Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

261 задача
КомбінаторикаКонструкція за індукцією
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-19-20-009

Найменша сукупність підмножин множини з 2ⁿ елементів

Дано натуральне число nn. Нехай CC — така сукупність підмножин множини {1,2,…,2n}\{1, 2, \ldots, 2^n\}, що: - усі підмножини множини {1,2,3,…,2n}\{1, 2, 3, \ldots, 2^n\}, що складаються з (2n−1)(2^n - 1) елементів, містяться в CC; - кожна непорожня множина S∈CS \in C містить такий елемент s∈{1,2,3,…,2n}s \in \{1, 2, 3, \ldots, 2^n\}, що множина S\{s}S \backslash \{s\} також належить до CC. Яка найменша кількість елементів може бути в CC?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-17-18-003

Гра з відмічанням точок і n точок на прямій

Розглянемо множину всіх цілочислових точок у Z3\mathbb{Z}^3. Сашко з Марійкою грають у таку гру. Спочатку Марійка відмічає довільну точку. Після цього Сашко відмічає всі точки на деякій площині, яка перпендикулярна до однієї з координатних осей і на якій немає жодної точки, яку відмітила Марійка. Далі вони продовжують робити кроки по черзі: Марійка не може вибирати відмічені раніше точки, а Сашко не може вибирати площини, на яких є точки, що їх відмітила Марійка. При цьому Марійка прагне відмітити nn точок підряд на деякій прямій, що паралельна одній із координатних осей, а Сашко прагне завадити їй. Знайдіть усі nn, при яких Марійка може досягти бажаного результату.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-13-14-009

Числа n-гарні для n ≥ 6

Натуральне число NN назвемо nn-гарним, якщо воно задовольняє умови: - NN має не менше ніж nn різних простих дільників; - існують nn чисел x1=1<x2<…<xnx_1 = 1 < x_2 < \ldots < x_n, які є дільниками числа NN і сума яких дорівнює NN. Доведіть, що для всіх n⩾6n \geqslant 6 існують nn-гарні числа.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-12-13-004

Зростаюча послідовність більша за степені та подання чисел

Доведіть, що для довільного числа M>2M > 2 існує зростаюча послідовність натуральних чисел (an)(a_n), яка задовольняє такі умови: ∀i∈Nai>Mi;\forall i \in \mathbb{N} \quad a_i > M^i; ціле число n≠0⇔∃m∈Nn \neq 0 \Leftrightarrow \exists m \in \mathbb{N} та існують b1,b2,…,bm∈{−1,1}b_1, b_2, \ldots, b_m \in \{-1, 1\}, для яких справджується рівність n=b1a1+b2a2+…+bmamn = b_1 a_1 + b_2 a_2 + \ldots + b_m a_m.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-12-13-012

Кількість гарних розфарбувань 4026 точок двох кольорів

На площині відмітили 40264026 точок, жодні три з яких не лежать на одній прямій. При цьому 20132013 точок є вершинами опуклого многокутника, а інші 20132013 точок лежать усередині цього многокутника. Дозволено пофарбувати кожну точку в один із двох кольорів. Розфарбування буде гарним, якщо деякі пари точок можна сполучити відрізками з дотриманням таких умов: - кожен відрізок сполучає точки однакового кольору; - жодні два проведені відрізки не перетинаються у своїх внутрішніх точках; - для довільної пари точок однакового кольору існує шлях по проведених відрізках від однієї точки до іншої. Зверніть увагу, що сторони опуклого 20132013-кутника не є автоматично проведеними відрізками, хоча деякі з них (або й усі) за потреби можна провести. Доведіть, що загальна кількість гарних розфарбувань не залежить від конкретного розташування точок, і знайдіть цю кількість.
10–11 класиГеометричні розфарбування
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-06-07-011

Лампи в ряд і момент одночасного вимкнення

Є n≥2n \ge 2 ламп L1,…,LnL_1, \ldots, L_n, розташованих в ряд, кожна з яких може бути в одному з двох станів – «вкл» або «викл». Кожної секунди лампи одночасно змінюють свій стан за такими правилами: – якщо лампа LiL_i та її сусіди (при i=1,i=ni=1, i=n лампа має рівно одного сусіда, при інших – двох) перебувають в однаковому стані, то вона приймає стан «викл»; – інакше вона приймає стан «вкл». У початковому положенні усі лампи перебувають у стані «викл», окрім крайньої лівої лампи, яка має стан «вкл». а) Довести, що існує нескінченно багато таких натуральних nn, для яких усі лампи будуть з часом у стані «викл». б) Довести, що існує нескінченно багато таких натуральних nn, для яких лампи не будуть усі одночасно в положенні «викл» ні в який момент часу.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-04-05-003

Чудова таблиця 1019 × 1019 і найбільше число

Для таблиці розміром 1019×10191019 \times 1019, заповненої натуральними числами, позначимо через XiX_i множину чисел в її ii-му рядку, а через YiY_i — множину чисел в її ii-му стовпчику, 1≤i≤10191 \le i \le 1019. У випадку, якщо всі множини X1,X2,…,X1019X_1, X_2, \ldots, X_{1019}, Y1,Y2,…,Y1019Y_1, Y_2, \ldots, Y_{1019} є попарно різними, таку таблицю назвемо чудовою. Знайдіть найменше можливе значення найбільшого числа в чудовій таблиці.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-04-05-012

Розфарбування сторін і діагоналей n-кутника в k кольорів

Сторони та діагоналі правильного nn-кутника розфарбовано в kk кольорів так, що для кожного кольору aa та кожної пари різних вершин AA і BB многокутника або існує третя вершина CC така, що відрізки ACAC і CBCB пофарбовано в колір aa або сам відрізок ABAB пофарбовано в колір aa, і не існує жодного трикутника з вершинами серед вершин даного nn-кутника, сторони якого пофарбовано в три різні кольори. Доведіть, що k≤2k \le 2.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Математичний матч Чехія–Австрія–Польща–СловаччинаCAPS-2025-004

Цілі числа на сітці з умовою для діагональних сусідів

Площину розділили вертикальними та горизонтальними прямими на одиничні квадрати. Чи можна записати цілі числа в клітинки цієї нескінченної сітки на площині так, щоб виконувалися такі умови: а) у кожній клітинці записано рівно одне ціле число; б) кожне ціле число зустрічається рівно один раз; в) для будь-яких двох клітинок AA і BB, які мають лише одну спільну вершину, справджується умова: якщо в них записані числа aa і bb, то принаймні в одній із клітинок, що мають спільну сторону і з AA, і з BB, записане число, яке лежить у діапазоні між aa та bb?
10–11 класиКонструкція за індукцією
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2025-001

n прямих, що покривають точки трикутника, і k сонячних

Пряму на координатній площині XOYXOY називатимемо сонячною, якщо вона не є паралельною ані осі OXOX, ані осі OYOY, ані прямій x+y=0x + y = 0. Нехай n⩾3n \geqslant 3 — деяке ціле число. Знайдіть усі невід'ємні цілі числа kk, для яких існують nn різних прямих на цій площині, що задовольняють такі дві умови: - для всіх натуральних чисел aa і bb таких, що a+b⩽n+1a + b \leqslant n + 1, точка з координатами (a,b)(a, b) лежить принаймні на одній із цих nn прямих; - рівно kk із цих nn прямих є сонячними.
10–11 класиДискретні набори точок та прямих…
Балтійський шляхBW-2024-006

Лабіринт з 2024 печер і ходи Еріка

Лабіринт — це система з 2024 печер та 2023 (двосторонніх) коридорів, що не перетинаються, де кожний коридор з'єднує рівно дві печери, а з кожної печери можна дістатися до будь-якої іншої через певну послідовність коридорів. Спочатку Ерік стоїть у коридорі, що з'єднує якісь дві печери. За один хід він може пройти через одну з печер в інший коридор, що з'єднує цю печеру з третьою печерою. Однак при цьому коридор, яким він щойно пройшов, магічним чином зникне і буде замінений новим коридором, який з'єднує кінець його нового коридору з початком його старого коридору (тобто, якщо Ерік був у коридорі, що з'єднував печери aa і bb, і пройшов через печеру bb у коридор, що з'єднує печери bb і cc, то коридор між печерами aa і bb зникне, а новий коридор з'явиться між печерами aa і cc). Оскільки Ерік любить придумувати лабіринти й має особливий задум для свого наступного лабіринту, він цікавиться, чи може він перетворити лабіринт у той, який він задумав, використовуючи ці ходи. Доведіть, що це дійсно можливо незалежно від початкового лабіринту і положення Еріка в ньому.
10–11 класиДерева
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2024-001

Два початкові числа на дошці та всі цілі числа

На дошці написано два різних цілих числа uu та vv. Ми виконуємо послідовність кроків. На кожному кроці робимо одну з таких двох операцій: - якщо aa та bb — різні цілі числа, написані на дошці, то ми можемо дописати число a+ba + b, якщо його там ще немає; - якщо aa, bb та cc — три попарно різних цілих числа на дошці та ціле число xx є коренем рівняння ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0, то ми можемо дописати число xx, якщо його там ще немає. Знайдіть усі пари початкових чисел (u,v)(u, v), що для них будь-яке ціле число може бути написане на дошці після скінченної кількості кроків.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Шорт-лист IMOIMOSL-2024-008

Парні круті числа для дошки з умовою на суми підквадратів

Нехай nn — натуральне число. Числа 1,2,3,…,n21, 2, 3, \ldots, n^{2} треба записати в клітинки дошки n×nn \times n так, щоб кожне число було записане рівно в одній клітинці й кожна клітинка містила рівно одне число. Для кожного цілого dd, для якого d∣nd \mid n, dd-розбиттям дошки називається розбиття дошки на (n/d)2(n / d)^{2} піддощок, що не перетинаються, кожна розміру d×dd \times d, так, щоб кожна клітинка містилася рівно в одній піддошці d×dd \times d. Будемо казати, що nn — круте число, якщо числа можна записати на дошці n×nn \times n так, що для кожного цілого dd, для якого d∣nd \mid n і 1<d<n1 < d < n, у dd-розбитті дошки сума чисел, записаних у кожній піддошці d×dd \times d, не кратна dd. Визначте всі парні круті числа.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2024-002

Перестановка чисел із частковими сумами не кратними p

Розглянемо непарне просте число pp та натуральне число N<50pN < 50p. Нехай a1,a2,…,aNa_1, a_2, \ldots, a_N — це такий набір натуральних чисел, менших за pp, що будь-яке значення зустрічається поміж них щонайбільше 51100N\frac{51}{100}N разів і при цьому сума a1+a2+…+aNa_1 + a_2 + \ldots + a_N не ділиться на pp. Доведіть, що існує перестановка b1,b2,…,bNb_1, b_2, \ldots, b_N набору a1,a2,…,aNa_1, a_2, \ldots, a_N така, що для будь-якого k=1,2,…,Nk = 1, 2, \ldots, N сума b1+b2+…+bkb_1 + b_2 + \ldots + b_k не ділиться на pp.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2024-003

N-допустима множина і трикутники з кутами до 61°

Для натурального числа nn множину SS назвемо nn-допустимою, якщо: - кожен елемент множини SS є невпорядкованою трійкою чисел у множині {1,2,…,n}\{1, 2, \ldots, n\}, ∣S∣=n−2;|S| = n - 2; - для кожного натурального числа kk, такого, що 1⩽k⩽n−21 \leqslant k \leqslant n - 2, та для будь-яких kk попарно різних елементів A1,A2,…,Ak∈SA_1, A_2, \ldots, A_k \in S справджується умова ∣A1∪A2∪…∪Ak∣⩾k+2.|A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_k| \geqslant k + 2. Чи дійсно для всіх n>3n > 3 та для кожної nn-допустимої множини SS існують попарно різні точки P1,P2,…,PnP_1, P_2, \ldots, P_n на площині такі, що для будь-якої трійки {i,j,k}\{i, j, k\} у множині SS градусні міри кутів трикутника PiPjPkP_iP_jP_k є меншими за 61∘61^\circ?
10–11 класиКомплексні числа
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-025

Замкнений маршрут по сітці з поворотами

Perseverance — марсохід NASA, який досліджує цю планету. Щодня він стартує з домашньої бази, а далі рухається на північ, південь, схід або захід. Кожного кілометра робот робить один поворот на 90∘90^\circ. Крім того, робот не хоче відвідувати те саме місце двічі протягом дня (за винятком домашньої бази, яка завжди є початковою та кінцевою точкою його маршруту). Які можливі довжини маршруту робота?
10–11 класиПарність і непарність
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-032

Точки на колі зі зміною кольорів

На колі позначено декілька точок. Кожна позначена точка пофарбована в червоний, зелений або синій колір. За один хід можна стерти дві позначені точки різних кольорів, між якими немає позначених точок, і позначити нову точку між місцями стертих точок третім кольором. У кінцевому стані всі позначені точки мають однаковий колір, який називається кольором кінцевого стану. Знайдіть усі натуральні числа nn, для яких існує початковий стан з nn позначених точок з одним відсутнім кольором, з якого можна досягти кінцевого стану будь-якого з трьох кольорів, застосувавши відповідну послідовність ходів.
10–11 класиПарність і непарність2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2023-004

Перестановки з обмеженою сумою коренів

Нехай NN — додатне ціле число. Доведіть, що існують три перестановки a1,a2,…,aNa_{1}, a_{2}, \ldots, a_{N}; b1,b2,…,bNb_{1}, b_{2}, \ldots, b_{N}; та c1,c2,…,cNc_{1}, c_{2}, \ldots, c_{N} чисел 1,2,…,N1,2, \ldots, N такі, що ∣ak+bk+ck−2N∣<2023\left|\sqrt{a_{k}}+\sqrt{b_{k}}+\sqrt{c_{k}}-2 \sqrt{N}\right|<2023 для кожного k=1,2,…,Nk=1,2, \ldots, N.
10–11 класиКонструкція за індукцією3 розв’язки
Математичний матч Чехія–Австрія–Польща–СловаччинаCAPS-2022-006

S-гарне слово з однаковою кількістю перестановок

Розглянемо 26 літер латинського алфавіту A,…,ZA, \ldots, Z. Словом назвемо будь-яку скінченну послідовність цих літер. Назвемо слово ss-гарним, якщо воно містить кожну з 26 літер цього алфавіту й кожна перестановка літер A,…,ZA, \ldots, Z трапляється в ньому як підпослідовність одну й ту саму кількість разів. Доведіть, що: а) гарне слово існує; б) будь-яке гарне слово містить принаймні 2022 літери. Примітка. Тут перестановка 26 літер π\pi трапляється як підпослідовність у слові s=s1s2s3…s = s_1 s_2 s_3 \ldots, якщо існують 26 таких індексів i1<i2<…<i26i_1 < i_2 < \ldots < i_{26}, що π=si1si2…si26\pi = s_{i_1} s_{i_2} \ldots s_{i_{26}}.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Міжнародна Жаутиковська олімпіада (IZhO)IZHO-2022-002

Двокольорове десятиповерхове дерево та його перестановки

На площині нарисоване 10-поверхове 2-дерево: вершину A1A_1 сполучено з двома вершинами B1B_1 і B2B_2, кожну з яких сполучено з двома із чотирьох вершин C1,C2,C3,C4C_1, C_2, C_3, C_4. Кожну з вершин CiC_i сполучено рівно з однією з вершин BjB_j, і так далі, по степенях числа 2 (на дев’ятому рівні 512 точок, тобто 292^9) до 512 вершин J1,J2,J3,…,J512J_1, J_2, J_3, \ldots, J_{512}. Кожну з вершин J1,J2,J3,…,J512J_1, J_2, J_3, \ldots, J_{512} пофарбовано в один із двох кольорів — блакитний чи жовтий. Розглядаємо всі можливі перестановки ff множини вершин нарисованого дерева: - якщо вершини XX та YY були сполучені відрізком, то й вершини f(X)f(X) та f(Y)f(Y) також сполучені відрізком; - якщо вершину XX пофарбовано в один з кольорів, то й вершину f(X)f(X) також пофарбовано в той самий колір. Для якого максимального MM гарантовано знайдуться принаймні MM таких різних перестановок?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2021-022

Розбиття рівностороннього трикутника на n рівносторонніх трикутників

Дано рівносторонній трикутник. Знайдіть усі натуральні числа nn такі, що його можна розбити на nn рівносторонніх трикутників (не обов’язково однакового розміру).
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2021-005

Опуклий многокутник з поворотом на 60° і точки

Дано натуральне число nn. Форма території королівства Zoomландія являє собою опуклий многокутник з периметром 6n6n, довжини сторін якого є натуральними числами, причому королівству належать усі точки цього многокутника, як внутрішні, так і межові. Відомо, що в результаті повороту на кут 60∘60^\circ відносно деякої точки OO площини многокутник переходить у себе. Через пандемію уряд Zoomландії хоче розмістити 3n2+3n+13n^2 + 3n + 1 мешканців у деяких 3n2+3n+13n^2 + 3n + 1 точках країни, відстань між будь-якими двома точками не менша за 11. Доведіть, що це можливо.
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2021-006

Початковий многочлен для отримання (A, B)-хороших многочленів

Неконстантний многочлен S(x)S(x) із дійсними коефіцієнтами записано на дошці. Дозволено вибрати многочлен P(x)P(x), уже записаний на дошці, та дописати довільний многочлен вигляду P(C+x)P(C + x) або C+P(x)C + P(x), де CC — дійсне число. Більше того, можна вибрати довільні два (можливо, однакові) многочлени P(x)P(x) та Q(x)Q(x), уже записані на дошці, та дописати многочлени P(Q(x))P(Q(x)) та P(x)+Q(x)P(x) + Q(x). Многочлени з дошки не прибирають. Дано дві множини дійсних чисел A={a1,a2,…,an}A = \{a_1, a_2, \ldots, a_n\} та B={b1,b2,…,bn}B = \{b_1, b_2, \ldots, b_n\}. Многочлен f(x)f(x) із дійсними коефіцієнтами назвемо (A,B)(A, B)-хорошим, якщо f(A)=Bf(A) = B, де f(A)={f(ai):i=1,n‾}.f(A) = \{f(a_i) : i = \overline{1, n}\}. Знайдіть усі можливі многочлени S(x)S(x), що могли бути записані на дошці спочатку, якщо для довільних скінченних множин дійсних чисел AA та BB, для яких ∣A∣=∣B∣|A| = |B|, можна отримати (A,B)(A, B)-хороший многочлен за скінченну кількість дозволених операцій.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Кіберпросторове математичне змагання (CMC)CMC-2020-001

Для яких n покриття куточками дошки без головної діагоналі

Розглянемо дошку розміром n×nn \times n. Головною діагоналлю цієї дошки є nn одиничних квадратиків 1×11 \times 1, що йдуть вздовж діагоналі від лівого верхнього до правого нижнього квадратика. У нас є необмежена кількість фігурок «куточок», що складаються з трьох клітинок 1×11 \times 1. Фігурки можна як завгодно повертати. Ми маємо розташовувати фігурки на дошці так, щоб кожна з них покривала рівно три одиничних квадратики, жодні дві фігурки не перекривалися, при цьому квадратики головної діагоналі лишилися непокритими, а кожний інший одиничний квадратик дошки був би покритий рівно однією фігуркою. Для яких n⩾2n \geqslant 2 це можливо?
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Кіберпросторове математичне змагання (CMC)CMC-2020-005

Числа на дошці і отримання чисел -2020 та 2020

На дошці записано 2020 натуральних чисел. Щохвилини Зумінг витирає два числа та замість них записує на дошці одне із чисел: їхню суму, різницю, добуток або частку. Наприклад, якщо Зумінг витирає числа 6 і 3, то замість них він може записати одне із чисел множини {6+3, 6−3, 3−6, 6⋅3, 6:3, 3:6}={9, 3, −3, 18, 2, 12}.\{6+3,\ 6-3,\ 3-6,\ 6\cdot 3,\ 6:3,\ 3:6\}=\left\{9,\ 3,\ -3,\ 18,\ 2,\ \frac{1}{2}\right\}. Через 2019 хвилин Зумінг записав на дошці єдине число −2020-2020. Доведіть, що Зумінг міг останнім записати число 2020, використовуючи ті самі правила та почавши з тих же 2020 початкових чисел.
10–11 класиКонструкція за індукцією

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.