Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

1 192 задачі
КомбінаторикаІнваріанти та напівінваріанти
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-14-15-022

Обернення рівних частин намиста з pⁿ намистинок

Намисто складається з pnp^n намистинок, де pp — просте число, а n>2n > 2 — натуральне. За один хід дозволено розділити намисто на декілька рівних за кількістю намистинок частин, у кожному з яких порядок намистинок змінюється на протилежний, після чого частини з’єднують у початковому порядку в суцільні буси. Чи будь-який порядок послідовності намистинок можна одержати таким чином після скінченної кількості ходів?
9 класІнші інваріанти
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-14-15-063

Гра з розламуванням палиці довжиною 15 см

Вінні-Пух і П’ятачок грають у гру за такими правилами. Є палиця довжиною 1515 см. Першим ходом П’ятачок розламує її на дві частини, далі гравці по черзі розламують на дві частини один з наявних шматків. При цьому шматки повинні мати довжину, що виражена натуральними числами (у сантиметрах), і не можуть дорівнювати 11 см. Програє той, хто не зможе зробити хід. У кого з гравців стратегія є виграшною?
10 класПарність і непарність
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-14-15-100

Найменше кінцеве число після вилучення менших з пар

Задано скінченний набір натуральних чисел a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n. За один хід дозволено вибрати довільну пару чисел з тих, що залишилися, менше з двох вилучити, а більше — збільшити на 11. Яке найменше число можна одержати в кінці?
10 класНапівінваріанти
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-13-14-014

Можливість зараження всього квадрата 10 × 10

У квадраті 10×1010 \times 10 деякі комірки заражені інфекцією. Далі кожної секунди всі комірки, у яких 22 чи більше сусідніх по стороні клітин заражені, також стають зараженими. Чи можуть через деякий час виявитися зараженими всі комірки квадрата, якщо із самого початку були заражені рівно: а) 99 комірок; б) 1010 комірок?
9 класНапівінваріанти
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-13-14-006

Таблиця 5 × 5 з однаковими числами

Числа від 11 до 2525 записано в комірках таблиці 5×55 \times 5, як це показано на рис. 3.1. За один хід дозволяється: - вибрати довільні дві комірки зі спільною стороною та збільшити (зменшити) число в одній із цих комірок на 22 й водночас із цим в іншій комірці записане число зменшити (збільшити відповідно) на 11; - вибрати довільні дві комірки зі спільною вершиною (але не стороною) та збільшити число в одній із цих комірок на 11 і водночас із цим в іншій комірці записане число зменшити на 11. | | | | | | |---|---|---|---|---| | 11 | 22 | 33 | 44 | 55 | | 66 | 77 | 88 | 99 | 1010 | | 1111 | 1212 | 1313 | 1414 | 1515 | | 1616 | 1717 | 1818 | 1919 | 2020 | | 2121 | 2222 | 2323 | 2424 | 2525 | Рис. 3.1 а) Чи можна після скінченної кількості ходів одержати таблицю з однаковими числами в усіх комірках? б) Чи можна після скінченної кількості ходів одержати таблицю із записаним числом 22 в кожній комірці?
8 класКольорові інваріанти (розфарбуван…
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-13-14-023

Таблиця 7×7 з числами 1–49 і однакові числа

Числа від 11 до 4949 по одному записано в комірках таблиці 7×77 \times 7, як це показано на рис. 3.2. За один хід дозволяється вибрати довільну комірку та збільшити (зменшити) число в цій комірці на 11 і водночас із цим у деяких двох комірках, сусідніх по стороні з вибраною, зменшити (збільшити) на 11 числа в цих комірках. а) Чи можна після скінченної кількості ходів одержати таблицю, у всіх комірках якої записано однакові числа? б) Чи можна після скінченної кількості ходів одержати таблицю, у всіх комірках якої записано число 20132013? | | | | | | | | |---|---|---|---|---|---|---| | 11 | 22 | 33 | 44 | 55 | 66 | 77 | | 88 | 99 | 1010 | 1111 | 1212 | 1313 | 1414 | | 1515 | 1616 | 1717 | 1818 | 1919 | 2020 | 2121 | | 2222 | 2323 | 2424 | 2525 | 2626 | 2727 | 2828 | | 2929 | 3030 | 3131 | 3232 | 3333 | 3434 | 3535 | | 3636 | 3737 | 3838 | 3939 | 4040 | 4141 | 4242 | | 4343 | 4444 | 4545 | 4646 | 4747 | 4848 | 4949 | Рис. 3.2
10 класКольорові інваріанти (розфарбуван…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-13-14-082

Обхід конем дошки 4 на 6 з поверненням

а) Чи можна обійти клітчасту дошку розміром 4×64 \times 6 ходом шахового коня таким чином, щоб побувати на кожному полі рівно один раз? б) Чи можна при цьому зробити це так, щоб з останнього поля можна було ходом коня попасти на початкове? Примітка. Шаховий кінь може піти на будь-яке поле дошки, якщо воно розташоване на іншому кінці української літери «Г», тобто спочатку кінь пересувається на дві клітини по горизонталі чи по вертикалі, а далі на одну клітину перпендикулярно до початкового напряму.
8 класКольорові інваріанти (розфарбуван…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-13-14-097

Найбільша можлива сума відстаней між вершинами графа

Нехай є зв'язний граф з вершинами A1,A2,…,AnA_1, A_2, \ldots, A_n. Позначимо через di,jd_{i,j} найменшу кількість ребер, які необхідно пройти, щоб дістатися з вершини AiA_i у вершину AjA_j. Знайдіть найбільше можливе значення суми D=∑1⩽i<j⩽ndi,jD = \sum\limits_{1 \leqslant i < j \leqslant n} d_{i,j}.
10 класДерева
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-12-13-025

Різниці a і b в одноколірних парах натуральних чисел

Знайдіть усі пари натуральних чисел {a,b}\{a, b\}, які мають такі властивості: для будь-якого розфарбування множини натуральних чисел у два кольори — жовтий та синій (кожне натуральне число фарбується одним кольором) обов'язково знайдуться два числа жовтого кольору з різницею aa або два числа синього кольору з різницею bb.
11 класКольорові інваріанти (розфарбуван…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-12-13-004

Таблиця 3×3, обміни сусідніх чисел і кратність сум

У кожній комірці таблиці 3×33 \times 3 записане число, як показано на рисунку 1.2. За один хід можна поміняти місцями числа у будь-яких двох комірках, що мають суміжну сторону. | | | | |---|---|---| | 77 | 22 | 44 | | 55 | 77 | 77 | | 44 | 11 | 88 | Рис. 1.2 а) За яку найменшу кількість ходів можна одержати квадрат, у якому сума чисел, що записані у трьох комірках кожного стовпчика, кратна 33? б) Чи можна, діючи за описаними правилами, одержати квадрат, у якому сума чисел, що записані у трьох комірках кожного стовпчика та кожного рядка, буде кратною 33?
6 класОстача від ділення
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-12-13-009

Різні суми рядків і стовпців таблиці 3 × 3

Леся розклала кілька фішок у комірки таблиці 3×33 \times 3. У кожну комірку вона могла покласти одну чи кілька фішок або не покласти жодної. Далі Леся підрахувала загальну кількість фішок у кожному рядку та в кожному стовпчику таблиці. Усі шість отриманих чисел виявилися різними. Яку найменшу кількість фішок могла використати Леся?
7 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-12-13-014

Числа від 1 до 10 у кружечках з однаковими сумами

Чи можна розставити у 1010 кружечках, наведених на рисунку 1.3, числа 11, 22, …\ldots, 1010 (кожне число по разу) таким чином, щоб сума чисел у трьох кружечках уздовж кожного із шести відрізків була однаковою?
8 класПарність і непарність
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-12-13-064

Гра з відніманням дільника від числа 2013

На дошці записано число 20132013. Два гравці грають у таку гру. За один хід треба відняти від числа, що записане на дошці, будь-який його дільник та записати одержану різницю замість попереднього числа. Програє той гравець, після ходу якого на дошці буде записано число 00. Хто з гравців може забезпечити собі виграш?
9 класПарність і непарність
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-12-13-037

Найбільше можливе число після замін модулем різниці

На дошці записано числа 1,2,3,…,20141, 2, 3, \ldots, 2014. Андрійко може вибрати довільні два із записаних чисел a,ba, b та записати замість них число ∣a−b∣|a - b|. Після 2013-ї такої операції на дошці залишиться одне число. Яке найбільше число при цьому може залишитися?
7 класПарність і непарність
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-12-13-074

Заповнення таблиці 30×30 без остачі 1 мод 3

Керівник математичного гуртка намалював на дошці таблицю розміром 30×3030 \times 30 і запропонував учням заповнити її числами 11, 22, …\ldots, 900900, записуючи щосекунди в якусь порожню клітинку, на свій розсуд, одне з таких чисел, що не використовувалися раніше. Чи зможуть учні виконати завдання так, щоб у будь-який момент ані в жодному рядку, ані в жодному стовпці сума всіх записаних чисел не давала остачу 11 від ділення на 33?
9 класОстача від ділення
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-11-12-009

Перефарбування k з n камінців в один колір

На столі лежать nn камінців, кожен з яких пофарбований у білий або в чорний колір. Біля столу стоїть n−1n-1 гном, причому kk-й гном, 1⩽k⩽n−11 \leqslant k \leqslant n-1, може робити з камінцями такі операції: вибирати довільні kk камінців і перефарбовувати їх у протилежний колір (білі камінці гном перефарбовує в чорний колір, а чорні — у білий). Для яких значень n⩾3n \geqslant 3 незалежно від початкового розфарбування камінців кожен гном самостійно зможе зробити так, щоб усі камінці стали одного кольору?
8 класПарність і непарність
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-11-12-003

Чорні комірки в квадраті 50 на 50 після перефарбувань

У квадраті розміром 50×5050 \times 50, що розбитий на одиничні квадратики, кожна комірка (квадратик 1×11 \times 1) пофарбована у білий колір. За один хід дозволено перефарбувати будь-який рядок чи будь-який стовпчик великого квадрата у протилежний колір: біла комірка в цьому рядку або стовпчику стає після ходу чорною, а чорна — білою. Чи можна за скінченну кількість ходів одержати квадрат, у якому рівно NN чорних комірок: а) якщо N=2011N=2011; б) якщо N=2010N=2010?
8 класПарність і непарність
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-11-12-003

Суми рядків і стовпців таблиці 8×8

У кожній клітині таблиці 8×88 \times 8 записано число 00 або 11. Леся підрахувала суми чисел у кожному рядку. Якщо записати ці суми в порядку зростання, вийде набір 0,1,2,2,2,5,60, 1, 2, 2, 2, 5, 6 та 88. Андрійко ж обчислив суми чисел у кожному стовпці. Якщо записати в порядку зростання його суми, вийде набір 0,2,2,3,4,4,50, 2, 2, 3, 4, 4, 5 та 66. Чи не помилився хтось із дітей у своїх підрахунках?
6 класІнші інваріанти
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-11-12-007

Дванадцять частин круга у три кольори без спільної межі

Чи можна розфарбувати всі 1212 частин круга, зображеного на рис. 1.2, у три кольори так, щоб жодні дві частини, пофарбовані однаково, не мали спільної межі?
7 класГеометричні розфарбування
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-11-12-012

Жовті кульки у другій коробці і блакитні у першій

У першій коробці міститься кілька жовтих кульок, а у другій — кілька блакитних. Андрій перекладає декілька кульок із першої коробки в другу, після чого перемішує вміст другої коробки. Далі Леся перекладає таку ж саму кількість кульок із другої коробки в першу. Яких кульок тепер більше: жовтих у другій коробці чи блакитних у першій?
8 класІнші інваріанти
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-11-12-017

Числа від 1 до 101 і операція модуля різниці

На дошці записано числа 1,2,3,…,1011, 2, 3, \ldots, 101. Андрійко може вибрати серед записаних чисел довільні два aa, bb та записати замість них число ∣a−b∣|a - b|. Після 100100-ї такої операції на дошці залишиться єдине число. Яке найбільше значення воно може мати?
9 класНапівінваріанти
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-11-12-055

Трійки чисел на дошці і можливість переходу

На дошці записано три числа aa, bb, cc. За один хід ми витираємо всі три числа і замість них записуємо числа aa, a(b+c−4)a(b+c-4) та a(b−2)(c−2)a(b-2)(c-2). Порядок чисел aa, bb, cc ролі не відіграє, тобто можна записати трійку чисел bb, b(c+a−4)b(c+a-4), b(c−2)(a−2)b(c-2)(a-2) або cc, c(a+b−4)c(a+b-4), c(a−2)(b−2)c(a-2)(b-2). Чи можна за декілька подібних ходів із трійки чисел 33, 44, 55 одержати трійку чисел 20122012, 90099009, 11 10011\,100, записаних у довільному порядку?
8 класІнші інваріанти
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-11-12-115

Підвищення зарплат на 1, 2, …, n до рівності

На фірмі працюють nn співробітників; ii-й працівник має зарплатню ai∈Na_i\in\mathbb{N}, 1⩽i⩽n1\leqslant i\leqslant n. Керівник вирішив кожного місяця підвищувати працівникам зарплатню таким чином: одному на 11, другому на 22, …\ldots, останньому на nn. При цьому порядок, у якому працівники отримують підвищення, може бути різним. За яких умов на числа aia_i, 1⩽i⩽n1\leqslant i\leqslant n, керівник зможе за скінченну кількість часу зробити зарплатню всіх працівників однаковою?
11 класІнші інваріанти
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-11-12-040

Кількість брехунів у шерензі лицарів і брехунів

У шерензі стоять 20122012 людей, кожен з яких або лицар (який завжди говорить правду), або брехун (який завжди бреше). Кожен з них сказав: «Кількість брехунів зліва від мене більша за кількість лицарів справа від мене». Скільки брехунів у цій шерензі?
7 класПарність і непарність
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-11-12-041

Купка з 2012 камінців і ходи 1, 3, 4

На початку гри дано купку, у якій лежать 20122012 камінців. Двоє гравців по черзі беруть з неї камінці — перший за один хід бере 11 або 44 камінці на власний розсуд, другий за один хід бере 11 або 33 камінці (також на власний розсуд). Той, хто не зможе зробити хід, програє. Хто з гравців може забезпечити собі виграш?
7 класПарність і непарність

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.