Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

217 задач
АлгебраНерівність Коші-Буняковського
Київська математична карусельKMC-07-08-042

Найбільше x+2y+4z при x²+3y²+z²=1

Числа x,y,zx, y, z такі, що x2+3y2+z2=1x^2 + 3y^2 + z^2 = 1. Якого найбільшого значення може набувати вираз x+2y+4zx + 2y + 4z?
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-07-08-067

Нерівність для додатних чисел із сумою один

Нехай сума додатних чисел x1x_1, x2x_2,..., xnx_n дорівнює одиниці. Доведіть нерівність: 1x1x22+1x2x32+…+1xn−1xn2+1xnx12≥(1x1+1x2+…+1xn)(1x1x2+1x2x3+…+1xn−1xn+1xnx1).\frac{1}{x_1x_2^2} + \frac{1}{x_2x_3^2} + \ldots + \frac{1}{x_{n-1}x_n^2} + \frac{1}{x_nx_1^2} \ge \left(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \ldots + \frac{1}{x_n}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{x_1x_2}} + \frac{1}{\sqrt{x_2x_3}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{x_{n-1}x_n}} + \frac{1}{\sqrt{x_nx_1}}\right).
8–9 класиНерівність Коші-Буняковського
Київський турнір математичних боївKMB-06-07-018

Сума дробів з натуральними знаменниками і параметром

a1<a2<…<ana_1 < a_2 < \ldots < a_n – натуральні числа, такі що ∑i=1n1ai≤1\sum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{1}{a_i} \le 1. Доведіть, що (∑i=1n1ai2+x2)2≤12a12−2a1+2x2\left(\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_i^2+x^2}\right)^2 \le \frac{1}{2a_1^2 - 2a_1 + 2x^2} для усіх дійсних xx.
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Київський турнір математичних боївKMB-06-07-030

Нерівність для п'яти додатних чисел з добутком один

Для додатних чисел a,b,c,d,ea,b,c,d,e таких, що abcde=1abcde=1, довести нерівність: a+abc1+ab+abcd+b+bcd1+bc+bcde+c+cde1+cd+cdea+d+dea1+de+deab+e+eab1+ea+eabc≥103.\frac{a+abc}{1+ab+abcd}+\frac{b+bcd}{1+bc+bcde}+\frac{c+cde}{1+cd+cdea}+\frac{d+dea}{1+de+deab}+\frac{e+eab}{1+ea+eabc}\ge\frac{10}{3}.
8–9 класиНерівність Коші-Буняковського
Київський турнір математичних боївKMB-06-07-024

Нерівність із квадратними коренями для чисел a, b, c

Довести нерівність: a−1+b−1+c−1≤23abc\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-1} \le \dfrac{2}{\sqrt{3}}\sqrt{abc}, де a,b,c≥1a,b,c \ge 1.
10–11 класиЗаміни в виразах з радікалами
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-09-10-013

Нерівність для додатних чисел із сумою 1

Для додатних чисел aa, bb, cc, таких, що a+b+c=1a + b + c = 1, доведіть нерівністьa2b2c3(a2−ab+b2)+b2c2a3(b2−bc+c2)+c2a2b3(c2−ca+a2)⩾3ab+bc+ca.\frac{a^2b^2}{c^3(a^2-ab+b^2)} + \frac{b^2c^2}{a^3(b^2-bc+c^2)} + \frac{c^2a^2}{b^3(c^2-ca+a^2)} \geqslant \frac{3}{ab+bc+ca}.
Нерівність Коші-Буняковського
Тематичні олімпіади з математикиTMO-20-21-080

Максимальна сума b при двох варіантах переходу

Нехай a0,a1,a2,…,a100a_0, a_1, a_2, \ldots, a_{100} і b1,b2,…,b100b_1, b_2, \ldots, b_{100} — дві послідовності дійсних чисел. Для всіх n=0,99‾n=\overline{0,99} справджуються умови: an+1=12an,bn+1=12−anабоan+1=2an2, bn+1=an.a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n,\quad b_{n+1}=\frac{1}{2}-a_n \quad \text{або} \quad a_{n+1}=2a_n^2,\ b_{n+1}=a_n. Для різних nn можуть виконуватися неоднакові умови, наприклад, для n=1n = 1 може виконуватися умова an+1=12ana_{n+1}=\frac{1}{2}a_n, bn+1=12−anb_{n+1}=\frac{1}{2}-a_n, а для n=2n = 2 може виконуватися умова an+1=2an2a_{n+1}=2a_n^2, bn+1=anb_{n+1}=a_n. Відомо, що a100⩽a0a_{100}\leqslant a_0. Якого максимального значення може набувати сума b1+b2+…+b100b_1+b_2+\ldots+b_{100}?
11 класНерівність Коші-Буняковського
Тематичні олімпіади з математикиTMO-17-18-022

Нерівність для суми дробів при сумі квадратів

Нехай n⩾2n \geqslant 2 — натуральне число. Доведіть, що коли дійсні числа a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n задовольняють умову a12+a22+…+an2=na_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_n^2 = n, то справджується нерівність ∑1⩽i<j⩽n1n−aiaj⩽n2.\sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n} \frac{1}{n - a_i a_j} \leqslant \frac{n}{2}.
10 класНерівність Коші-Буняковського
Тематичні олімпіади з математикиTMO-15-16-004

Нерівність для додатних чисел з умовою на суму

Для додатних чисел xx, yy, zz таких, що x+y+z⩾3x+y+z\geqslant 3, доведіть нерівність 1x+y+z2+1x+y2+z+1x2+y+z⩽1.\frac{1}{x+y+z^2}+\frac{1}{x+y^2+z}+\frac{1}{x^2+y+z}\leqslant 1. Для яких значень змінних можлива рівність?
9 класНерівність Коші-Буняковського
Відкрита олімпіада Рішельєвського ліцеюRLMO-2004-020

Нерівність із сумою дробів для чисел з [1; 2]

Доведіть, що якщо x,y,z∈[1;2]x, y, z \in \left[1;2\right], то справджується нерівність x2yz+2+y2xz+2+z2xy+2≥x+y+z3.\dfrac{x^2}{yz+2} + \dfrac{y^2}{xz+2} + \dfrac{z^2}{xy+2} \ge \dfrac{x+y+z}{3}.
Нерівність Коші-Буняковського
Відкрита олімпіада Рішельєвського ліцеюRLMO-2001-017

Чотири числа з сумами 1 і квадратів, число 1/2

Чи може серед чотирьох невід'ємних чисел, сума котрих дорівнює 11, а сума квадратів не перевищує 13\frac{1}{3}, міститися принаймні одне число, більше від 12\frac{1}{2}?
Нерівність Коші-Буняковського
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-21-22-008

Сума площ чотирикутників з розбиття точок квадрата

Нехай nn — це деяке натуральне число, та нехай SS позначає множину точок на декартовій площині, у яких обидві координати невід’ємні, цілі та менші від 2n2n, тобто ∣S∣=4n2|S| = 4n^2. Нехай FF — це множина, що складається з n2n^2 чотирикутників, у яких вершини є точками з множини SS; більш того, кожна точка множини SS є вершиною рівно одного з тих чотирикутників. Доведіть, що найбільша можлива сума площ усіх чотирикутників із множини FF дорівнює значенню виразу 13n2(2n+1)(2n−1)\frac{1}{3}n^2(2n+1)(2n-1).
10–11 класиПлоща чотирикутника
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-14-15-005

Числа з рівністю сум і вибір k чисел

Задано натуральне число nn і додатні дійсні числа x1x_1, x2x_2, …\ldots, xnx_n такі, що x1+x2+…+xn=1x12+1x22+…+1xn2.x_1 + x_2 + \ldots + x_n = \frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} + \ldots + \frac{1}{x_n^2}. Доведіть, що для кожного натурального k⩽nk \leqslant n із чисел x1x_1, x2x_2, …\ldots, xnx_n можна вибрати kk чисел із сумою, не меншою за kk.
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-13-14-001

Сума коренів з умовою ab+bc+ca=1

Для довільних додатних aa, bb, cc таких, що ab+bc+ca=1ab+bc+ca=1, доведіть нерівність a2+b2+1c2+b2+c2+1a2+c2+a2+1b2⩾33.\sqrt{a^2+b^2+\frac{1}{c^2}}+\sqrt{b^2+c^2+\frac{1}{a^2}}+\sqrt{c^2+a^2+\frac{1}{b^2}}\geqslant\sqrt{33}.
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-13-14-002

Максимальне значення суми дробів при добутку один

Для додатних чисел x1,x2,…,xnx_1, x_2, \ldots, x_n, добуток яких дорівнює 11, позначимо через S=x13+x23+…+xn3S = x_1^3 + x_2^3 + \ldots + x_n^3. Знайдіть максимальне значення виразу x1S−x13+x12+x2S−x23+x22+…+xnS−xn3+xn2.\frac{x_1}{S - x_1^3 + x_1^2} + \frac{x_2}{S - x_2^3 + x_2^2} + \ldots + \frac{x_n}{S - x_n^3 + x_n^2}.
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-11-12-001

Нерівність для суми коренів з 2a²+bc

Нехай aa, bb, cc — додатні дійсні числа. Доведіть, що 2a2+bc+2b2+ca+2c2+ab⩾3ab+bc+ca.\sqrt{2a^2+bc}+\sqrt{2b^2+ca}+\sqrt{2c^2+ab}\geqslant 3\sqrt{ab+bc+ca}.
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-11-12-012

Добуток двох відбірних трійок чисел

Трійку чисел aa, bb, cc з відрізка [−1;1][-1; 1] назвемо відбірною, якщо ці числа задовольняють нерівність 1+2abc>a2+b2+c21 + 2abc > a^2 + b^2 + c^2. Доведіть, що коли трійки чисел aa, bb, cc і xx, yy, zz є відбірними, то трійка axax, byby, czcz також є відбірною.
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-10-11-011

Нерівність для многочленів з невід'ємними коефіцієнтами добутку

Нехай P(x)P(x) та Q(x)Q(x) — многочлени з дійсними коефіцієнтами такі, що P(0)>0P(0) > 0 і всі коефіцієнти многочлена S(x)=P(x)⋅Q(x)S(x) = P(x) \cdot Q(x) невід'ємні. Доведіть, що для довільного додатного xx справджується нерівність S(x2)−S2(x)⩽14(P2(x3)+Q(x3)).S(x^2) - S^2(x) \leqslant \frac{1}{4}(P^2(x^3) + Q(x^3)).
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-09-10-004

Нерівність із сумою a/(b + c) та коренем

Для невід'ємних чисел aa, bb, cc доведіть нерівність ab+c+bc+a+ca+b+ab+bc+caa2+b2+c2⩾52.\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}} \geqslant \frac{5}{2}.
10–11 класиНерівність Коші
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-07-08-003

Нерівність з добутком a+b, b+c, c+d, d+a

Для додатних чисел a,b,c,da, b, c, d довести нерівність: (a+b)(b+c)(c+d)(d+a)(1+abcd4)4≥16abcd(1+a)(1+b)(1+c)(1+d).(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)\left(1 + \sqrt[4]{abcd}\right)^4 \ge 16abcd(1+a)(1+b)(1+c)(1+d).
10–11 класиНерівність Коші
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-06-07-001

Нерівність для трьох чисел з одиничною сумою квадратів

Для чисел a,b,ca,b,c, які більші за 16\frac{1}{\sqrt{6}} та задовольняють умові a2+b2+c2=1a^2+b^2+c^2=1, довести нерівність: 1+a22a2+3ab−c2+1+b22b2+3bc−a2+1+c22c2+3ca−b2≥2(a+b+c).\frac{1+a^2}{\sqrt{2a^2+3ab-c^2}}+\frac{1+b^2}{\sqrt{2b^2+3bc-a^2}}+\frac{1+c^2}{\sqrt{2c^2+3ca-b^2}} \ge 2(a+b+c).
10–11 класиНерівність Коші
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-02-03-001

Нерівність для двох наборів додатних чисел

Нехай n≥3n \ge 3. Доведіть, що для будь-яких двох наборів додатних дійсних чисел a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n, та b1,b2,…,bnb_1, b_2, \ldots, b_n, які задовольняють умови a1+a2+…+an=1a_1 + a_2 + \ldots + a_n = 1, b12+b22+…+bn2=1b_1^2 + b_2^2 + \ldots + b_n^2 = 1, виконується нерівність a1(b1+a2)+a2(b2+a3)+…+an(bn+a1)<1.a_1(b_1 + a_2) + a_2(b_2 + a_3) + \ldots + a_n(b_n + a_1) < 1.
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-01-02-004

Найбільше значення виразу 1/x² + 2/y² + 3/z²

Знайдіть найбільше можливе значення виразу 1x2+2y2+3z2\dfrac{1}{x^2} + \dfrac{2}{y^2} + \dfrac{3}{z^2}, де x,y,zx, y, z — такі додатні дійсні числа, що 12min⁡{x2,y3}>z≥12\dfrac{1}{2}\min\{x\sqrt{2}, y\sqrt{3}\} > z \ge \dfrac{1}{\sqrt{2}}, x+z3≥6x + z\sqrt{3} \ge \sqrt{6}, y3+z10≥25y\sqrt{3} + z\sqrt{10} \ge 2\sqrt{5}.
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2025-006

Найбільше значення відношення сум максимумів рядків і стовпців

У кожній комірці дошки 2025×20252025 \times 2025 записано дійсне невід'ємне число так, що сума чисел у кожному рядку дорівнює 11, і сума чисел у кожному стовпчику також дорівнює 11. Через rir_i позначимо найбільше число в рядку ii, і нехай R=r1+r2+…+r2025R = r_1 + r_2 + \ldots + r_{2025}. Аналогічно, через cic_i позначимо найбільше число в стовпчику ii, і нехай C=c1+c2+…+c2025C = c_1 + c_2 + \ldots + c_{2025}. Якого найбільшого значення може набувати вираз RC\dfrac{R}{C}?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2025-005

Виграшна стратегія в грі з параметром λ

Аліна та Богдан грають у прикольну гру, правила якої залежать від дійсного додатного числа λ\lambda, що відоме обом гравцям до початку гри. На nn-му кроці гри, що починається з n=1n = 1, відбувається таке: - якщо число nn непарне, то Аліна вибирає таке невід'ємне дійсне число xnx_n, що x1+x2+…+xn⩽λn;x_1 + x_2 + \ldots + x_n \leqslant \lambda n; - якщо число nn парне, то Богдан вибирає таке невід'ємне дійсне число xnx_n, що x12+x22+…+xn2⩽n.x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2 \leqslant n. Усі вибрані числа відомі обом гравцям. Якщо хтось із гравців не може вибрати належне число xnx_n, то гра зупиняється, а інший гравець визнається переможцем. Якщо гра триває нескінченно довго, то жоден із гравців не визнається переможцем. Знайдіть усі значення λ\lambda, для яких Аліна має виграшну стратегію, а також усі значення λ\lambda, для яких виграшну стратегію має Богдан.
10–11 класиКласичні ігри

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.