Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

1 010 задач
КомбінаторикаІгри і стратегії
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-11-12-006

Найменше п'ятицифрове число з різними цифрами, кратне 9

Знайдіть найменше п'ятицифрове число, яке ділиться на 99 і всі цифри якого різні.
7 класОзнаки подільності на 2, 3, …
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-11-12-012

Жовті кульки у другій коробці і блакитні у першій

У першій коробці міститься кілька жовтих кульок, а у другій — кілька блакитних. Андрій перекладає декілька кульок із першої коробки в другу, після чого перемішує вміст другої коробки. Далі Леся перекладає таку ж саму кількість кульок із другої коробки в першу. Яких кульок тепер більше: жовтих у другій коробці чи блакитних у першій?
8 класІнші інваріанти
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-11-12-017

Числа від 1 до 101 і операція модуля різниці

На дошці записано числа 1,2,3,…,1011, 2, 3, \ldots, 101. Андрійко може вибрати серед записаних чисел довільні два aa, bb та записати замість них число ∣a−b∣|a - b|. Після 100100-ї такої операції на дошці залишиться єдине число. Яке найбільше значення воно може мати?
9 класНапівінваріанти
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-11-12-056

Гра з картками цифр і подільність на 2–9

У Лесі та Андрія є 1010 карток із цифрами 0,1,2,…,90, 1, 2, \ldots, 9, причому кожна цифра записана рівно на одній із карток. Леся та Андрій грають у таку гру. Спочатку Леся вибирає будь-яку картку та кладе її на стіл. Після цього Андрій вибирає будь-яку з карток, що лишилися, та прикладає її до Лесиної картки з правого боку. Далі Леся вибирає одну з карток, що залишились, і прикладає її ліворуч до перших двох, потім Андрій вибирає і кладе картку праворуч і т. д. Після того як усі картки викладено, утворюється десятицифрове число (або дев'ятицифрове, якщо останнім своїм ходом Леся виклала картку з цифрою 00). Андрій хоче, щоб утворене число ділилося на якомога більшу кількість чисел із множини M={2,3,…,9}M = \{2, 3, \ldots, 9\}, а Леся — навпаки: щоб утворене число ділилося на якомога меншу кількість чисел від 22 до 99. На яку кількість чисел із множини MM буде ділитися утворене число за правильної гри обох гравців?
8 класОзнаки подільності на 2, 3, …
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-11-12-055

Трійки чисел на дошці і можливість переходу

На дошці записано три числа aa, bb, cc. За один хід ми витираємо всі три числа і замість них записуємо числа aa, a(b+c−4)a(b+c-4) та a(b−2)(c−2)a(b-2)(c-2). Порядок чисел aa, bb, cc ролі не відіграє, тобто можна записати трійку чисел bb, b(c+a−4)b(c+a-4), b(c−2)(a−2)b(c-2)(a-2) або cc, c(a+b−4)c(a+b-4), c(a−2)(b−2)c(a-2)(b-2). Чи можна за декілька подібних ходів із трійки чисел 33, 44, 55 одержати трійку чисел 20122012, 90099009, 11 10011\,100, записаних у довільному порядку?
8 класІнші інваріанти
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-11-12-115

Підвищення зарплат на 1, 2, …, n до рівності

На фірмі працюють nn співробітників; ii-й працівник має зарплатню ai∈Na_i\in\mathbb{N}, 1⩽i⩽n1\leqslant i\leqslant n. Керівник вирішив кожного місяця підвищувати працівникам зарплатню таким чином: одному на 11, другому на 22, …\ldots, останньому на nn. При цьому порядок, у якому працівники отримують підвищення, може бути різним. За яких умов на числа aia_i, 1⩽i⩽n1\leqslant i\leqslant n, керівник зможе за скінченну кількість часу зробити зарплатню всіх працівників однаковою?
11 класІнші інваріанти
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-11-12-066

Гра з перевертанням п'яти карток з числами

Дано 20122012 карток. На кожній з них з обох сторін написано по одному натуральному числу: на першій — числа 11 і 22, на другій — числа 33 і 44, …, на 20122012-й — числа 40234023 і 40244024. Усі ці картки розташовані в ряд на довгому столі. Двоє гравців грають у таку гру: за один хід гравець довільно вибирає п'ять карток і перевертає їх. Програє той гравець, після ходу якого на столі з'явиться розташування чисел, що вже зустрічалося в ході гри (можливо, у початковий момент). Хто має можливість забезпечити собі виграш — той, хто починає гру, чи його суперник?
8 класСиметрія та розбиття на пари
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-11-12-122

Сто планів пограбування без спільних залишків монет

У місті Ноттінгем мешкають 100 багатіїв, кожен з яких має принаймні мільйон золотих монет. Робін Гуд розробляє плани пограбування багатіїв Ноттінгема: кожен з них полягає в тому, щоб відібрати в кожного з багатіїв однакову кількість (але не більше мільйона) золотих монет. Доведіть, що якими б не були статки багатіїв Ноттінгема, Робін Гуд може скласти принаймні 100 різних планів пограбування так, щоб для будь-яких двох різних планів P′P' та P′′P'' не знайшлося таких багатіїв B′B' та B′′B'', що B′B' після пограбування за планом P′P' має стільки ж золотих монет, скільки має B′′B'' після пограбування за планом P′′P''.
11 класЖадібний алгоритм
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-11-12-141

Четвірки міст і закриття авіаліній

У країні Олімпії є 20122012 міст, деякі з котрих сполучаються між собою прямими авіалініями (кожною авіалінією сполучаються між собою тільки два міста, причому будь-які два міста сполучені не більше ніж однією авіалінією). Відомо, що кожне місто сполучено прямими авіалініями щонайбільше з 88 іншими містами. Доведіть, що в країні можна закрити не більше за 20122012 авіаліній, таких що серед будь-яких чотирьох міст хоча б два не сполучатимуться між собою прямою авіалінією.
9 класНапівінваріанти
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-10-11-014

Парність кількості п'ятірок з сумою обернених одиниця

Позначимо через NN кількість упорядкованих п'ятірок (a1,a2,a3,a4,a5)(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5) натуральних чисел, які задовольняють умову 1a1+1a2+1a3+1a4+1a5=1.\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_3} + \frac{1}{a_4} + \frac{1}{a_5} = 1. З'ясуйте, парним чи непарним є число NN. Зауваження. Якщо п'ятірка чисел упорядкована, такі набори вважають різними: (1,2,3,4,5)(1, 2, 3, 4, 5) та (2,1,3,4,5)(2, 1, 3, 4, 5).
9 класСиметрія та розбиття на пари
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-10-11-045

Яких траєкторій човна від A до B більше

У космічному квадраті з діагоналлю A(0,0) B(10,10)A(0, 0)\ B(10, 10) космічний човен має доставити секретний лист із точки AA в точку BB. Човну дозволяється рухатись таким чином: перебуваючи в точці (n1,m1)(n_1, m_1), де n1n_1, m1m_1 — цілі числа однакової парності, переміститись по прямій у будь-яку точку (n2,m2)(n_2, m_2), де n2>n1n_2 > n_1, m2>m1m_2 > m_1 та цілі числа n2,m2n_2, m_2 також мають однакову парність. Вороги встановили радари, які дозволяють виявити човен. Зону покриття радарів показано жирними відрізками на рис. 2 (точка, на яку вказує стрілка на кінці відрізка, не входить до зони дії радара). Човен буде виявлено, якщо його траєкторія перетне зону дії хоча б одного радара. Яких траєкторій руху космічного човна більше: тих, де човен буде виявлено, чи тих, де човен помічено не буде?
8 класСиметрія та розбиття на пари
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-10-11-036

Найбільше число з різними цифрами та різницею щонайменше 2

Знайдіть найбільше натуральне число, у якого всі цифри різні та кожні дві сусідні цифри відрізняються щонайменше на 22.
7 класЖадібний алгоритм
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-10-11-039

Чорна фішка і білі фішки на дошці 9×9

На центральному полі дошки розміром 9×99 \times 9 клітинок стоїть чорна фішка, а на серединах сторін зовнішнього квадрата — 44 білі фішки (рис. 4). Гравець, що грає чорною фішкою, ходить першим. За один хід він може пересунути чорну фішку вздовж сторони на будь-яку сусідню клітину, якщо на ній не стоїть біла фішка. Другий гравець кожним своїм ходом виставляє ще одну білу фішку на зовнішньому периметрі квадрата, але обов'язково в таке поле, що межує вздовж сторони з іншим полем, у якому вже стоїть біла фішка. Перший гравець ви́грає, якщо йому вдасться досягти зовнішньої межі квадрата. Якщо другий гравець зможе цьому завадити, виграє він. Хто здобуде перемогу в такій грі: перший чи другий гравець?
7 класЖадібний алгоритм
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-10-11-048

Найбільше парне число з умовою на сусідні цифри

Знайдіть найбільше парне натуральне число, у якого всі цифри різні та кожні дві сусідні цифри відрізняються щонайменше на 22.
8 класЖадібний алгоритм
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-10-11-051

Гра чорної та білих фішок на дошці 11×11

На центральному полі дошки розміром 11×1111\times 11 стоїть чорна фішка, а на серединах сторін зовнішнього квадрата — 44 білі фішки (рис. 5). Гравець, що грає чорною фішкою, ходить першим. За один хід він може пересунути чорну фішку вздовж сторони на будь-яку сусідню клітину, якщо на ній не стоїть біла фішка. Другий гравець кожним своїм ходом виставляє ще одну білу фішку на периметрі квадрата, але обов'язково в таке поле, що межує вздовж сторони з іншим полем, у якому вже стоїть біла фішка. Перший гравець ви́грає, якщо йому вдасться досягти зовнішньої межі квадрата. Якщо другий гравець зможе цьому завадити, то виграє він. Хто здобуде перемогу в такій грі: перший чи другий гравець?
8 класКласичні ігри
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-10-11-108

Гра зі знаками перед числами до 2011

Два гравці по черзі розставляють знаки «++» або «−-» перед послідовними натуральними числами 1,2,3,…1, 2, 3, \ldots та обчислюють суму всіх чисел, перед якими розставлено знаки. Так, перший гравець спочатку ставить знак перед числом 11, і це є його сумою після першого ходу. Потім другий ставить знак перед числом 22 і рахує суму двох чисел — це є його сумою після першого ходу. Далі перший гравець ставить знак перед числом 33 і рахує суму трьох чисел зі знаками — це його сума після другого ходу, а другий гравець ставить знак перед числом 44 і рахує суму чотирьох чисел і т. д. Програє той гравець, після ходу якого одержана ним сума вперше за модулем стане більшою або рівною 20112011. Хто переможе у разі правильної гри — перший чи другий гравець?
10 класСиметрія та розбиття на пари
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-09-10-031

Числа на дошці та рівні суми кольорів

Нехай NN — натуральне число. Припустимо, що сукупність чисел, записаних на дошці, задовольняють такі властивості: - кожне записане число kk задовольняє умову 1≤k≤N1 \le k \le N; - кожне 1≤k≤N1 \le k \le N записане принаймні один раз; - сума всіх записаних чисел — парне число. Доведіть, що можна пофарбувати деякі із записаних чисел у білий колір, а решту — у чорний таким чином, що суми чисел одного кольору будуть однаковими.
11 класЖадібний алгоритм
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-09-10-017

Симетричний квадрат 2009 × 2009 та числа на діагоналі

Квадратна таблиця 2009×20092009 \times 2009 заповнена числами 1,2,…,20091, 2, \ldots, 2009 таким чином, що в кожному рядку та кожному стовпці є кожне з цих чисел. Відомо, що таблиця симетрична відносно однієї діагоналі. Доведіть, що в клітинах цієї діагоналі записане кожне з чисел 1,2,…,20091, 2, \ldots, 2009.
9 класСиметрія та розбиття на пари
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-08-09-008

Найменша кількість чудових пар за круглим столом

Припустимо, що n≥3n \ge 3 людей з різними іменами сидять за круглим столом. Назвемо невпорядковану пару людей AA та BB «чудовою», якщо AA та BB сидять не на сусідніх місцях та принаймні на одній з дуг, що з'єднують AA та BB по краю стола, всі імена людей, що сидять вздовж неї, за алфавітом йдуть після імен AA та BB. Знайдіть найменшу можливу кількість «чудових» пар.
8 класІнші інваріанти
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-08-09-043

Хто першим замкне клітинку у квадраті 7×7

На аркуші у клітинку виділено квадрат 7×77 \times 7. Два гравці по черзі зафарбовують у жовтий колір одиничні відрізки, які є межами одиничних квадратів, що розташовані всередині чи на межі виділеного квадрата та ще не були зафарбовані. Перемагає той гравець, після ходу якого вперше з'являється одинична клітинка, усі чотири сторони якої зафарбовані у жовтий колір. Хто перемагає у цій грі при правильній грі обох — той, хто починає, чи той, хто ходить другим?
8 класСиметрія та розбиття на пари
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-08-09-058

Гра на квадраті 2009×2009 до першої жовтої клітинки

На аркуші у клітинку виділено квадрат 2009×20092009 \times 2009. Два гравці по черзі зафарбовують у жовтий колір одиничні відрізки, які є межами одиничних квадратів, що розташовані всередині чи на межі виділеного квадрату та ще не були зафарбовані. Перемагає той гравець, після ходу якого вперше з'являється одинична клітинка, усі чотири сторони якої зафарбовані у жовтий колір. Хто перемагає у цій грі при правильній грі обох - той, хто починає чи той, хто ходить другим?
10 класСиметрія та розбиття на пари
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-08-09-077

Гра Варі й Тані з рамками на клітчастому папері

Прямокутний папір у клітинку має розмір 2009×40182009 \times 4018. Розглядаються рамки прямокутників розмірами n×nn \times n та n×(n+2)n \times (n+2), що складаються з клітин, які мають принаймні одну спільну сторону з межею прямокутника (на рис.12 зображено приклад рамки для прямокутника розмірами n×(n+2)n \times (n+2), аналогічно виглядає рамка для прямокутника n×nn \times n). До рамок прямокутників також будемо відносити прямокутники розміром 1×11 \times 1, 2×22 \times 2, 1×31 \times 3 та 2×42 \times 4. Варя і Таня по черзі зафарбовують в межах заданого прямокутника вказані рамки. При цьому кожна нова рамка не повинна мати спільних клітин з жодною з попередніх. Починає гру Варя, переможцем вважається та дівчинка, якій вдасться зафарбувати останню рамку. Хто з гравців може забезпечити собі виграш?
8 класСиметрія та розбиття на пари
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-08-09-089

Поділ поля n × n відрізками на дві частини

Задане гральне поле n×nn \times n, у якому проведена лише зовнішня межа, а усі внутрішні лінії між квадратами 1×11 \times 1 витерті. Варя і Таня по черзі проводять межі у клітинок. За один хід дозволяється провести рівно один відрізок довжини 11, що розділяє дві клітини всередині квадрату, якщо цей відрізок ще не був проведений. Гра закінчується, якщо після чергового ходу усі клітини квадрату розбиваються на дві відокремлені частини, тобто з довільної клітини однієї частини дошки ходами шахової тури не можна потрапити в клітини, що належать іншій частині, не перетнувши при цьому проведені відрізки. Гравець, після ходу якого це трапилось, вважається таким, що програв. Хто з гравців може забезпечити собі виграш, якщо першою робить свій хід Варя?
10 класДерева
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-07-08-030

Почергове вилучення номерів і максимальний виграш

Була запропонована гра: задана множина номерів {0,1,2,...,1024}\{0, 1, 2, ..., 1024\}. Варвара вилучає з цієї множини 292^9 номерів. Олексій після цього вилучає 282^8 номерів з тих, що залишились. Далі знову Варвара вилучає 272^7 номерів з тих, що залишились, далі знову Олексій і т.д., поки не залишиться лише 2 номери a,ba, b. Тоді Олексій повинен дарувати Варварі ∣a−b∣|a - b| гривень. Яку максимальну кількість гривень може виграти Варвара при будь-якій грі Олексія?
10 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-07-08-007

Гра з додаванням власного дільника до перевищення 2008

На дошці написано число n=2n = 2. Двоє гравців AA та BB по черзі додають до написаного числа nn деякий власний дільник nn (тобто дільник, який менший за nn) і записують результат замість nn. Виграє той гравець, який першим напише число, більше за 20082008. Хто з гравців може забезпечити собі виграш – AA чи BB?
8 класВиграшні та програшні позиції: ан…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.