Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

342 задачі
АлгебраКорені многочлена, розклад на множники
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-19-20-009

Чотири квадратні тричлени і зростаючий порядок значень

Чи існують чотири квадратні тричлени такі, що, записавши їх у будь-якому порядку, ми зможемо знайти число, при підстановці якого в ці тричлени отримані значення строго зростатимуть зліва направо?
7–9 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-17-18-012

Сума значень функції на цілих числах

Задано натуральне число nn і цілі числа a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n. Функція f:Z→Rf : \mathbb{Z} \to \mathbb{R} задовольняє умову: для довільних цілих kk і ll, l≠0l \neq 0, виконується рівність ∑i=1nf(k+ail)=0\sum\limits_{i=1}^{n} f(k + a_i l) = 0. Доведіть, що f≡0f \equiv 0.
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-15-16-009

Корінь многочлена з дійсними коренями і сумою коефіцієнтів

Многочлен P(x)=xn+∑k=0n−1akxkP(x) = x^n + \sum_{k=0}^{n-1} a_k x^k з дійсними коефіцієнтами a0a_0, a1a_1, …\ldots, an−1a_{n-1} має nn дійсних коренів. Відомо, що для його коефіцієнтів виконується нерівність −2⩽∑k=0n−1ak⩽0-2 \leqslant \sum_{k=0}^{n-1} a_k \leqslant 0. Доведіть, що хоча б для одного кореня α\alpha многочлена PP виконується нерівність ∣α−1∣⩽1|\alpha - 1| \leqslant 1.
7–9 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-13-14-008

Пари многочленів з різницею дробів 1/x(x+α)

Задано дійсне число α\alpha. Знайдіть усі пари таких многочленів (P,Q)(P, Q) з дійсними коефіцієнтами, що рівність P(x)Q(x)−P(x+1)Q(x+1)=1x(x+α)\frac{P(x)}{Q(x)} - \frac{P(x+1)}{Q(x+1)} = \frac{1}{x(x+\alpha)} виконується для нескінченної кількості x∈Rx \in \mathbb{R}.
10–11 класиРаціональні функції
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-13-14-009

Система двох степеневих сум із нескінченною кількістю розв'язків

Нехай mm, nn — непарні взаємно прості натуральні числа. Знайдіть усі пари цілих чисел aa, bb, для яких система рівнянь {xm+ym+zm=a,xn+yn+zn=b\begin{cases} x^m + y^m + z^m = a, \\ x^n + y^n + z^n = b \end{cases} має безліч розв'язків у цілих числах xx, yy, zz.
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-13-14-012

Кількість n з подільністю n!+1 на p

Доведіть, що для довільного простого p⩾3p \geqslant 3 кількість натуральних чисел nn, для яких p∣n!+1p \mid n!+1, не перевищує cp2/3cp^{2/3}, де cc — константа, яка не залежить від pp.
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-12-13-003

Многочлени з невід’ємними коефіцієнтами і подільність радикалів

Функцію rad⁡:N∪{0}→N\operatorname{rad} : \mathbb{N} \cup \{0\} \to \mathbb{N} визначено таким чином: rad⁡(0)=rad⁡(1)=1;\operatorname{rad}(0) = \operatorname{rad}(1) = 1; якщо n=p1α1p2α2⋅…⋅pkαkn = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{\alpha_k} — канонічний розклад натурального числа n⩾2n \geqslant 2 на прості множники, то rad⁡(n)=p1p2⋅…⋅pk\operatorname{rad}(n) = p_1 p_2 \cdot \ldots \cdot p_k. Знайдіть усі такі многочлени f(x)f(x) із цілими невід’ємними коефіцієнтами, що для довільного n∈Nn \in \mathbb{N} число rad⁡(f(nrad⁡(n)))\operatorname{rad}(f(n^{\operatorname{rad}(n)})) націло ділиться на rad⁡(f(n))\operatorname{rad}(f(n)).
10–11 класиМала теорема Ферма
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-07-08-012

Многочлен із біноміальними коефіцієнтами та дійсні корені

Довести, що для будь-яких натуральних m,nm, n многочлен ∑i=0mCn+in⋅xi\sum\limits_{i=0}^{m} C_{n+i}^{n} \cdot x^i має не більше одного дійсного кореня.
10–11 класиМетод математичної індукції
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-04-05-011

Многочлени P(x) з рівністю добутків значень

Знайдіть усі такі многочлени P(x)P(x) з дійсними коефіцієнтами, що P(x)P(2x2−1)=P(x2)P(2x−1)P(x)P\left(2x^2 - 1\right) = P\left(x^2\right)P(2x - 1) для всіх дійсних значень xx.
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-02-03-012

Многочлени P і Q із рівністю для всіх x

Знайдіть усі такі многочлени P(x)P(x) і Q(x)Q(x) з дійсними коефіцієнтами, що для всіх x∈Rx \in \mathbb{R} (x2+x+1)⋅P(x2−x+1)=(x2−x+1)⋅Q(x2+x+1).\left(x^2 + x + 1\right) \cdot P\left(x^2 - x + 1\right) = \left(x^2 - x + 1\right) \cdot Q\left(x^2 + x + 1\right).
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-01-02-009

Многочлен із цілими коефіцієнтами на множині цілих чисел

Нехай n≥3n \ge 3 — натуральне число, A={a1;a2;…;an}A = \{a_1; a_2; \ldots; a_n\} — множина з nn різних цілих чисел, mm — найменший елемент AA, MM — найбільший елемент AA. Припустимо, що існує многочлен із цілими коефіцієнтами P(x)P(x) такий, що m<P(a)≤Mm < P(a) \le M для всіх a∈Aa \in A та P(m)<P(a)P(m) < P(a) для всіх a∈A∖{m;M}a \in A \setminus \{m; M\}. Доведіть, що n≤5n \le 5 та існують цілі числа bb і cc такі, що кожний елемент AA задовольняє рівність P(x)+x2+bx+c=0P(x) + x^2 + bx + c = 0.
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-00-01-006

Раціональна комбінація двох коренів кубічного многочлена

Нехай P(x)P(x) — многочлен третього степеня з раціональними коефіцієнтами, який має три різні дійсні корені x1,x2,x3x_1, x_2, x_3. Відомо, що існують ненульові раціональні нерівні числа aa і bb такі, що ax1+bx2ax_1 + bx_2 — раціональне число. Доведіть, що числа x1,x2,x3x_1, x_2, x_3 раціональні.
10–11 класиТеорема Вієта
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2025-003

Найменший степінь многочлена для дерева і чисел

Зафіксуємо ціле число n⩾3n \geqslant 3. Знайдіть найменше додатне ціле число kk, яке задовольняє таку умову: для будь-якого дерева TT із вершинами v1,v2,…,vnv_1, v_2, \ldots, v_n і будь-яких попарно різних комплексних чисел a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n, існує многочлен P(X,Y)P(X, Y) з комплексними коефіцієнтами степеня, не більшими за kk, такий, що для всіх i≠ji \neq j, які задовольняють 1⩽i,j⩽n1 \leqslant i, j \leqslant n, виконується: P(zi,zj)=0P(z_i, z_j) = 0, тоді й тільки тоді, коли в TT є ребро, що з'єднує viv_i з vjv_j. Примітка. Наприклад, степінь многочлена 9X3Y4+XY5+X6−29X^3Y^4+XY^5+X^6-2 дорівнює 77, оскільки 7=3+47=3+4.
10–11 класиМногочлени багатьох змінних
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2024-001

Два початкові числа на дошці та всі цілі числа

На дошці написано два різних цілих числа uu та vv. Ми виконуємо послідовність кроків. На кожному кроці робимо одну з таких двох операцій: - якщо aa та bb — різні цілі числа, написані на дошці, то ми можемо дописати число a+ba + b, якщо його там ще немає; - якщо aa, bb та cc — три попарно різних цілих числа на дошці та ціле число xx є коренем рівняння ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0, то ми можемо дописати число xx, якщо його там ще немає. Знайдіть усі пари початкових чисел (u,v)(u, v), що для них будь-яке ціле число може бути написане на дошці після скінченної кількості кроків.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2024-006

Поліном степеня d з не більше ніж d значень

Знайдіть усі натуральні числа dd, для яких існує такий поліном PP степеня dd з дійсними коефіцієнтами, що серед чисел P(0),P(1),…,P(d2−d)P(0), P(1), \ldots, P(d^2-d) є не більше ніж dd різних.
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2024-006

Многочлени з коефіцієнтами 0 і 1 вільні від квадратів

Многочлен PP із цілими коефіцієнтами назвемо вільним від квадратів, якщо його не можна записати у вигляді P=Q2RP = Q^2 R, де QQ та RR є многочленами із цілими коефіцієнтами і QQ є неконстантним. Для натурального числа nn нехай UnU_n — це множина всіх многочленів вигляду 1+a1x+a2x2+…+anxn,1 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_n x^n, де a1,a2,…,an∈{0,1}a_1, a_2, \ldots, a_n \in \{0, 1\}. Доведіть, що існує ціле число NN таке, що для всіх цілих n⩾Nn \geqslant N більше ніж 99 %99\,\% многочленів у множині UnU_n є вільними від квадратів.
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2023-003

Найменший степінь многочлена для вершин правильного 2n-кутника

Нехай n⩾2n \geqslant 2 — натуральне число, а ff — многочлен з дійсними коефіцієнтами від 4n4n змінних. Припустимо, що для будь-яких 2n2n точок (x1,y1),…,(x2n,y2n)(x_1, y_1), \ldots, (x_{2n}, y_{2n}) на декартовій площині значення многочлена f(x1,y1,…,x2n,y2n)=0f(x_1, y_1, \ldots, x_{2n}, y_{2n}) = 0 тоді й тільки тоді, коли ці точки утворюють у деякому порядку вершини правильного 2n2n-кутника або всі збігаються. Знайдіть найменший можливий степінь многочлена ff. Примітка. Нагадаємо, що степінь многочлена дорівнює найбільшому зі степенів одночленів у його складі, тобто сумі показників степенів усіх змінних цього одночлена. Наприклад, степінь многочлена g(x,y)=4x3y4+yx+x−2g(x, y) = 4x^3y^4 + yx + x - 2 дорівнює 77, оскільки 7=3+47 = 3 + 4.
10–11 класиМногочлени багатьох змінних
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2021-011

Авроральні пари з цілочисельною сумою

Впорядковану пару (x,y)(x, y) дійсних чисел назвемо авроральною, якщо одночасно виконуються рівності x=y(3−y)2x = y(3 - y)^2 і y=x(3−x)2y = x(3 - x)^2. Знайдіть усі цілі числа kk, для яких існує авроральна пара (x,y)(x, y) дійсних чисел, для якої x+y=kx + y = k.
10–11 класиТригонометричні заміни2 розв’язки
Міжнародна Жаутиковська олімпіада (IZhO)IZHO-2021-006

Многочлени Q з умовою подільності P(Q) на P

Нехай PP — многочлен степеня n>0n > 0 з раціональними коефіцієнтами, який не можна подати у вигляді добутку двох многочленів з раціональними коефіцієнтами. Доведіть, що кількість многочленів QQ з раціональними коефіцієнтами, степені яких менші від nn, таких, що многочлен P(Q)P(Q) ділиться на многочлен PP: а) скінченна; б) не перевищує nn.
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Шорт-лист IMOIMOSL-2020-003

Відновлення многочлена за впорядкованими значеннями

Фокусниця збирається показати такий фокус. Вона оголошує глядачам натуральне число nn разом із 2n2n дійсними числами x1<…<x2nx_{1} < \ldots < x_{2n}. Далі один із глядачів таємно вибирає многочлен P(x)P(x) степеня nn із дійсними коефіцієнтами, обчислює 2n2n значень P(x1),…,P(x2n)P(x_{1}), \ldots, P(x_{2n}) і записує ці 2n2n значень на дошці в неспадному порядку. Після цього фокусниця оголошує глядачам таємний многочлен. Чи може фокусниця знайти стратегію, щоб виконати такий фокус?
10–11 класиЛінійні рівняння та системи
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2019-001

Многочлени четвертого степеня з властивістю незвідності

Чи існує многочлен f(x)f(x) четвертого степеня з цілими коефіцієнтами такий, що для будь-якого цілого kk многочлен f(x)+kf(x) + k або є незвідним, або має раціональний корінь?
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2019-002

Незвідність двочленів з одним сталим доданком

Знайдіть усі натуральні числа nn з такою властивістю: для будь-якого цілого числа kk многочлен xn+kx^n + k або незвідний, або має цілий корінь.
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Шорт-лист IMOIMOSL-2018-002

Многочлен, що збігається з цілою частиною суми

Нехай m,n⩾2m, n \geqslant 2 — цілі числа. Нехай f(x1,…,xn)f\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) — многочлен з дійсними коефіцієнтами такий, що f(x1,…,xn)=⌊x1+…+xnm⌋ для всіх x1,…,xn∈{0,1,…,m−1}.f\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=\left\lfloor\frac{x_{1}+\ldots+x_{n}}{m}\right\rfloor \text{ для всіх } x_{1}, \ldots, x_{n} \in\{0,1, \ldots, m-1\} . Доведіть, що повний степінь многочлена ff не менший за nn.
10–11 класиМногочлени багатьох змінних
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2018-002

Два непостійні многочлени з рівністю виразів

Чи існують два непостійних многочлени P(x)P(x) і Q(x)Q(x) з дійсними коефіцієнтами такі, що P(x)10+P(x)9=Q(x)21+Q(x)20?P(x)^{10} + P(x)^9 = Q(x)^{21} + Q(x)^{20}?
10–11 класиДілення многочленів з остачею
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2016-007

Система кубічних рівнянь із чотирма змінними

Знайдіть усі четвірки (a,b,c,d)(a, b, c, d) дійсних чисел, які одночасно задовольняють такі рівняння: {a3+c3=2a2b+c2d=0b3+d3=1ab2+cd2=−6.\begin{cases} a^3 + c^3 = 2 \\ a^2b + c^2d = 0 \\ b^3 + d^3 = 1 \\ ab^2 + cd^2 = -6. \end{cases}
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.