Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

157 задач
АлгебраЛінійні рекурентні послідовності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-066

Ітерації квадратичної функції за модулем 89

Нехай f(x)=x2−2f(x) = x^{2} - 2, а fnf^{n} позначає функцію ff, застосовану nn разів. Обчисліть остачу від ділення f24(18)f^{24}(18) на 8989.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-069

Стрибки жаби повз випадкових змій

Розглянемо числову пряму, на кожній цілій точці якої розташоване латаття. Жаба стоїть на лататті в точці 00 і хоче дістатися до латаття в точці 20142014. Якщо жаба стоїть у точці nn, вона може безпосередньо стрибнути або в точку n+2n+2, або в точку n+3n+3. Кожен з листків латаття в точках 1,⋯ ,20131, \cdots, 2013 незалежно з імовірністю 1/21 / 2 містить змію. Нехай pp — імовірність того, що жаба зможе деякою послідовністю стрибків дістатися до латаття в точці 20142014, жодного разу не приземлившись на латаття зі змією. Чому дорівнює p1/2014p^{1 / 2014}? Відповідь запишіть десятковим числом. Якщо CC — справжня відповідь на це запитання, а AA — ваша відповідь, то ваш бал за цю задачу становить ⌈max⁡{25(1−20∣C−A∣),0}⌉\lceil\max \{25(1-20|C-A|), 0\}\rceil.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-054

Степені з цілими сумами

1) Нехай aa і bb — два дійсні числа такі, що an+bna^{n}+b^{n} є цілим числом при n=1,2,3,4n=1,2,3,4. Доведіть, що an+bna^{n}+b^{n} є цілим числом для всіх n∈N∗n \in \mathbb{N}^{*}. 2) Чи правда, що якщо aa і bb — два дійсні числа такі, що an+bna^{n}+b^{n} є цілим числом при n=1,2,3n=1,2,3, то an+bna^{n}+b^{n} є цілим числом для всіх n∈N∗n \in \mathbb{N}^{*}?
9–11 класиЕлементарні симетричні многочлени
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-007

Екстремальні значення вкладеного мін-максу

Нехай n>0n>0 — натуральне число, а x1,⋯ ,xnx_{1}, \cdots, x_{n} — додатні дійсні числа. Доведіть, що: max⁡x1>0,⋯ ,xn>0min⁡(x1,1x1+x2,⋯ ,1xn−1+xn,1xn)=min⁡x1>0,⋯ ,xn>0max⁡(x1,1x1+x2,⋯ ,1xn−1+xn,1xn)=2cos⁡(πn+2).\begin{gathered} \max _{x_{1}>0, \cdots, x_{n}>0} \min \left(x_{1}, \frac{1}{x_{1}}+x_{2}, \cdots, \frac{1}{x_{n-1}}+x_{n}, \frac{1}{x_{n}}\right)= \\ \min _{x_{1}>0, \cdots, x_{n}>0} \max \left(x_{1}, \frac{1}{x_{1}}+x_{2}, \cdots, \frac{1}{x_{n-1}}+x_{n}, \frac{1}{x_{n}}\right)=2 \cos \left(\frac{\pi}{n+2}\right) . \end{gathered}
8–10 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-107

Випадкове блукання по вершинах шестикутника

На периметрі правильного шестикутника перебувають 2 бігуни, спочатку в сусідніх вершинах. Щосекунди кожен з бігунів незалежно переміщується або на одну вершину вліво з ймовірністю 12\frac{1}{2}, або на одну вершину вправо, також з ймовірністю 12\frac{1}{2}. Знайдіть ймовірність того, що після 2013-секундного забігу (під час якого кожен з бігунів змінює вершину 2013 разів) бігуни знову опиняться в сусідніх вершинах.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2013-011

Обмеження на відношення добутків членів послідовності

Нехай a1,a2,…a_1, a_2, \dots — нескінченна послідовність різних ненульових дійсних чисел, для якої ai+1ai+ai+1ai+2\frac{a_{i+1}}{a_i} + \frac{a_{i+1}}{a_{i+2}} набуває одного й того самого значення, що лежить між 0 і 2, для кожного i≥1i \ge 1. Виразіть через a1,a2,a3a_1, a_2, a_3 найменше число cc, яке задовольняє таку умову: Умова: для будь-якої пари натуральних чисел x,yx, y з x<yx < y, axax+1+ax+1ax+2+⋯+ay−1ayaxay≤cвиконується.\frac{a_x a_{x+1} + a_{x+1} a_{x+2} + \dots + a_{y-1} a_y}{a_x a_y} \le c \quad \text{виконується.}
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-025

Випадкове блукання на торичній шаховій дошці

ФемтоПравіс гуляє шаховою дошкою 8×88 \times 8, яка загортається по краях (тобто клітинки лівого краю дошки суміжні з клітинками правого краю, і так само для верхнього та нижнього країв). Кожну фемтосекунду ФемтоПравіс переміщується в одному з чотирьох діагональних напрямів рівноймовірно навмання. Через 2012 фемтосекунд яка ймовірність того, що ФемтоПравіс перебуває на своїй початковій клітинці?
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-135

Невласний інтеграл від степеня логарифма

Обчисліть ∫1∞(ln⁡xx)2011dx.\int_{1}^{\infty}\left(\frac{\ln x}{x}\right)^{2011} dx.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-026

Ймовірність у грі з монетою з фібоначчієвими вагами

Розенкранц і Гільденстерн грають у гру, в якій вони неодноразово підкидають чесну монету. Нехай a1=4a_{1}=4, a2=3a_{2}=3, а an=an−1+an−2a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2} для всіх n≥3n \geq 3. На nn-му підкиданні, якщо випадає герб, Розенкранц платить Гільденстерну ana_{n} доларів, а якщо випадає решка, Гільденстерн платить Розенкранцу ana_{n} доларів. Якщо гра триває 2010 ходів, яка ймовірність того, що Розенкранц у підсумку матиме більше грошей, ніж на початку?
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-054

Відношення кількості ґратчастих шляхів у смузі

Нехай nn — ціле число, більше за 33. Нехай RR — множина точок цілочисельної решітки (x,y)(x, y) таких, що 0≤x,y≤n0 \leq x, y \leq n і ∣x−y∣≤3|x-y| \leq 3. Нехай AnA_{n} — кількість шляхів з (0,0)(0,0) до (n,n)(n, n), які складаються лише з кроків вигляду (x,y)→(x,y+1)(x, y) \rightarrow (x, y+1) і (x,y)→(x+1,y)(x, y) \rightarrow (x+1, y) та повністю містяться в RR. Знайдіть найменше додатне дійсне число, більше за An+1An\frac{A_{n+1}}{A_{n}} для всіх nn.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-061

Розфарбування вершин парного многокутника

Скількома способами можна розфарбувати вершини 2n2n-кутника у три кольори так, щоб жодна вершина не мала того самого кольору, що й будь-яка з двох її сусідок або вершина, діаметрально протилежна їй?
10–11 класиШляхи на графах
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-065

Підрахунок лінійних рекурентних послідовностей за модулем простого числа

Нехай pp — просте натуральне число. Рекурентною за модулем pp послідовністю степеня nn назвемо послідовність {ak}k≥0\{a_k\}_{k \geq 0} чисел за модулем pp, що задовольняє співвідношення вигляду ai+n=cn−1ai+n−1+…+c1ai+1+c0aia_{i+n} = c_{n-1} a_{i+n-1} + \ldots + c_1 a_{i+1} + c_0 a_i для всіх i≥0i \geq 0, де c0,c1,…,cn−1c_0, c_1, \ldots, c_{n-1} — цілі числа і c0≢0(modp)c_0 \not\equiv 0 \pmod{p}. Обчисліть кількість різних лінійних рекурентних послідовностей степеня не більше nn через pp і nn.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2010-151

Четверта похідна з диференціального співвідношення

Нехай ff — функція така, що f(0)=1f(0)=1, f′(0)=2f'(0)=2, і f′′(t)=4f′(t)−3f(t)+1f''(t)=4 f'(t)-3 f(t)+1 для всіх tt. Обчисліть значення 4-ї похідної функції ff у точці 00.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2010-128

Нулі послідовності зваженої суми

Нехай S0=0S_{0}=0, а SkS_{k} дорівнює a1+2a2+…+kaka_{1}+2 a_{2}+\ldots+k a_{k} для k≥1k \geq 1. Означимо aia_{i} рівним 1, якщо Si−1<iS_{i-1}<i, і рівним -1, якщо Si−1≥iS_{i-1} \geq i. Знайдіть найбільше k≤2010k \leq 2010, для якого Sk=0S_{k}=0?
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2010-082

Зважені суми послідовності, що сягають нуля

Нехай S0=0S_{0}=0 і нехай SkS_{k} дорівнює a1+2a2+…+kaka_{1}+2 a_{2}+\ldots+k a_{k} при k≥1k \geq 1. Визначимо aia_{i} як 1, якщо Si−1<iS_{i-1}<i, і -1, якщо Si−1≥iS_{i-1} \geq i. Яке найбільше k≤2010k \leq 2010, для якого Sk=0S_{k}=0?
10–11 класиМетод математичної індукції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2010-044

Лінійна рекурента з експоненційною межею

Нехай a1,a2,…a_{1}, a_{2}, \ldots — нескінченна послідовність натуральних чисел така, що для цілих n>2n > 2 виконується an=3an−1−2an−2a_{n} = 3 a_{n-1} - 2 a_{n-2}. Скільки існує таких послідовностей {an}\{a_{n}\}, для яких a2010≤22012a_{2010} \leq 2^{2012}?
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2010-046

Сума коренів у послідовності многочленів

Визначимо послідовність многочленів так: нехай a1=3x2−xa_{1}=3 x^{2}-x, нехай a2=3x2−7x+3a_{2}=3 x^{2}-7 x+3, а для n≥1n \geq 1 нехай an+2=52an+1−ana_{n+2}=\frac{5}{2} a_{n+1}-a_{n}. Коли nn прямує до нескінченності, чому дорівнює границя суми коренів многочлена ana_{n}?
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2009-086

Сума ряду з числами Фібоначчі

Нехай FnF_{n} — послідовність Фібоначчі, тобто F0=0F_{0}=0, F1=1F_{1}=1 і Fn+2=Fn+1+FnF_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}. Обчисліть ∑n=0∞Fn/10n\sum_{n=0}^{\infty} F_{n} / 10^{n}.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2009-124

Вираз із п'ятими степенями за значеннями попередніх

Якщо aa, bb, xx і yy — дійсні числа такі, що ax+by=3a x + b y = 3, ax2+by2=7a x^{2} + b y^{2} = 7, ax3+by3=16a x^{3} + b y^{3} = 16 і ax4+by4=42a x^{4} + b y^{4} = 42, знайдіть ax5+by5a x^{5} + b y^{5}.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2009-001

Очікувана кількість дверей у циклічних кімнатах

Маріо проходить послідовністю з 6 однакових на вигляд кімнат, починаючи з першої. У кожній кімнаті є 4 двері: 1 двері ведуть до наступної кімнати в послідовності (або, з останньої кімнати, — на рівень Боузера), а інші 3 двері ведуть до першої кімнати. Щоразу Маріо вибирає одні з 4 дверей кімнати навмання, рівноймовірно й незалежно від попередніх виборів. Яким є математичне сподівання кількості дверей, через які пройде Маріо, перш ніж він дістанеться рівня Боузера?
10–11 класиГеометрична прогресія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2009-051

Зважена сума рекурентної послідовності

Нехай послідовність {xi}i≥0\{x_{i}\}_{i \geq 0} задано умовами x0=2009x_{0}=2009 і xn=−2009n∑k=0n−1xkx_{n}=-\frac{2009}{n} \sum_{k=0}^{n-1} x_{k} для всіх n≥1n \geq 1. Обчисліть значення ∑n=020092nxn\sum_{n=0}^{2009} 2^{n} x_{n}.
10–11 класиФормула біном Ньютона
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2008-013

Спалювання села з періодичною появою селян

Дракон Тродгор спалює село, що складається з 90 хатин. У момент часу t=0t=0 з кожної хатини з'являється розлючений селянин, а далі кожні 8 хвилин (480 секунд) з кожної неспаленої хатини спонтанно виникає ще один розлючений селянин. Тродгор витрачає 5 секунд, щоб спалити або селянина, або хатину, але він не може почати палити хатини, доки не спалить усіх селян довкола нього. За скільки секунд Тродгор спалить усе село?
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2007-073

Рекурентне співвідношення з дійсними початковими членами

Нескінченна послідовність додатних дійсних чисел задана умовами a0=1a_{0}=1 і an+2=6an−an+1a_{n+2}=6 a_{n}-a_{n+1} для n=0,1,2,⋯n=0,1,2, \cdots. Знайдіть усі можливі значення a2007a_{2007}.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2007-027

Вкладені радикали з рекурентної послідовності

Послідовність {an}n≥1\{a_{n}\}_{n \geq 1} додатних дійсних чисел визначено правилом an+1an−15=an4an−22a_{n+1} a_{n-1}^{5} = a_{n}^{4} a_{n-2}^{2} для цілих чисел n>2n > 2 разом з початковими значеннями a1=8a_{1} = 8, a2=64a_{2} = 64 і a3=1024a_{3} = 1024. Обчисліть a1+a2+a3+⋯\sqrt{a_{1} + \sqrt{a_{2} + \sqrt{a_{3} + \cdots}}}
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2006-077

Нескінченна сума чисел Фібоначчі

Нехай a1,a2,…a_{1}, a_{2}, \ldots — послідовність, задана рівностями a1=a2=1a_{1}=a_{2}=1 і an+2=an+1+ana_{n+2}=a_{n+1}+a_{n} для n≥1n \geq 1. Знайдіть ∑n=1∞an4n+1\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{4^{n+1}}
10–11 класиСуми послідовностей

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.