Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

2 443 задачі
ГеометріяКола
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2020-011

Бісектриса кута і дотик до кола

Нехай ABCABC — трикутник, у якому AB>ACAB > AC. Бісектриса кута ∠BAC\angle BAC перетинає сторону BCBC у точці DD. Кола з діаметрами BDBD і CDCD перетинають описане коло трикутника △ABC\triangle ABC вдруге у точках P≠BP \neq B і Q≠CQ \neq C відповідно. Прямі PQPQ і BCBC перетинаються у точці XX. Доведіть, що пряма AXAX є дотичною до описаного кола трикутника △ABC\triangle ABC.
10–11 класиРадикальна вісь
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2020-012

Дотична через перетин у вписаному п’ятикутнику

Нехай ABCDEABCDE — опуклий п’ятикутник, вписаний у коло ω\omega, такий, що CD∥BECD \parallel BE. Пряма, дотична до кола ω\omega у точці BB, перетинає пряму ACAC у точці FF такій, що AA лежить між точками CC і FF. Прямі BDBD і AEAE перетинаються у точці GG. Доведіть, що пряма FGFG дотикається до описаного кола трикутника ADGADG.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2020-013

Рівні відстані від середини дуги

Нехай ABCABC — трикутник з описаним колом ω\omega. Внутрішні бісектриси кутів ∠ABC\angle ABC та ∠ACB\angle ACB перетинають ω\omega у точках XX і YY відповідно. Нехай KK — точка на прямій CXCX така, що ∠KAC=90∘\angle KAC = 90^\circ. Аналогічно нехай LL — точка на прямій BYBY така, що ∠LAB=90∘\angle LAB = 90^\circ. Нехай SS — середина дуги CABCAB кола ω\omega. Доведіть, що SK=SLSK = SL.
10–11 класиТеорема про тризуб
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2020-014

Дотична через перетин прямих на півколі

Нехай ω\omega — півколо з діаметром XYXY. Нехай MM — середина відрізка XYXY. Нехай AA — довільна точка на півколі ω\omega така, що AX<AYAX < AY. Нехай BB і CC — точки, що лежать на відрізках XMXM і YMYM відповідно, такі, що BM=CMBM = CM. Пряма через CC, паралельна ABAB, перетинає ω\omega у точці PP. Пряма через BB, паралельна ACAC, перетинає ω\omega у точці QQ. Пряма PQPQ перетинає пряму XYXY у точці SS. Доведіть, що пряма ASAS дотикається до півкола ω\omega.
10–11 класиТеорема Менелая
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2020-015

Бісектриса кута в конфігурації проекції дотичної

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з описаним колом ω\omega. Нехай ℓ\ell — дотична до кола ω\omega в точці AA. Нехай XX і YY — проекції BB на прямі ℓ\ell і ACAC відповідно. Нехай HH — ортоцентр трикутника BXYBXY. Нехай пряма CHCH перетинає ℓ\ell в точці DD. Доведіть, що пряма BABA є бісектрисою кута CBDCBD.
10–11 класиДотична кола2 розв’язки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2020-016

Дотик вписаного кола та перпендикулярність

Нехай ω\omega і II — вписане коло та інцентр трикутника ABCABC відповідно. Нехай EE і FF — точки дотику кола ω\omega зі сторонами ACAC та ABAB відповідно. Серединний перпендикуляр до відрізка AIAI перетинає ACAC у точці PP. Точка QQ лежить на прямій ABAB і задовольняє QI⊥FPQI \perp FP. Доведіть, що EQ⊥ABEQ \perp AB.
10–11 класиРадикальна вісь2 розв’язки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2020-018

Інволютивне відображення півсмуги з колінеарністю

Розглянемо евклідову площину, точки A=(0,0)A = (0,0) і B=(1,0)B = (1,0) та відкриту півсмугу S={(x,y):0<x<1,y>0}S = \{(x, y) : 0 < x < 1, y > 0\} шириною 1 з вершинами AA і BB. Знайдіть усі функції f:S→Sf: S \to S, що задовольняють такі умови для всіх P,Q∈SP, Q \in S: (i) f(f(P))=Pf(f(P)) = P (ii) Якщо P,Q,AP, Q, A лежать на одній прямій, то f(P),f(Q)f(P), f(Q) і BB лежать на одній прямій. (iii) Якщо f(P)=Pf(P) = P і f(Q)=Qf(Q) = Q, то існує коло, яке містить A,B,PA, B, P і QQ.
10–11 класиТочка перетину висот
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2020-021

Відношення пожирання між колами

На рисунку показано два кола α\alpha і β\beta у просторі, які не перетинаються. Кажемо, що коло α\alpha пожирає коло β\beta, якщо одна хорда кола β\beta (суцільна) строго міститься в хорді кола α\alpha (штриховій). Питання в тому, чи можна розмістити в просторі три кола α,β\alpha, \beta і γ\gamma так, щоб α\alpha пожирало β\beta пожирало γ\gamma пожирало α\alpha. Радіуси кіл не обов’язково рівні.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Кіберпросторове математичне змагання (CMC)CMC-2020-003

Фіксована точка на прямій через два інцентри

Дано трикутник ABCABC, у якому AB>BCAB > BC. Нехай DD — змінна точка на стороні BCBC. Нехай EE — така точка описаного кола трикутника ABCABC, яка лежить по другий бік від прямої BCBC, ніж точка AA, та для якої ∠BAE=∠DAC\angle BAE = \angle DAC. Нехай точка II — інцентр трикутника ABDABD, а точка JJ — інцентр трикутника ACEACE. Доведіть, що пряма IJIJ проходить через деяку фіксовану точку, що не залежить від розташування точки DD.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Європейський математичний кубокEMC-2020-001

Середини сторін трикутника і точки F, G, H

Нехай трикутник ABCABC — гострокутний, точки DD і EE — середини сторін ABAB і ACAC відповідно. Точку FF вибирають таким чином, що точка DD є серединою відрізка EFEF. Коло Γ\Gamma — описане навколо трикутника FDBFDB. Нехай GG — така точка відрізка CDCD, що середина відрізка BGBG лежить на колі Γ\Gamma. Позначимо літерою HH другу точку перетину кола Γ\Gamma з прямою FCFC. Доведіть, що точки BB, HH, GG, CC лежать на одному колі.
7–10 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Фінальний математичний кубок (FMC)FMC-2020-004

Трикутник з кутом 60° та кола BOC і ADE

Нехай дано трикутник ABCABC, у якому ∠BAC=60∘\angle BAC = 60^\circ. Нехай точки DD і EE — основи перпендикулярів, проведених з точки AA до бісектрис зовнішніх кутів BB і CC у трикутнику ABCABC відповідно. Позначимо літерою OO центр описаного кола трикутника ABCABC. Доведіть, що описане коло трикутника BOCBOC має рівно одну спільну точку з описаним колом трикутника ADEADE.
7–10 класиКола, що дотикаються
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2020-001

Бісектриси кутів ADP, PCB і серединний перпендикуляр до AB

Усередині опуклого чотирикутника ABCDABCD знайшлася точка PP така, що справджуються рівності ∠PAD:∠PBA:∠DPA=1:2:3=∠CBP:∠BAP:∠BPC.\angle PAD : \angle PBA : \angle DPA = 1 : 2 : 3 = \angle CBP : \angle BAP : \angle BPC. Доведіть, що в одній точці перетинаються три такі прямі: внутрішні бісектриси кутів ADPADP і PCBPCB та серединний перпендикуляр до відрізка ABAB.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Міжнародна Жаутиковська олімпіада (IZhO)IZHO-2020-003

Нерівність для сторін і діагоналей вписаного шестикутника

Опуклий шестикутник ABCDEFABCDEF вписано в коло. Доведіть нерівність AC⋅BD⋅CE⋅DF⋅EA⋅FB⩾27⋅AB⋅BC⋅CD⋅DE⋅EF⋅FA.AC \cdot BD \cdot CE \cdot DF \cdot EA \cdot FB \geqslant 27 \cdot AB \cdot BC \cdot CD \cdot DE \cdot EF \cdot FA.
10–11 класиМетричні співвідношення в колі
Міжнародна Жаутиковська олімпіада (IZhO)IZHO-2020-004

Нерівнобедрений трикутник з бісектрисою та точкою S

У нерівнобедреному трикутнику ABCABC точка II — центр вписаного кола, а CNCN — бісектриса. Пряма CNCN удруге перетинає описане коло трикутника ABCABC у точці MM. Пряма l∥ABl \parallel AB і дотикається до вписаного кола трикутника ABCABC. Точка RR на прямій ll така, що CI⊥IRCI \perp IR. Описане коло трикутника MNRMNR удруге перетинає пряму IRIR у точці SS. Доведіть, що AS=BSAS = BS.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2020-001

Прямокутний трикутник, симетрії точок і описані кола

Трикутник ABCABC має прямий кут при вершині CC. Точка II — центр вписаного кола, CDCD — висота цього трикутника. Вписане коло дотикається до сторін BCBC, CACA та ABAB у точках A1A_1, B1B_1 та C1C_1 відповідно. Нехай точки EE та FF — симетричні образи точки CC відносно прямих C1A1C_1A_1 та C1B1C_1B_1 відповідно, точки KK та LL — симетричні образи точки DD відносно прямих C1A1C_1A_1 та C1B1C_1B_1 відповідно. Доведіть, що описані кола трикутників A1EIA_1EI, B1FIB_1FI та C1KLC_1KL перетинаються в одній точці.
10–11 класиСиметрія
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2019-012

Чотирикутник з нерівностями на сторони та кути

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник такий, що ∣AD∣<∣AB∣|AD| < |AB| і ∣CD∣<∣CB∣|CD| < |CB|. Доведіть, що ∠ABC<∠ADC\angle ABC < \angle ADC.
10–11 класиРівнобедрений та рівносторонній т…2 розв’язки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2019-014

Бісектриса кута в рівнобедреному трикутнику з перетинами кіл

Нехай ABCABC — трикутник, у якому AB=ACAB = AC. Нехай MM — середина сторони BCBC. Нехай кола з діаметрами ACAC і BMBM перетинаються в точках MM і PP. Нехай пряма MPMP перетинає сторону ABAB у точці QQ. Нехай RR — точка на прямій APAP така, що QR∥BPQR \parallel BP. Доведіть, що пряма CPCP ділить навпіл ∠RCB\angle RCB.
10–11 класиОзнаки подібності
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2019-015

Коло, дотичне до сторін трикутника в точках чевіан

Нехай ABCABC — різносторонній трикутник. Нехай PP — внутрішня точка трикутника ABCABC така, що AP⊥BCAP \perp BC. Припустімо, що BPBP і CPCP перетинають ACAC і ABAB у точках XX і YY відповідно. Доведіть, що AX=AYAX = AY тоді й лише тоді, коли існує коло з центром на прямій BCBC, дотичне до прямих ABAB і ACAC у точках YY і XX відповідно.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2019-018

Шестикутник з перпендикулярними діагоналями

Нехай ABCDEFABCDEF — опуклий шестикутник, у якому AB=AFAB = AF, BC=CDBC = CD, DE=EFDE = EF і ∠ABC=∠EFA=90∘\angle ABC = \angle EFA = 90^\circ. Доведіть, що AD⊥CEAD \perp CE.
10–11 класиРадикальна вісь
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2019-019

Рівносторонній трикутник з вписаного чотирикутника

Нехай XX, YY — точки на сторонах ABAB, ACAC трикутника ABCABC відповідно, такі, що BB, CC, XX, YY лежать на одному колі. Медіана трикутника ABCABC, проведена з AA, перетинає серединний перпендикуляр до відрізка XYXY у точці PP. Знайдіть ∠BAC\angle BAC, якщо трикутник PXYPXY — рівносторонній.
10–11 класиАнтипаралельні прямі
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2019-021

Середина відрізка MN у прямокутному трикутнику

ACAC — гіпотенуза прямокутного трикутника ABCABC, BHBH — його висота. Точки MM і NN — середини відрізків AHAH і CHCH відповідно. Прямі BMBM і BNBN вдруге перетинають описане коло трикутника ABCABC у точках PP і QQ відповідно. Відрізки AQAQ і CPCP перетинаються в точці RR. Доведіть, що пряма BRBR проходить через середину відрізка MNMN.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2019-003

Бісектриси кутів DAB та CXB і пряма BC

Нехай трикутник ABCABC з інцентром у точці II такий, що ∠CAB>∠ABC\angle CAB > \angle ABC. Нехай точка DD на відрізку BCBC така, що ∠CAD=∠ABC\angle CAD = \angle ABC. Нехай коло ww дотикається до сторони ACAC у точці AA та проходить через інцентр II. Нехай точка XX є другою точкою перетину кола ww та описаного кола трикутника ABCABC. Доведіть, що бісектриси кутів DABDAB та CXBCXB перетинаються в точці, що належить прямій BCBC.
10–11 класиТеорема про тризуб
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2019-004

Пряма через точки на сторонах і вписане коло трикутника

Нехай трикутник ABCABC має інцентр у точці II. Коло, що проходить через точку BB та дотикається до прямої AIAI в точці II, перетинає сторону ABAB удруге в точці PP. Коло, що проходить через точку CC та дотикається до прямої AIAI в точці II, перетинає сторону ACAC удруге в точці QQ. Доведіть, що пряма PQPQ є дотичною до вписаного кола трикутника ABCABC.
10–11 класиДотична кола
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2019-002

Точки на чевіанах трикутника на одному колі

У трикутнику ABCABC точка A1A_1 лежить на відрізку BCBC, а точка B1B_1 — на відрізку ACAC. Нехай точки PP і QQ вибрано на відрізках AA1AA_1 та BB1BB_1 відповідно так, що пряма PQ∥ABPQ \parallel AB. Точку P1P_1 вибрано на прямій PB1PB_1 так, що точка B1B_1 розміщується строго між точками PP і P1P_1, при цьому ∠PP1C=∠BAC\angle PP_1C = \angle BAC. Аналогічно точку Q1Q_1 вибрано на прямій QA1QA_1 так, що точка A1A_1 розміщується строго між точками QQ і Q1Q_1, при цьому ∠QQ1C=∠CBA\angle QQ_1C = \angle CBA. Доведіть, що точки PP, QQ, P1P_1 і Q1Q_1 належать одному колу.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2019-006

Перетин прямих DI і PQ на перпендикулярі до AI

Нехай точка II — центр вписаного кола гострокутного трикутника ABCABC та AB≠ACAB \neq AC. Вписане коло ww трикутника ABCABC дотикається до сторін BCBC, ACAC і ABAB у точках DD, EE та FF відповідно. Пряма, що проходить через точку DD перпендикулярно до прямої EFEF, удруге перетинає коло ww у точці RR. Пряма ARAR удруге перетинає коло ww у точці PP. Описані кола трикутників PCEPCE та PBFPBF удруге перетинаються в точці QQ. Доведіть, що прямі DIDI та PQPQ перетинаються на прямій, яка проходить через вершину AA перпендикулярно до прямої AIAI.
10–11 класиПроєктивна геометрія

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.