Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

187 задач
Теорія чиселМетоди поглибленого рівня (теорія чисел)
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2022-014

Показникове діофантове рівняння з добутком змінних

Знайдіть усі пари натуральних чисел (x,y)(x, y), які задовольняють 3x−8y=2xy+13^x - 8^y = 2xy + 1.
10–11 класиЛема про підняття показника (LTE-…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2021-018

Гра з простим числом і перетвореннями цілих чисел

П'єр і Клара грають у таку гру. Спочатку Клара вибирає ціле число cc. Потім П'єр вибирає просте число p⩾cp \geqslant c і записує на дошці два цілі числа aa і bb. Після цього Клара може виконувати такі операції: вона вибирає одне з двох чисел, записаних на дошці, скажімо nn, витирає його і записує замість нього інше ціле число, скажімо mm, таке, що pp ділить (n2−m+1)(m2−n+1)\left(n^{2}-m+1\right)\left(m^{2}-n+1\right). Клара виграє, якщо за скінченну кількість таких операцій їй вдається зробити так, щоб два цілі числа, записані на дошці, стали однаковими. Інакше вона програє, і виграє П'єр. Доведіть, що П'єр може завадити Кларі виграти.
10–11 класиТеорема Евкліда про нескінченніст…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-029

Подільність тричлена і сума за дільниками

Нехай NN — найменше натуральне число, для якого x2+x+1ділить166−∑d∣N,d>0xdx^{2}+x+1 \quad \text{ділить} \quad 166-\sum_{d \mid N, d>0} x^{d} Знайдіть остачу від ділення NN на 10001000.
10–11 класиМногочлени ділення кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-051

Корені суми на одиничному колі

Обчисліть кількість комплексних чисел zz, для яких ∣z∣=1|z|=1 і виконується рівність 1+z5+z10+z15+z18+z21+z24+z27=01+z^{5}+z^{10}+z^{15}+z^{18}+z^{21}+z^{24}+z^{27}=0
10–11 класиМногочлени ділення кола
Відбіркові тести на IMOTST-2021-010

Острови, мости та умова подільності

Для кожного простого pp десь у мультивсесвіті існує королівство, що складається з pp островів, пронумерованих від 11 до pp, з мостом між будь-якою парою з них. Коли Яна відвідує королівство, через коронавірусні обмеження вона мусить дотримуватися такого правила: безпосередньо після відвідування острова mm вона може перейти лише на острів nn, якщо p∣(m2−n+1)(n2−m+1)p \mid (m^{2}-n+1)(n^{2}-m+1) Доведіть, що існує нескінченно багато королівств таких, що Яна не може в такий спосіб дістатися до кожного острова.
10–11 класиЗв’язність
Відбіркові тести на IMOTST-2021-024

Факторіали, що діляться на квадрат плюс один

Доведіть, що існує нескінченно багато натуральних чисел nn таких, що n2+1∣n!n^{2}+1 \mid n!
10–11 класиМетод факторизації (розкладання н…2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-004

Сума чисел Каталана за модулем непарного простого числа

Нехай Ck=1k+1(2kk)C_{k} = \frac{1}{k+1} \binom{2k}{k} позначає kтеk^{\text{те}} число Каталана, а pp — непарне просте число. Доведіть, що рівно половина чисел множини {∑k=1p−1Cknk∣n∈{1,2,…,p−1}}\left\{\sum_{k=1}^{p-1} C_{k} n^{k} \mid n \in \{1,2, \ldots, p-1\}\right\} ділиться на pp.
10–11 класиКвадратичні лишки і символ Лежанд…3 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-102

Просте менше число як квадратичний лишок

Нехай p>5p > 5 — просте число. Доведіть, що існує просте число q<pq < p і натуральне число nn такі, що pp ділить n2−qn^{2} - q.
10–11 класиКвадратичні лишки і символ Лежанд…2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-125

Щасливі многочлени над полем з 101 елемента

Означимо F101[x]\mathbb{F}_{101}[x] як множину всіх многочленів від xx з коефіцієнтами з F101\mathbb{F}_{101} (цілих чисел за модулем 101101 зі звичайними додаванням і відніманням), так що два многочлени рівні тоді й лише тоді, коли коефіцієнти при xkx^{k} рівні в F101\mathbb{F}_{101} для кожного невід'ємного цілого числа kk. Наприклад, (x+3)(100x+5)=100x2+2x+15(x+3)(100 x+5)=100 x^{2}+2 x+15 в F101[x]\mathbb{F}_{101}[x], оскільки відповідні коефіцієнти рівні за модулем 101101. Скажімо, що f(x)∈F101[x]f(x) \in \mathbb{F}_{101}[x] є щасливим, якщо його степінь не перевищує 10001000 і існують g(x),h(x)∈F101[x]g(x), h(x) \in \mathbb{F}_{101}[x] такі, що f(x)=g(x)(x1001−1)+h(x)101−h(x)f(x)=g(x)\left(x^{1001}-1\right)+h(x)^{101}-h(x) в F101[x]\mathbb{F}_{101}[x]. Знайдіть кількість щасливих многочленів.
10–11 класиМногочлени ділення кола2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-049

Мінімальна множина для степеневих лишків за модулем 100

Нехай AA — множина цілих чисел така, що для кожного цілого числа mm існує ціле число a∈Aa \in A і натуральне число nn такі, що an≡m(mod100)a^{n} \equiv m \pmod{100}. Яке найменше можливе значення ∣A∣|A|?
10–11 класиКитайська теорема про остачі
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-071

Сума квадратів найменших квадратичних нелишків

Для непарних простих чисел pp нехай f(p)f(p) позначає найменше натуральне число aa, для якого не існує цілого числа nn, такого, що p∣n2−ap \mid n^{2}-a. Оцініть NN, суму f(p)2f(p)^{2} за першими 10510^{5} непарними простими числами pp. Оцінка E>0E>0 отримає ⌊22min⁡(N/E,E/N)3⌋\left\lfloor 22 \min (N / E, E / N)^{3}\right\rfloor балів. (Задачу запропонував Майкл Рен.)
10–11 класиКвадратичні лишки і символ Лежанд…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-016

Факторіал як різниця степенів

Нехай uu — натуральне число. Доведіть, що існує лише скінченна кількість трійок невід'ємних цілих чисел (a,b,n)(a, b, n) таких, що n!=ua−ubn! = u^{a} - u^{b}. Зауваження: нагадаємо, що 0!=1!=10! = 1! = 1.
10–11 класиПорядок (показник) числа за модул…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-130

Нескінченна сума відношень членів цілочисельної послідовності

Послідовність цілих чисел {ai}i=0∞\{a_{i}\}_{i=0}^{\infty} задовольняє a0=3a_{0}=3, a1=4a_{1}=4 та an+2=an+1an+⌈an+12−1an2−1⌉a_{n+2}=a_{n+1} a_{n}+\left\lceil\sqrt{a_{n+1}^{2}-1} \sqrt{a_{n}^{2}-1}\right\rceil при n≥0n \geq 0. Обчисліть суму ∑n=0∞(an+3an+2−an+2an+an+1an+3−anan+1).\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{a_{n+3}}{a_{n+2}}-\frac{a_{n+2}}{a_{n}}+\frac{a_{n+1}}{a_{n+3}}-\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right) .
10–11 класиСтрибки Вієта
Відбіркові тести на IMOTST-2019-033

Сума з верхньою цілою частиною не є квадратом

Нехай mm і nn — два натуральні числа. Доведіть, що ціле число m2+⌈4m2n⌉m^{2} + \left\lceil \frac{4 m^{2}}{n} \right\rceil не є квадратом. (При цьому ⌈x⌉\lceil x \rceil позначає найменше ціле число, яке не менше за xx.)
10–11 класиМетод нескінченного спуску
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-010

Подільність на квадрат простого в коротких інтервалах

Нехай p⩾5p \geqslant 5 — просте число. Доведіть, що існує таке ціле число nn, що для всіх x∈{n−1,n,n+1}x \in \{n-1, n, n+1\} виконується p2∤xp−1−1p^{2} \nmid x^{p-1}-1 і p∤xp \nmid x.
10–11 класиПервісні корені
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-112

Степені первісних коренів 101-го степеня з одиниці

Нехай ω1,ω2,…,ω100\omega_{1}, \omega_{2}, \ldots, \omega_{100} — корені многочлена x101−1x−1\frac{x^{101}-1}{x-1} (у деякому порядку). Розглянемо множину S={ω11,ω22,ω33,…,ω100100}S=\left\{\omega_{1}^{1}, \omega_{2}^{2}, \omega_{3}^{3}, \ldots, \omega_{100}^{100}\right\} Нехай MM — найбільша можлива кількість різних значень у множині SS, а NN — найменша можлива кількість різних значень у множині SS. Знайдіть M−NM-N.
10–11 класиПервісні корені
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-117

Подільність многочлена від випадкової 6-елементної підмножини

Нехай SS — випадково вибрана 6-елементна підмножина множини {0,1,2,…,n}\{0,1,2, \ldots, n\}. Розглянемо многочлен P(x)=∑i∈SxiP(x) = \sum_{i \in S} x^{i}. Нехай XnX_{n} — ймовірність того, що P(x)P(x) ділиться на деякий несталий многочлен Q(x)Q(x) степеня не більше 3 з цілими коефіцієнтами, який задовольняє Q(0)≠0Q(0) \neq 0. Знайдіть границю XnX_{n} при nn, що прямує до нескінченності.
10–11 класиМногочлени ділення кола
Відбіркові тести на IMOTST-2018-018

Розбиття чисел до квадрата з відношенням сум

Нехай nn — парне натуральне число. Розіб'ємо числа 1,2,…,n21,2, \ldots, n^{2} на дві множини AA і BB однакового розміру так, щоб кожне з n2n^{2} чисел належало рівно одній з цих двох множин. Нехай SAS_{A} і SBS_{B} — суми всіх елементів у множинах AA і BB відповідно. Визначте всі nn, для яких існує таке розбиття, що SASB=3964\frac{S_{A}}{S_{B}}=\frac{39}{64}
10–11 класиТеорема Ферма-Ейлера про суму дво…2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2018-033

Цілі корені квадратного тричлена з послідовними коефіцієнтами

Для цілого числа n>0n > 0 позначимо через F(n)\mathcal{F}(n) множину цілих чисел m>0m > 0, для яких многочлен p(x)=x2+mx+np(x) = x^2 + mx + n має цілий корінь. a. Нехай SS — множина цілих чисел n>0n > 0, для яких F(n)\mathcal{F}(n) містить два послідовні цілі числа. Доведіть, що SS нескінченна, але ∑n∈S1n≤1.\sum_{n \in S} \frac{1}{n} \le 1. b. Доведіть, що існує нескінченно багато натуральних чисел nn, для яких F(n)\mathcal{F}(n) містить три послідовні цілі числа.
10–11 класиМетод факторизації (розкладання н…
Відбіркові тести на IMOTST-2018-037

Квадрати n², що ділять bⁿ + 1

Для яких натуральних чисел b>2b > 2 існує нескінченно багато натуральних чисел nn таких, що n2n^2 ділить bn+1b^n + 1? Ця задача є своєрідним об'єднанням задач IMO 1990/3 та IMO 2000/5.
10–11 класиПорядок (показник) числа за модул…
Французька математична олімпіадаFRMO-2017-064

Степені двійки з багатьма дев'ятками в кінці

Доведіть, що існує ціле число n>0n>0 таке, що серед 2016 правих цифр у десятковому записі числа 2n2^{n} є принаймні 1008 цифр 9.
9–11 класиЛема про підняття показника (LTE-…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-049

Ціле відношення із симетричною сумою

Розглянемо всі впорядковані пари цілих чисел (a,b)(a, b), для яких 1≤a≤b≤1001 \leq a \leq b \leq 100 і (a+b)(a+b+1)ab\frac{(a+b)(a+b+1)}{a b} є цілим числом. Серед цих пар знайдіть ту, у якій значення bb найбільше. Якщо кілька пар мають це найбільше значення bb, оберіть ту, у якій найбільше значення aa. Наприклад, оберіть (3,85)(3,85), а не (2,85)(2,85) і не (4,84)(4,84). Зауважте, що відповідь має бути впорядкованою парою.
10–11 класиСтрибки Вієта
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-050

Період чисел Фібоначчі за модулем 127

Послідовність Фібоначчі визначається так: F0=0F_{0}=0, F1=1F_{1}=1 і Fn=Fn−1+Fn−2F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2} для всіх цілих чисел n≥2n \geq 2. Знайдіть найменше натуральне число mm таке, що Fm≡0(mod127)F_{m} \equiv 0 \pmod{127} і Fm+1≡1(mod127)F_{m+1} \equiv 1 \pmod{127}.
10–11 класиЧисла Фібоначі
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-040

Добре центровані підмногокутники та прості дільники

Нехай nn — непарне натуральне число, більше за 22, і розглянемо правильний nn-кутник G\mathcal{G} на площині з центром у початку координат. Підмногокутником G′\mathcal{G}' назвемо многокутник щонайменше з 33 вершинами, множина вершин якого є підмножиною множини вершин G\mathcal{G}. Скажімо, що G′\mathcal{G}' добре центрований, якщо його центроїд збігається з початком координат. Також скажімо, що G′\mathcal{G}' розкладний, якщо його множину вершин можна записати як диз'юнктне об'єднання правильних многокутників щонайменше з 33 вершинами. Доведіть, що всі добре центровані підмногокутники розкладні тоді й лише тоді, коли nn має не більше двох різних простих дільників.
10–11 класиМногочлени ділення кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-051

Періодична функція з квадратичною конгруенцією

Нехай N\mathbb{N} позначає натуральні числа. Обчисліть кількість функцій f:N→{0,1,…,16}f: \mathbb{N} \rightarrow \{0,1, \ldots, 16\} таких, що f(x+17)=f(x)іf(x2)≡f(x)2+15(mod17)f(x+17)=f(x) \quad \text{і} \quad f\left(x^{2}\right) \equiv f(x)^{2}+15 \pmod{17} для всіх цілих x≥1x \geq 1.
10–11 класиРекурентний підрахунок

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.