Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

7 222 задачі
Комбінаторика
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-23-24-084

Пари для танців за списками з першим номером

У табір приїхали nn хлопців та nn дівчат. Для танців треба сформувати nn пар з одного хлопця та однієї дівчини. Кожна дівчина складає список, який містить першим номером того хлопця, з ким ця дівчина найбільше б хотіла танцювати, а далі йдуть імена тих, з ким вона була б не проти танцювати. Загалом у кожному списку був принаймні один хлопець. Виявилося, що вдалося сформувати пари таким чином, що кожна дівчина танцює із хлопцем зі свого списку. Покажіть, що можна сформувати nn пар для танців таким чином, щоб кожна дівчина танцювала із хлопцем зі свого списку та принаймні одна з них танцювала б із тим, з ким вона хотіла танцювати найбільше.
11 класМетод математичної індукції
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-23-24-086

Найменша кількість чисел з усіма останніми цифрами сум пар

Олексій на дошці написав декілька попарно різних натуральних чисел та порахував усі суми пар різних чисел. Виявилося, що серед останніх цифр усіх цих сум трапляються всі цифри від 00 до 99. Якою могла бути найменша кількість чисел, написаних Олексієм?
8 класПідрахунок двома способами
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-23-24-087

Найбільше число у нижній комірці трикутника різниць

Дано таблицю, у першому рядку якої є nn комірок, де n>2n>2, у другому рядку — (n−1)(n-1) комірка, у третьому — (n−2)(n-2) комірки, …, у nn-му рядку — лише одна комірка. Комірки розташовані так, як це показано на рис. 4.1. У кожну комірку верхнього рядка Петрик у довільному порядку вписує одне із чисел 1,2,…,n1, 2, \ldots, n рівно один раз. Після цього в усі інші комірки, розташовані нижче, він вписує числа за таким правилом: якщо в рядку над певною коміркою розташовані дві комірки, у яких записано числа aa та bb, то в цю комірку він має вписати число ∣a−b∣|a-b|. Яке найбільше число може бути вписане в єдину комірку нижнього рядка?
8 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-23-24-089

Двадцять лінійних функцій та корені їх попарних добутків

На дошці написано 2020 лінійних функцій, не обов’язково різних та відмінних від сталих. Для кожної зі 190190 пар цих функцій {f,g}\{f, g\} Віктор пише на дошці квадратичну функцію f(x)g(x)−2f(x)g(x)-2, а Соломія — квадратичну функцію f(x)g(x)−1f(x)g(x)-1. Віктор порахував, що рівно VV його квадратичних функцій мають корінь, а Соломія порахувала, що рівно SS її квадратичних функцій мають корінь. Якого найбільшого значення може набувати різниця S−VS-V? Примітка. Лінійну функцію f(x)=kx+bf(x)=kx+b називають сталою, якщо k=0k=0.
8 класКвадратні рівняння та системи
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-23-24-094

Найменша кількість прямокутників із різним покриттям клітинок дошки

Для деякого натурального числа nn розглянемо дошку розміром n×nn \times n. На цю дошку можна класти довільні прямокутники, сторони яких ідуть по сторонах сітки. Яку найменшу кількість таких прямокутників треба покласти, щоб усі клітинки дошки були покриті різною кількістю прямокутників (включаючи і той випадок, коли клітинки дошки не покриті жодним із прямокутників)? Примітка. Прямокутники, які ми викладаємо на дошку, можуть мати однакові розміри.
9 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-23-24-095

Найменша сума різниць сусідніх чисел по колу

По колу розставлено 20242024 додатних дійсних числа із сумою 11. Відомо, що будь-які два сусідніх числа відрізняються не менше ніж удвічі. Для кожної з 20242024 пар сусідніх чисел від більшого відняли менше, після чого всі ці 20242024 різниці додали. Яке найменше значення може мати ця сума?
9 класЧислові нерівності
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-23-24-100

Числа від 1 до 2024 та зрівнювання сум

Соломія написала на дошці числа 1,2,3,…,20241, 2, 3, \ldots, 2024. За один хід вона може стерти з дошки будь-які два числа aa і bb та написати замість них їхню суму a+ba + b. Після деякого ходу всі написані на дошці числа стали рівними. Яку найменшу кількість ходів Соломія могла для цього зробити?
10 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-23-24-101

Найменше k для рівності зі степенями двійки

Задано натуральне число nn. Знайдіть найменше натуральне число kk, для якого існує набір натуральних чисел a1,a2,…,aka_1, a_2, \ldots, a_k що для них справджується рівність 2a1+2a2+…+2ak=2n−n+k.2^{a_1}+2^{a_2}+\ldots+2^{a_k}=2^n-n+k.
10 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-23-24-108

Гра з відмічанням точок сітки з натуральними відстанями

Нехай задано натуральні числа mm та nn, більші за 11. Василь і Петрик грають у таку гру: вони по черзі відмічають на координатній площині ще не відмічені точки (x,y)(x, y), де x,yx, y — координати, виражені натуральними числами, такими що 1⩽x⩽m1 \leqslant x \leqslant m, 1⩽y⩽n1 \leqslant y \leqslant n. Програє той гравець, після ходу якого знайдуться дві відмічені точки, відстань між якими не є натуральним числом. Хто переможе в цій грі, якщо Василь ходить першим і кожен із гравців прагне перемогти?
11 класСиметрія та розбиття на пари
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-23-24-109

Майже середні арифметичні послідовних чисел на дошці

Визначимо майже середнє арифметичне набору чисел a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n як дріб a1+a2+…+ann+1\dfrac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n+1}. Існує набір b1,b2,…,b2023b_1, b_2, \ldots, b_{2023} додатних, не обов'язково різних чисел. Для кожної пари індексів (i, j)(i,\ j), де 1⩽i⩽j⩽20231 \leqslant i \leqslant j \leqslant 2023, Олексій виписав на дошці майже середнє арифметичне чисел bi,bi+1,…,bjb_i, b_{i+1}, \ldots, b_j. Покажіть, що серед чисел, написаних на дошці, є принаймні 4545 попарно різних чисел.
11 класПринцип Діріхле (скінченні множин…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-23-24-093

Гра із триклітинковими фігурками на дошці 6n x 6n

На квадратній дошці 6n×6n6n \times 6n, де nn — натуральне число, Олексій і Соломія грають у таку гру. Олексій кожним ходом ставить на дошку фігурку типу FF, що складається з трьох клітинок. Соломія так само після кожного ходу Олексія розставляє числа 00, 11 та 22 у клітинки фігурки, що виставив Олексій, використовуючи кожне із чисел рівно по одному разу. Якщо після чергового ходу Олексія дві виставлені фігурки мають спільну клітинку, то він одразу програє. Якщо квадрат виявився повністю заповненим числами, то гра зупиняється. У випадку, якщо сума чисел у кожному рядку та кожному стовпці квадратної дошки ділиться на 33, перемагає Соломія, а інакше — перемагає Олексій. Хто може забезпечити перемогу в цій грі, якщо фігурка типу FF, це: а) прямокутник 1×31 \times 3; б) куточок із трьох клітинок?
8 класГеометричні розфарбування
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-23-24-099

Складені непарні числа з парами дільників на степінь двійки

Знайдіть складені непарні числа, усі дільники яких можна розбити на пари так, що сума чисел у кожній парі є степенем двійки, при цьому кожний дільник належить рівно одній такій парі.
9 класКількість дільників τ(n)
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-23-24-106

Маршрут через 2022 різні міста з авіарейсами

У країні є 20242024 міста, деякі пари з яких сполучені двосторонніми авіарейсами. Для довільних попарно різних міст AA, BB, CC, XX, YY, ZZ можна перелетіти прямим рейсом з деякого міста AA, BB, CC в деяке з міст XX, YY, ZZ. Доведіть, що можна спланувати такий маршрут T1→T2→…→T2022T_1 \to T_2 \to \ldots \to T_{2022}, який проходить через 20222022 попарно різних міста.
10 класШляхи на графах
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-23-24-111

Вибір k чисел з однаковим знаком суми і добутку

Задано 1212 ненульових, не обов’язково різних, дійсних чисел. Знайдіть усі такі натуральні kk від 11 до 1212, що серед цих 1212 чисел завжди можна вибрати kk чисел, сума яких має такий самий знак, як і добуток, тобто або сума та добуток — додатні, або сума та добуток — від’ємні.
11 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-23-24-113

Найменша кількість гарних пар жовтих і синіх точок

На площині вибрано 20242024 жовтих і 20242024 синіх точок, причому жодні три з вибраних точок не лежать на одній прямій. Назвемо пару невід’ємних цілих чисел (a,b)(a, b) гарною, якщо існує півплощина, на якій лежить рівно aa жовтих і рівно bb синіх точок. Знайдіть найменшу можливу кількість гарних пар. Примітка. Точки, що лежать на прямій, яка є межею півплощини, уважаємо такими, що півплощині не належать.
11 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбір команди Закарпатської області до Всеукраїнської олімпіадиZSEL-23-24-001

Найменша кількість коробок для м’ячів із сумою, кратною трьом

Дано 3636 м’ячів, занумерованих числами 1,2,…,361, 2, \ldots, 36. Петрику треба розкласти їх по коробках із дотриманням таких умов: у кожній коробці має бути не менше ніж 22 м’ячі, а сума номерів будь-яких двох м’ячів у кожній коробці має ділитися націло на 33. Яка найменша кількість коробок має бути в Петрика?
8 класАрифметика остач (базові властиво…
Відбір команди Закарпатської області до Всеукраїнської олімпіадиZSEL-23-24-007

М’ячі трьох кольорів і найбільша кількість у коробці

У коробці лежать м’ячі трьох кольорів — жовтого, синього та чорного. Якщо витягнути з коробки довільні 3737 м’ячів, то там гарантовано буде принаймні один м’яч кожного кольору. Яка найбільша кількість м’ячів може бути в коробці?
10 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-22-23-001

Числа 1-8 на гранях октаедра та суми у вершинах

Числа 1,2,…,81, 2, \ldots, 8 записано на гранях октаедра (рис. 3.1), по одному числу на кожній грані, при цьому всі числа використано. Для кожної із шести вершин рахуємо число, що є сумою чисел на чотирьох гранях, які містять цю вершину. Виявилося, що в чотирьох із цих вершин суми були однакові, у п’ятій вершині вийшла сума 1616. Яка сума може бути для шостої вершини?
8 класПідрахунок двома способами
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-22-23-029

Ряд з 51 числа з сумою 100 та презентабельність

У ряд виписано 5151 не обов’язково різне натуральне число, сума цих чисел дорівнює 100100. Натуральне число kk називають презентабельним, якщо його можна подати як суму кількох послідовно записаних у цьому ряді чисел (можливо, одного числа). Доведіть, що з двох чисел kk та 100−k100 - k, де 1⩽k⩽1001 \leqslant k \leqslant 100, принаймні одне є презентабельним.
10 класПринцип Діріхле (скінченні множин…
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-22-23-030

Натуральні числа по колу і подільність несусідніх

По колу розставлено натуральні числа a1,a2,a3,…,ana_1, a_2, a_3, \ldots, a_n таким чином, що в кожній парі сусідніх чисел aia_i та ai+1a_{i+1}, 1⩽i⩽n (a1=an+1)1 \leqslant i \leqslant n\ (a_1 = a_{n+1}), одне із чисел ділиться націло на інше. Для яких n⩾3n \geqslant 3 обов’язково існують несусідні числа з такою самою властивістю?
10 класПарність і непарність
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-22-23-007

Найменше n для футбольного турніру з рівними очками

У футбольному турнірі, де за перемогу нараховують 33 очки, за нічию — 11 очко, а за поразку очок не нараховують, nn команд зіграли кожна з кожною рівно один матч. При цьому по завершенні турніру всі команди набрали однакову кількість очок. При якому найменшому nn це могло статися, якщо не в усіх команд кількість перемог дорівнює кількості поразок?
8 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-22-23-032

Підпослідовності нуль-одиничних послідовностей довжини n + 3

Нехай nn — натуральне число, XX — послідовність довжини nn, що складається з нулів та одиниць, тобто послідовність має nn членів, кожний з яких дорівнює 00 або 11. Послідовність XX є підпослідовністю послідовності YY, якщо з послідовності YY можна, викресливши декілька елементів, отримати послідовність XX. а) Доведіть, що кількість послідовностей YY довжини n+3n + 3, що містять послідовність XX як підпослідовність, не залежить від того, якою із самого початку було вибрано послідовність XX. б) Для якого найменшого nn кількість таких послідовностей YY більша за 20182018?
10 класРекурентний підрахунок
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-22-23-042

Поява четвірки у послідовності з цілими частинами

Послідовність натуральних чисел (an)(a_n) задовольняє умову an+2=[2an+1an]+[2anan+1].a_{n+2} = \left[\frac{2a_{n+1}}{a_n}\right] + \left[\frac{2a_n}{a_{n+1}}\right]. Доведіть, що існує такий індекс mm, для якого am=4a_m = 4 та am+1∈{3,4}a_{m+1} \in \{3, 4\}. Примітка. Для дійсного числа aa через [a][a] позначено цілу частину числа aa, тобто найбільше ціле число, що не перевищує aa.
11 класПослідовності (інші властивості)
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-22-23-012

Фарбування квадрата 2015 × 2015 без однокольорової спеціальної трійки

Трійку одиничних квадратиків (u,v,w)(u, v, w) квадрата 2015×20152015 \times 2015 назвемо спеціальною, якщо квадратики uu та vv розташовані в одному стовпці та uu розташований вище за vv, а також uu та ww розташовані в одному рядку та ww правіше за uu; або ж якщо uu та vv розташовані в одному стовпці та uu розташований вище за vv, а також vv та ww розташовані в одному рядку та vv правіше за ww. Для якого найменшого значення kk усі клітинки квадрата можна пофарбувати в один із kk кольорів так, щоб не існувало жодної однокольорової спеціальної трійки квадратиків?
8 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-22-23-034

Зв’язний граф з 2016 міст та незалежна роз’єднувальна множина

У країні є 20162016 міст, між kk парами міст установлено авіарейси в обох напрямках таким чином, що від будь-якого міста можна дістатися до будь-якого іншого, можливо, через декілька проміжних міст. Для якого максимального значення kk ми завжди зможемо вибрати деяку кількість міст, жодні два з яких не мають прямого сполучення, та прибрати всі рейси, що проходять через ці міста, при цьому виявиться, що існують деякі два міста, такі що не були вибраними та від одного не має можливості дістатися до іншого?
10 класЗв’язність

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.