC) у точках BB і CC перетинають ⊙(ABD)\odot(ABD) і ⊙(ACE)\odot(ACE) у точках YY і ZZ відповідно. Припустимо, що прямі YDYD і ZEZE перетинаються в точці XX. Нехай UU і VV — точки перетину ⊙(DEX)\odot(DEX) з прямими ADAD і AEAE відповідно. Доведіть, що прямі UV,BCUV, BC і XAXA перетинаються в одній точці.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-020

Коло через середину бісектриси

У гострокутному трикутнику △ABC\triangle ABC з ∣AB∣≠∣AC∣|AB| \neq |AC| бісектриса кута ∠BAC\angle BAC перетинає сторону BCBC та ⊙(ABC)\odot(ABC) у точках DD і MAM_A відповідно. Нехай точки XX і YY — основи перпендикулярів з MAM_A на сторони ABAB і ACAC відповідно. Дотична до ⊙(BXMA)\odot(BXM_A) у точці XX і дотична до ⊙(CYMA)\odot(CYM_A) у точці YY перетинаються в точці TT. Припустимо, що прямі ATAT і BCBC перетинаються в точці SS. Доведіть, що ⊙(TSMA)\odot(TSM_A) проходить через середину відрізка ADAD.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-021

Перетини дотичних та відношення кіл

У гострокутному різносторонньому трикутнику △ABC\triangle ABC точки P,QP, Q лежать на менших дугах AB^\widehat{AB} та AC^\widehat{AC} відповідно і є точками перетину середньої лінії, паралельної стороні BCBC, з описаним колом △ABC\triangle ABC. Точки XX та YY є точками перетину серединних перпендикулярів до відрізків ABAB та ACAC відповідно з дотичною до ⊙(ABC)\odot(ABC) у точці AA. Нехай T≠AT \neq A — точка перетину кіл ⊙(PXA)\odot(PXA) та ⊙(QYA)\odot(QYA). Якщо ADAD — висота в трикутнику △ABC\triangle ABC, доведіть, що ∣TX∣∣TY∣=∣DB∣∣DC∣\frac{|TX|}{|TY|} = \frac{|DB|}{|DC|}
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-022

Відбиття та колінеарність у трикутнику

Нехай △ABC\triangle ABC — гострокутний трикутник, а PP — внутрішня точка △ABC\triangle ABC. Нехай KK, LL і MM — образи точки PP при симетрії відносно прямих BCBC, ACAC і ABAB відповідно. Нехай DD і EE — другі точки перетину кола ⊙(PBC)\odot(PBC) з прямими ABAB і ACAC відповідно. Нехай прямі MDMD і LELE перетинаються в точці FF. Доведіть, що FF, AA і KK лежать на одній прямій.
10–11 класиРадикальна вісь3 розв’язки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-023

Дотичні та рівнобедрений трикутник на колах

Нехай ω1\omega_1 і ω2\omega_2 — кола без спільних точок. Точки MM і NN вибрано на колах ω1\omega_1 і ω2\omega_2 відповідно так, що дотична до кола ω1\omega_1 у точці MM і дотична до кола ω2\omega_2 у точці NN перетинаються в точці PP, а △PMN\triangle PMN — рівнобедрений трикутник із вершиною PP. Кола ω1\omega_1 і ω2\omega_2 перетинають відрізок MNMN вдруге в точках AA і BB відповідно. Пряма PAPA перетинає коло ω1\omega_1 вдруге в точці CC, а пряма PBPB перетинає коло ω2\omega_2 вдруге в точці DD. Доведіть, що ∠BCN=∠ADM\angle BCN = \angle ADM.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки
Математичний матч Чехія–Австрія–Польща–СловаччинаCAPS-2023-003

Опуклий чотирикутник і точки X і Y на сторонах

Задано опуклий чотирикутник ABCDABCD, у якому ∠BAD=∠BCD\angle BAD = \angle BCD і ∠ABC<∠ADC\angle ABC < \angle ADC. Точка MM є серединою діагоналі ACAC. Доведіть, що існують точки XX та YY на сторонах ABAB та BCBC відповідно такі, що XY⊥BDXY \perp BD, MX=MYMX = MY і ∠XMY=∠ADC−∠ABC\angle XMY = \angle ADC - \angle ABC.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Математичний матч Чехія–Австрія–Польща–СловаччинаCAPS-2023-005

Перпендикулярність BT і CN у гострокутному трикутнику

Задано гострокутний трикутник ABCABC з ортоцентром HH. Нехай точка DD — основа висоти, опущеної з точки AA на сторону BCBC. Точка TT на колі з діаметром AHAH така, що це коло дотикається внутрішнім чином до описаного кола трикутника BDTBDT. Нехай точка NN — це середина відрізка AHAH. Доведіть, що BT⊥CNBT \perp CN.
10–11 класиРадикальна вісь
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2023-002

Пряма KL через ортоцентр гострокутного трикутника

Задано гострокутний трикутник ABCABC. Позначимо таку точку DD на його описаному колі, у якому ADAD — діаметр. Припустимо, що точки KK та LL належать відрізкам ABAB та ACAC відповідно, а прямі DKDK та DLDL дотикаються до описаного кола трикутника AKLAKL. Доведіть, що пряма KLKL проходить через ортоцентр трикутника ABCABC.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2023-006

Пряма INa і спільна пряма двох дотичних кіл

Нехай Ω\Omega — описане коло трикутника ABCABC. Через SbS_b та ScS_c позначимо середини дуг ACAC та ABAB відповідно, що не містять третю вершину трикутника ABCABC, а через NaN_a позначимо середину дуги BACBAC (дуга BCBC, що містить вершину AA). Нехай ωb\omega_b — коло, що дотикається до прямої ABAB та внутрішнім чином дотикається до кола Ω\Omega у точці SbS_b. Нехай ωc\omega_c — коло, що дотикається до прямої ACAC та внутрішнім чином дотикається до кола Ω\Omega у точці ScS_c. Доведіть, що пряма INaIN_a та пряма, яка проходить через точку перетину кіл ωb\omega_b та ωc\omega_c, перетинаються на колі Ω\Omega, де через II позначено центр вписаного кола трикутника ABCABC.
10–11 класиРадикальна вісь
Європейський математичний кубокEMC-2023-003

Перетин прямих NF, DE та GM у трикутнику

Дано гострокутний трикутник ABCABC, у якому AB<ACAB < AC. Точки MM та NN — це середини відрізків BCBC та ABAB відповідно. Коло, побудоване на відрізку ABAB як на діаметрі, перетинає прямі BCBC, AMAM та ACAC у точках DD, EE та FF відповідно. Точка GG є серединою відрізка FCFC. Доведіть, що прямі NFNF, DEDE та GMGM перетинаються в одній точці.
7–10 класиРадикальна вісь
Європейський математичний кубокEMC-2023-006

Прямокутний трикутник і рівні радіуси двох кіл

Дано трикутник ABCABC такий, що ∠BAC=90∘\angle BAC = 90^\circ. Вписане коло трикутника ABCABC дотикається до сторін BCBC, CACA, ABAB у точках DD, EE, FF відповідно. Точка MM є серединою відрізка EFEF. Точка PP — це проєкція точки AA на пряму BCBC. Прямі MPMP та ADAD перетинаються в точці KK. Доведіть, що описані кола трикутників AFEAFE та PDKPDK мають рівні радіуси.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2023-005

Перетин описаних кіл трикутників AA1A2, BB1B2 і CC1C2

Дано рівносторонній трикутник ABCABC. Точки A1,B1,C1A_1, B_1, C_1 — внутрішні точки трикутника ABCABC такі, що BA1=A1CBA_1 = A_1C, CB1=B1ACB_1 = B_1A, AC1=C1BAC_1 = C_1B та ∠BA1C+∠CB1A+∠AC1B=480∘\angle BA_1C + \angle CB_1A + \angle AC_1B = 480^\circ. Нехай прямі BC1BC_1 та CB1CB_1 перетинаються в точці A2A_2, прямі CA1CA_1 та AC1AC_1 перетинаються в точці B2B_2, а прямі AB1AB_1 та BA1BA_1 перетинаються в точці C2C_2. Доведіть, що коли трикутник A1B1C1A_1B_1C_1 різносторонній, то перетином описаних кіл трикутників AA1A2AA_1A_2, BB1B2BB_1B_2 та CC1C2CC_1C_2 є рівно дві точки.
10–11 класиРадикальна вісь
Шорт-лист IMOIMOSL-2023-005

Перетин перпендикулярів на описаному колі

Нехай ABCABC — трикутник, у якому AC>BCAC > BC. Нехай ω\omega — описане коло трикутника ABCABC, а rr — радіус кола ω\omega. Точка PP лежить на відрізку ACAC так, що BC=CPBC = CP, а точка SS — основа перпендикуляра, опущеного з PP на пряму ABAB. Нехай промінь BPBP перетинає ω\omega вдруге в точці DD, а точка QQ лежить на прямій SPSP так, що PQ=rPQ = r, причому точки S,P,QS, P, Q лежать на цій прямій саме в такому порядку. Нарешті, нехай пряма, проведена через AA перпендикулярно до CQCQ, перетинає пряму, проведену через BB перпендикулярно до DQDQ, у точці EE. Доведіть, що EE лежить на колі ω\omega.
10–11 класиСиметрія2 розв’язки
Математичний матч Чехія–Австрія–Польща–СловаччинаCAPS-2022-003

Два кола, що перетинаються, пряма і дотичні

Кола Ω1\Omega_1 і Ω2\Omega_2 різних радіусів перетинаються у двох точках, позначимо одну з них через PP. Змінна пряма ℓ\ell, що проходить через точку PP, перетинає в точці X1X_1 дугу кола Ω1\Omega_1, яка лежить зовні кола Ω2\Omega_2, та перетинає в точці X2X_2 дугу Ω2\Omega_2, яка лежить зовні кола Ω1\Omega_1. Нехай RR — це така точка на відрізку X1X2X_1X_2, що X1P=RX2X_1P = RX_2. Дотична до кола Ω1\Omega_1, що проходить через точку X1X_1, перетинає дотичну до кола Ω2\Omega_2, проведену через точку X2X_2, у точці TT. Доведіть, що пряма RTRT дотикається до фіксованого кола, яке не залежить від вибору прямої ℓ\ell.
10–11 класиСиметрія
Математичний матч Чехія–Австрія–Польща–СловаччинаCAPS-2022-005

Бісектриса, перпендикуляр до BC і коло через чотири точки

У трикутнику ABCABC, у якому AB<ACAB < AC, точка OO є центром описаного кола. Бісектриса кутів BACBAC перетинає сторону BCBC в точці DD. Пряма, що проходить через точку DD перпендикулярно до сторони BCBC, перетинає відрізок AOAO в точці XX. Нехай точка YY — це середина відрізка ADAD. Доведіть, що точки BB, CC, XX, YY лежать на одному колі.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2022-001

Ортоцентр, описане коло APQ і перетин BQ з CP

У гострокутному трикутнику ABCABC відомо, що BC<ABBC < AB та BC<CABC < CA. Точки PP і QQ вибрано на відрізках ABAB та ACAC відповідно так, що P≠BP \neq B, Q≠CQ \neq C і BQ=BC=CPBQ = BC = CP. Через TT позначили центр описаного кола трикутника APQAPQ, через HH — ортоцентр трикутника ABCABC, через SS — точку перетину прямих BQBQ та CPCP. Доведіть, що точки TT, HH та SS лежать на одній прямій.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2022-006

Бісектриси кутів вписаного чотирикутника та два кола

Чотирикутник ABCDABCD вписано в коло із центром OO. Бісектриси кутів AA та BB перетинаються в точці XX, бісектриси кутів BB і CC — у точці YY, бісектриси кутів CC і DD — у точці ZZ, бісектриси кутів DD та AA — у точці WW. Діагоналі ACAC і BDBD перетинаються в точці PP. При цьому точки XX, YY, ZZ, WW, OO, PP попарно різні. Доведіть, що точки OO, XX, YY, ZZ, WW лежать на одному колі тоді й тільки тоді, коли точки PP, XX, YY, ZZ, WW лежать на одному колі.
10–11 класиРадикальна вісь
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2022-004

Чотири точки перетину в опуклому п’ятикутнику на колі

Дано опуклий п’ятикутник ABCDEABCDE, у якому BC=DEBC = DE. Нехай усередині п’ятикутника ABCDEABCDE знайшлася така точка TT, що TB=TDTB = TD, TC=TETC = TE та ∠ABT=∠TEA\angle ABT = \angle TEA. Нехай пряма ABAB перетинає прямі CDCD і CTCT у точках PP та QQ відповідно. Припустимо, що точки PP, BB, AA, QQ лежать на прямій ABAB у вказаному порядку. Нехай пряма AEAE перетинає прямі CDCD і DTDT у точках RR та SS відповідно. Припустимо, що точки RR, EE, AA, SS лежать на прямій AEAE в цьому порядку. Доведіть, що точки PP, SS, QQ, RR лежать на одному колі.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Шорт-лист IMOIMOSL-2022-004

Дотична з точки на стороні трикутника

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з AC>ABAC > AB, OO — центр його описаного кола, а DD — точка на відрізку BCBC. Пряма через DD, перпендикулярна до BCBC, перетинає прямі AOAO, ACAC і ABAB у точках WW, XX і YY відповідно. Описані кола трикутників AXYAXY і ABCABC перетинаються вдруге в точці Z≠AZ \neq A. Доведіть, що якщо OW=ODOW = OD, то пряма DZDZ дотикається до кола AXYAXY.
10–11 класиКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…2 розв’язки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.