Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

293 задачі
КомбінаторикаБієкції
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2022-002

Парні підсистеми доріг та загальна кількість доріг у списку

У Дивокраї міста сполучені дорогами, причому коли між двома містами є пряма дорога, то між цими двома містами існує також маршрут, який не використовує цю дорогу. (Між будь-якими двома містами є не більше однієї прямої дороги.) Чирвова Королева наказала Пікам скласти список усіх «парних» підсистем системи доріг, тобто систем, утворених підмножинами множини доріг, у яких кожне місто сполучене з парною кількістю доріг (можливо, з жодною). Для кожної такої підсистеми вони мають перелічити її дороги. Якщо загалом у Дивокраї є nn доріг і у списку Пік є xx підсистем, то скільки доріг є у їхньому списку, якщо кожну дорогу рахувати стільки разів, скільки разів вона перелічена?
10–11 класиБієкції
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2020-004

Кількість свіжих перестановок чисел і нерівність

Перестановку цілих чисел 11, 22, …\ldots, mm називатимемо свіжою, якщо не існує такого натурального числа k<mk < m, що перші kk чисел у цій перестановці є 11, 22, …\ldots, kk у якомусь порядку. Нехай fmf_m — кількість свіжих перестановок чисел 11, 22, …\ldots, mm. Доведіть, що fn⩾n⋅fn−1f_n \geqslant n \cdot f_{n-1} при всіх n⩾3n \geqslant 3. Наприклад, якщо m=4m = 4, то перестановка (3,1,4,2)(3, 1, 4, 2) є свіжою, у той час як перестановка (2,3,1,4)(2, 3, 1, 4) не є свіжою.
10–11 класиБієкції
Шорт-лист IMOIMOSL-2020-007

Мінімальні сідлові пари в матриці

Розглянемо довільну прямокутну таблицю зі скінченною кількістю рядків і стовпців, у клітинці в рядку rr і стовпці cc стоїть дійсне число a(r,c)a(r, c). Пару (R,CR, C), де RR — множина рядків, а CC — множина стовпців, називають сідловою парою, якщо виконуються такі дві умови: (i) Для кожного рядка r′r' існує r∈Rr \in R такий, що a(r,c)⩾a(r′,c)a(r, c) \geqslant a(r', c) для всіх c∈Cc \in C; (ii) Для кожного стовпця c′c' існує c∈Cc \in C такий, що a(r,c)⩽a(r,c′)a(r, c) \leqslant a(r, c') для всіх r∈Rr \in R. Сідлову пару (R,CR, C) називають мінімальною парою, якщо для кожної сідлової пари (R′,C′R', C'), для якої R′⊆RR' \subseteq R і C′⊆CC' \subseteq C, маємо R′=RR' = R і C′=CC' = C. Доведіть, що будь-які дві мінімальні пари містять однакову кількість рядків.
10–11 класиБієкції
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2019-034

Незростаючі функції з нерухомими точками

Для натурального числа nn розглянемо всі незростаючі функції f:{1,…,n}→{1,…,n}f: \{1, \dots, n\} \to \{1, \dots, n\}. Деякі з них мають нерухому точку (c=f(c)c = f(c)), а деякі — ні. Яких більше? Знайдіть різницю між кількостями функцій цих двох видів.
10–11 класиБієкції
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2018-005

Кількість способів сполучити 2n точок на колі стрілками

Нехай nn — натуральне число. На колі зафіксовано 2n2n різних точок. Знайдіть кількість способів сполучити ці точки nn стрілками (орієнтованими відрізками) так, щоб виконувалися такі умови: - кожна з 2n2n точок є початком або кінцем деякої стрілки; - жодні дві стрілки не перетинаються; - не знайдеться двох стрілок AB‾\overline{AB} та CD‾\overline{CD} таких, що точки A,B,C,DA, B, C, D розташовані на колі в зазначеному порядку за годинниковою стрілкою (не обов'язково поспіль).
10–11 класиБієкції
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2015-002

Розміщення n² доміношок на дошці 2n×2n з квадратами 2×2

Доміношкою назвемо прямокутник розміром 2×12 \times 1 або 1×21 \times 2. Скільки існує способів розмістити рівно n2n^2 доміношок (без перекриття) на дошці розміром 2n×2n2n \times 2n так, щоб у довільному квадраті 2×22 \times 2 було хоча б дві непокриті клітинки, що розташовані в одному рядку або одному стовпчику?
10–11 класиБієкції
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2013-006

Чудові позначення точок кола числами від 0 до n

Нехай n⩾3n \geqslant 3 — ціле число. Розглянемо коло і n+1n + 1 точку на ньому, що ділять його на рівні дуги. Розглянемо всі способи позначити ці точки числами 0,1,…,n0, 1, \ldots, n так, що кожне число використовується рівно один раз. Два способи, що відрізняються поворотом, вважаються однаковими. Спосіб позначення назвемо чудовим, якщо для довільних чотирьох міток a<b<c<da < b < c < d таких, що a+d=b+ca + d = b + c, хорда, що сполучає вершини з мітками aa і dd, не перетинає хорду, що сполучає точки з мітками bb і cc. Нехай MM — кількість чудових способів позначення. Нехай NN — кількість упорядкованих пар (x,y)(x, y) натуральних чисел, що задовольняють умови x+y⩽nx + y \leqslant n і (x,y)=1(x, y) = 1. Доведіть, що M=N+1.M = N + 1.
10–11 класиМетод математичної індукції
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2012-004

Зростання послідовності розщепленням і стиранням нуля

На дошці написано число 11. Після цього послідовність чисел утворюється так: на кожному кроці кожне число aa на дошці замінюється числами a−1a-1 і a+1a+1; якщо з'являється число 00, його одразу стирають; якщо число трапляється більше ніж один раз, усі його входження залишають на дошці. Таким чином, на дошці буде 11 після 00 кроків; 22 після 11 кроку; 1,31, 3 після 22 кроків; 2,2,42, 2, 4 після 33 кроків і так далі. Скільки чисел буде на дошці після nn кроків?
10–11 класиБієкції2 розв’язки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2010-031

Розбиття на підмножини із сумою

Числа від 11 до 20102010 розбито на три підмножини AA, BB і CC, кожна з яких містить рівно 670670 елементів. Доведіть, що існують три числа, по одному з кожної множини, такі, що одне з них є сумою двох інших.
10–11 класиМетод математичної індукції
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2009-022

Незалежні множини та розбиття на комітети

Парламент деякої країни складається з кількох осіб, деякі з них дружать між собою. Комп'ютер друкує всі списки членів парламенту такі, що жодні дві особи в одному списку не дружать між собою. Кількість цих списків (включно з порожнім списком) дорівнює MM. Члени парламенту хочуть утворити два комітети — старший комітет AA та молодший комітет BB, такі, що: 1) комітети можуть бути порожніми, можуть перетинатися або навіть збігатися; 2) наявність друзів усередині кожного комітету дозволена, але жодна особа з комітету AA не має друга в комітеті BB (вважаємо, що ніхто не дружить сам із собою); 3) на спільних засіданнях комітетів AA і BB усіх осіб можна поділити на дві групи так, щоб усередині кожної групи не було друзів. Доведіть, що кількість способів обрати ці комітети дорівнює M2M^2.
10–11 класиБієкції
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2008-005

Послідовності перемикань 2n ламп і відношення кількостей

Нехай nn та kk – такі натуральні числа, що k≥nk \ge n, а число k−nk-n парне. Є 2n2n ламп, які занумеровані числами 1,2,…,2n1, 2, \ldots, 2n, кожна з яких може знаходитись у одному з двох станів: увімк. (увімкнена) або вимк. (вимкнена). Спочатку всі лампи були вимкнені. Розглядаються впорядковані послідовності кроків: на кожному кроці рівно одна лампа змінює свій стан на протилежний (з увімк. на вимк. або з вимк. на увімк.). Позначимо через NN число таких послідовностей з kk кроків, що приводять до стану: усі лампи з 11-ї по nn-ту увімкнені, а усі лампи з (n+1)(n+1)-ї по (2n)(2n)-у вимкнені. Позначимо через MM число таких послідовностей з kk кроків, що приводять до стану: усі лампи з 11-ї по nn-ту увімкнені, усі лампи з (n+1)(n+1)-ї по (2n)(2n)-у вимкнені, але при цьому жодна з ламп з (n+1)(n+1)-ї по (2n)(2n)-у жодного разу не змінювала свого стану. Знайдіть значення відношення NM\dfrac{N}{M}.
10–11 класиБієкції
Шорт-лист IMOIMOSL-2008-009

Кількість перестановок з умовою 2(a1+…+ak) ділиться на k

Для кожного натурального числа nn визначте кількість перестановок (a1,a2,…,an)(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}) множини {1,2,…,n}\{1,2, \ldots, n\} з такою властивістю: 2(a1+a2+⋯+ak)ділиться на kдля k=1,2,…,n.2(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{k}) \quad \text{ділиться на} \ k \quad \text{для} \ k=1,2, \ldots, n.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Шорт-лист IMOIMOSL-2006-014

Опуклі многокутники зі зваженою сумою

Нехай SS — скінченна множина точок на площині, жодні три з яких не лежать на одній прямій. Для кожного опуклого многокутника PP, вершини якого належать SS, нехай a(P)a(P) — кількість вершин PP, а b(P)b(P) — кількість точок SS, які лежать поза PP. Доведіть, що для кожного дійсного числа xx ∑Pxa(P)(1−x)b(P)=1,\sum_{P} x^{a(P)}(1-x)^{b(P)}=1, де сума береться за всіма опуклими многокутниками з вершинами в SS. Зауваження. Відрізок, точка й порожня множина вважаються опуклими многокутниками з 2, 1 і 0 вершинами відповідно.
10–11 класиБієкції2 розв’язки
Балтійський шляхBW-2000-009

Стрибки жаби на шахівниці з позначками

На дошці 2k×2k2k \times 2k, складеній з одиничних клітинок, стрибає жаба. Стрибки жаби мають довжину 1+k2\sqrt{1+k^{2}} і переносять жабу з центра однієї клітинки в центр іншої клітинки. Деякі mm клітинок дошки позначено xx, а всі клітинки, у які жаба може стрибнути з клітинки, позначеної xx (незалежно від того, чи мають вони позначку xx), позначено ∘\circ. Є nn клітинок, позначених ∘\circ. Доведіть, що n⩾mn \geqslant m.
10–11 класиБієкції
Балтійський шляхBW-1993-007

Числа зі строго монотонними цифрами

Обчисліть суму всіх натуральних чисел, цифри яких утворюють або строго зростаючу, або строго спадну послідовність.
10–11 класиБієкції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2025-071

Ґратчасті шляхи з діагональними ходами

Софі перебуває в точці (0,0)(0,0) на координатній сітці і хоче потрапити в точку (3,3)(3,3). Якщо Софі перебуває в точці (x,y)(x,y), то за один крок вона може перейти в одну з точок (x+1,y)(x + 1, y), (x,y+1)(x, y + 1), (x−1,y+1)(x - 1, y + 1) або (x+1,y−1)(x + 1, y - 1). Вона не може повторно відвідувати жодну точку на своєму шляху, і ні її координата xx, ні її координата yy ніколи не можуть бути меншими за 00 чи більшими за 33. Обчисліть кількість способів, якими Софі може дістатися до (3,3)(3,3).
10–11 класиБієкції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2025-023

Кратні 7 з цифрами меншими за 3

Обчисліть 100-те найменше додатне кратне 77, усі цифри якого в записі за основою 1010 строго менші за 33.
10–11 класиСистеми числення
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2025-035

Очікувана кількість перебувань у максимумі замкненого блукання

На координатній площині замкнений ґратчастий цикл довжини 2n2n — це послідовність точок цілочисельної решітки P0,P1,P2,…,P2nP_{0}, P_{1}, P_{2}, \ldots , P_{2n} така, що P0P_{0} і P2nP_{2n} збігаються з початком координат, а PiPi+1=1P_{i}P_{i + 1} = 1 для кожного ii. Замкнений ґратчастий цикл довжини 20262026 вибирають рівномірно навмання серед усіх таких циклів. Нехай kk — найбільше ціле число таке, що пряма ℓ\ell з рівнянням x+y=kx + y = k проходить принаймні через одну точку циклу. Обчисліть математичне сподівання кількості індексів ii таких, що 0≤i≤20250 \leq i \leq 2025 і PiP_{i} лежить на прямій ℓ\ell. (Точка цілочисельної решітки — це точка з цілими координатами.)
10–11 класиВластивості біноміальних коефіціє…
Відбіркові тести на IMOTST-2025-015

Подільність біноміального коефіцієнта

Знайдіть усі цілі числа n≥2n \ge 2, для яких nn є дільником (2n−3n−1)\binom{2n-3}{n-1}.
10–11 класиФакторизація біноміальних коефіці…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-008

Функції з ітерованою нерівністю

Нехай nn — натуральне число, позначимо [n]={1,2,…,n}[n]=\{1,2, \ldots, n\}. - Нехай ana_{n} позначає кількість функцій f:[n]→[n]f:[n] \rightarrow [n] таких, що f(f(i))≥if(f(i)) \geq i для всіх ii. - Нехай bnb_{n} позначає кількість впорядкованих розбиттів множини [n][n] на підмножини, тобто кількість способів вибрати ціле число kk і впорядкований kk-набір попарно неперетинних непорожніх множин (A1,…,Ak)(A_{1}, \ldots, A_{k}), об'єднання яких дорівнює [n][n]. Доведіть, що an=bna_{n}=b_{n}.
10–11 класиБієкції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-141

Подвоєння павича з перестановкою цифр

Павичем називається десятицифрове натуральне число, яке містить кожну цифру рівно один раз. Обчисліть кількість павичів, які рівно вдвічі більші за інший павич.
10–11 класиБієкції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-065

Взаємно прості трійки з обмеженим максимумом

Для довільного натурального числа nn нехай f(n)f(n) — кількість впорядкованих трійок (a,b,c)(a, b, c) натуральних чисел таких, що - max⁡(a,b,c)\max (a, b, c) ділить nn та - НСД(a,b,c)=1\text{НСД}(a, b, c)=1. Обчисліть f(1)+f(2)+⋯+f(100)f(1)+f(2)+\cdots+f(100).
10–11 класиБієкції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-074

Подвійна сума з відношеннями факторіалів

Оцініть значення 20!⋅40!⋅40!100!⋅∑i=040∑j=040(i+j+18)!i!j!18!\frac{20!\cdot 40!\cdot 40!}{100!} \cdot \sum_{i=0}^{40} \sum_{j=0}^{40} \frac{(i+j+18)!}{i!j!18!} Подайте додатне дійсне число EE або в десятковому вигляді, або у вигляді дробу з двох додатних цілих чисел, записаних у десятковому вигляді (наприклад, 20242025\frac{2024}{2025}). Якщо правильна відповідь дорівнює AA, ви отримаєте max⁡(20−⌊5000⋅∣E−A∣⌋,0)\max (20-\lfloor 5000 \cdot|E-A|\rfloor, 0) балів.
10–11 класиБієкції
Італійська математична олімпіадаITAMO-2024-014

Строго спадне розміщення чисел у клітинках

Альберто має перед собою 13 клітинок, розташованих одна над одною, і він хоче вписати туди числа від 1 до 10, по одному в клітинку (три клітинки залишаться порожніми). Він також хоче, щоб, якщо два числа записані в клітинках, які дотикаються, верхнє було більшим. Скількома способами він може це зробити? (A) 3103^{10} (B) 211⋅33⋅132^{11} \cdot 3^{3} \cdot 13 (C) 216⋅132^{16} \cdot 13 (D) 2202^{20} (E) 29⋅34⋅52⋅7⋅11⋅132^{9} \cdot 3^{4} \cdot 5^{2} \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13
10–11 класиБієкції
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2024-009

Заповнення літерами з хорошими блоками

Розгляньмо заповнення кожної клітинки таблиці 100×100100 \times 100 однією з літер J, M або O. Квадрат 2×22 \times 2 таблиці називається хорошим блоком, якщо він задовольняє одну з таких умов: Чотири клітинки мають рівно один тип літери. Чотири клітинки мають рівно два типи літер, і кожна літера трапляється двічі. Чотири клітинки мають рівно три типи літер, і клітинки в нижньому лівому та верхньому правому кутах мають однакову літеру. Знайдіть кількість способів заповнити 10000 клітинок таблиці так, щоб виконувалися такі дві умови: Кожен квадрат 2×22 \times 2 таблиці є хорошим блоком. Серед пар двох сусідніх клітинок (які мають спільну сторону) таблиці є рівно 10000 пар, у яких дві клітинки мають різні літери. Тут дві пари, у яких порядок клітинок лише переставлено, вважаються тією самою парою і рахуються лише один раз. Зауважимо, що два способи заповнення, які можна отримати один з одного поворотами чи відбиттями, вважаємо різними.
10–11 класиБієкції

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.