Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

302 задачі
ГеометріяОзнаки подібності
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-00-01-001

Перпендикулярність прямих RH і CM у трикутнику

Дано гострокутний трикутник ABCABC, у якому AC>BCAC > BC. Нехай MM — середина сторони ABAB, APAP і BQBQ — висоти трикутника, HH — його ортоцентр. Нехай прямі ABAB і PQPQ перетинаються в точці RR. Доведіть, що прямі RHRH і CMCM перпендикулярні.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2025-004

Бісектриси трикутника, паралелограми і коло через чотири точки

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник із центром вписаного кола в точці II і AB≠ACAB \neq AC. Прямі BIBI та CICI перетинають описане коло трикутника ABCABC у точках P≠BP \neq B та Q≠CQ \neq C відповідно. Розглянемо такі точки RR та SS, що чотирикутники AQRBAQRB та ACSPACSP — паралелограми. Прямі RBRB та SCSC перетинаються в точці TT. Доведіть, що точки RR, SS, TT та II лежать на одному колі.
10–11 класиОзнаки подібності
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-018

Центроїд, центри описаних кіл і перетин перпендикулярів

Нехай △ABC\triangle ABC — трикутник з центроїдом GG. Нехай DD, EE і FF — центри описаних кіл △BCG\triangle BCG, △CAG\triangle CAG і △ABG\triangle ABG відповідно. Точка XX визначена як перетин перпендикулярів, опущених з EE на пряму ABAB і з FF на пряму ACAC. Доведіть, що пряма DXDX ділить відрізок EFEF навпіл.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола3 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2023-006

Перетин прямих у вписаному чотирикутнику

Нехай ABCDABCD — вписаний чотирикутник, у якому ∠BAD<∠ADC\angle BAD < \angle ADC. Нехай MM — середина дуги CDCD, що не містить AA. Припустимо, що всередині чотирикутника ABCDABCD існує точка PP така, що ∠ADB=∠CPD\angle ADB = \angle CPD і ∠ADP=∠PCB\angle ADP = \angle PCB. Доведіть, що прямі ADAD, PMPM, BCBC перетинаються в одній точці.
10–11 класиГомотерія і подібність2 розв’язки
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2022-004

Чотири точки перетину в опуклому п’ятикутнику на колі

Дано опуклий п’ятикутник ABCDEABCDE, у якому BC=DEBC = DE. Нехай усередині п’ятикутника ABCDEABCDE знайшлася така точка TT, що TB=TDTB = TD, TC=TETC = TE та ∠ABT=∠TEA\angle ABT = \angle TEA. Нехай пряма ABAB перетинає прямі CDCD і CTCT у точках PP та QQ відповідно. Припустимо, що точки PP, BB, AA, QQ лежать на прямій ABAB у вказаному порядку. Нехай пряма AEAE перетинає прямі CDCD і DTDT у точках RR та SS відповідно. Припустимо, що точки RR, EE, AA, SS лежать на прямій AEAE в цьому порядку. Доведіть, що точки PP, SS, QQ, RR лежать на одному колі.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2021-003

Перетин зовнішньої бісектриси з висотами трикутника

Задано трикутник ABCABC з тупим кутом AA. Через EE і FF позначимо точки перетину зовнішньої бісектриси кута AA з висотами трикутника ABCABC, проведеними через вершини BB і CC відповідно. Нехай точки MM і NN належать відрізкам ECEC і FBFB відповідно, так що ∠EMA=∠BCA\angle EMA = \angle BCA і ∠ANF=∠ABC\angle ANF = \angle ABC. Доведіть, що точки EE, FF, MM і NN лежать на одному колі.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2020-015

Бісектриса кута в конфігурації проекції дотичної

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з описаним колом ω\omega. Нехай ℓ\ell — дотична до кола ω\omega в точці AA. Нехай XX і YY — проекції BB на прямі ℓ\ell і ACAC відповідно. Нехай HH — ортоцентр трикутника BXYBXY. Нехай пряма CHCH перетинає ℓ\ell в точці DD. Доведіть, що пряма BABA є бісектрисою кута CBDCBD.
10–11 класиДотична кола2 розв’язки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2019-014

Бісектриса кута в рівнобедреному трикутнику з перетинами кіл

Нехай ABCABC — трикутник, у якому AB=ACAB = AC. Нехай MM — середина сторони BCBC. Нехай кола з діаметрами ACAC і BMBM перетинаються в точках MM і PP. Нехай пряма MPMP перетинає сторону ABAB у точці QQ. Нехай RR — точка на прямій APAP така, що QR∥BPQR \parallel BP. Доведіть, що пряма CPCP ділить навпіл ∠RCB\angle RCB.
10–11 класиОзнаки подібності
Шорт-лист IMOIMOSL-2019-006

Рівні хорди в дотику вписаних кіл

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, а DD, EE і FF — основи висот, проведених з AA, BB і CC на сторони BCBC, CACA і ABAB відповідно. Позначимо через ωB\omega_{B} і ωC\omega_{C} вписані кола трикутників BDFBDF і CDECDE, і нехай ці кола дотикаються до відрізків DFDF і DEDE в точках MM і NN відповідно. Нехай пряма MNMN перетинає кола ωB\omega_{B} і ωC\omega_{C} вдруге в точках P≠MP \neq M і Q≠NQ \neq N відповідно. Доведіть, що MP=NQMP = NQ.
10–11 класиОзнаки подібності
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2018-017

Бісектриса і центри описаних кіл

ADAD — бісектриса трикутника ABCABC. Пряма ADAD вдруге перетинає описане коло △ABC\triangle ABC у точці EE. Нехай K,L,MK, L, M і NN — середини відрізків AB,BD,CDAB, BD, CD і ACAC відповідно, PP — центр описаного кола трикутника EKLEKL, QQ — центр описаного кола трикутника EMNEMN. Доведіть, що ∠PEQ=∠BAC\angle PEQ = \angle BAC.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2018-001

Рівнобедрений трикутник з кутом 120° та точки на колі

У трикутнику ABCABC відомо, що CA=CBCA = CB і ∠ACB=120∘\angle ACB = 120^\circ. Позначимо точку MM — середину сторони ABAB. Нехай PP — деяка точка описаного кола трикутника ABCABC, а QQ — точка на відрізку CPCP, що задовольняє умову QP=2QCQP = 2QC. Пряма, що перпендикулярна до сторони ABAB та проходить через точку PP, перетинає пряму MQMQ в єдиній точці NN. Доведіть, що існує таке коло, що точка NN належить цьому колу за всіх можливих розташувань точки PP.
10–11 класиПаралельний перенос
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2018-001

Рівні відрізки на сторонах трикутника та серединні перпендикуляри

Нехай Γ\Gamma — описане коло гострокутного трикутника ABCABC. Точки DD і EE лежать на відрізках ABAB і ACAC відповідно, при цьому AD=AEAD = AE. Проведено серединні перпендикуляри до відрізків BDBD і CECE кола Γ\Gamma у точках FF і GG відповідно. Доведіть, що прямі DEDE і FGFG паралельні або збігаються.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2016-011

Чотирикутник AB = AD з точкою T на AC

ABCDABCD — опуклий чотирикутник такий, що AB=ADAB = AD. TT — точка на діагоналі ACAC така, що ∠ABT+∠ADT=∠BCD\angle ABT + \angle ADT = \angle BCD. Доведіть, що AT+AC≥AB+ADAT + AC \geq AB + AD.
10–11 класиОзнаки подібності
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2014-018

Вписаний чотирикутник, породжений бісектрисою

Нехай ABCABC — трикутник, у якому AB≠ACAB \neq AC. Бісектриса кута ∠BAC\angle BAC перетинає BCBC в точці DD. Коло з діаметром ADAD вдруге перетинає ACAC в точці PP, а BCBC — в точці QQ. Точка R≠QR \neq Q лежить на прямій, яка проходить через QQ паралельно ADAD. Припустімо, що AQ=ARAQ = AR. Доведіть, що точки B,P,QB, P, Q і RR лежать на спільному колі.
10–11 класиСиметрія2 розв’язки
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2014-002

Точка в рівносторонньому трикутнику із середнім геометричним відстаней

Дано рівносторонній трикутник. Знайдіть усі точки всередині трикутника такі, що відстань від точки до однієї зі сторін дорівнює середньому геометричному відстаней від точки до двох інших сторін трикутника. [Середнє геометричне двох чисел xx і yy дорівнює xy\sqrt{x y}.]
10–11 класиОзнаки подібності
Міжнародне математичне змагання (IMC)IMC-2012-005

Квадрат із серединами та площа трикутника

ABCDABCD — квадрат площі 3636 (рис. 5.2). Точка FF — середина сторони ADAD квадрата, а точка EE — середина відрізка FDFD. Прямі BEBE і CFCF перетинаються в точці GG. Знайдіть площу трикутника EFGEFG.
4–6 класиРозбиття і перекидання площ
Шорт-лист IMOIMOSL-2012-002

Чотири точки на одному колі у вписаному чотирикутнику

Нехай ABCDABCD — вписаний чотирикутник, діагоналі ACAC і BDBD якого перетинаються в точці EE. Продовження сторін ADAD і BCBC за точки AA і BB перетинаються в точці FF. Нехай GG — точка така, що ECGDECGD — паралелограм, а HH — образ точки EE при відбитті відносно прямої ADAD. Доведіть, що точки DD, HH, FF, GG лежать на одному колі.
10–11 класиОзнаки подібності
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2011-021

Рівні кути в чотирикутнику з умовою на довжини

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник, такий, що ∠ADB=∠BDC\angle ADB = \angle BDC. Припустімо, що точка EE на стороні ADAD задовольняє рівність AE⋅ED+BE2=CD⋅AE.AE \cdot ED + BE^2 = CD \cdot AE. Доведіть, що ∠EBA=∠DCB\angle EBA = \angle DCB.
10–11 класиСиметрія
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2010-002

Перетин прямих DG та EI на описаному колі

Точка II — центр кола, вписаного в трикутник ABCABC, а Γ\Gamma — коло, описане навколо цього трикутника. Пряма AIAI перетинає коло Γ\Gamma в точках AA і DD. Точка EE обрана на дузі BDCBDC, а точка FF — на стороні BCBC так, що ∠BAF=∠CAE<12∠BAC\angle BAF = \angle CAE < \frac{1}{2}\angle BAC. Точка GG — середина відрізка IFIF. Доведіть, що прямі DGDG і EIEI перетинаються в точці, що належить колу Γ\Gamma.
10–11 класиТеорема про тризуб
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2010-002

Перетини трьох кіл і відношення довжин

Три кола ΓA\Gamma_{A}, ΓB\Gamma_{B} і ΓC\Gamma_{C} мають спільну точку перетину OO. Другою спільною точкою кіл ΓA\Gamma_{A} і ΓB\Gamma_{B} є CC, кіл ΓA\Gamma_{A} і ΓC\Gamma_{C} — BB, а кіл ΓC\Gamma_{C} і ΓB\Gamma_{B} — AA. Пряма AOA O перетинає коло ΓC\Gamma_{C} у точці X≠OX \neq O. Аналогічно пряма BOB O перетинає коло ΓB\Gamma_{B} у точці Y≠OY \neq O, а пряма COC O перетинає коло ΓA\Gamma_{A} у точці Z≠OZ \neq O. Доведіть, що ∣AY∣∣BZ∣∣CX∣∣AZ∣∣BX∣∣CY∣=1\frac{|A Y||B Z||C X|}{|A Z||B X||C Y|}=1
10–11 класиЦентральні і вписані кути2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2007-006

Незмінна площа трикутника з хорд описаного кола

Нехай ABCABC — фіксований трикутник, а A1,B1,C1A_{1}, B_{1}, C_{1} — середини сторін BC,CA,ABBC, CA, AB відповідно. Нехай PP — змінна точка на описаному колі. Нехай прямі PA1,PB1,PC1PA_{1}, PB_{1}, PC_{1} перетинають описане коло знову в точках A′,B′,C′A', B', C' відповідно. Припустимо, що точки A,B,C,A′,B′,C′A, B, C, A', B', C' різні, і прямі AA′,BB′,CC′AA', BB', CC' утворюють трикутник. Доведіть, що площа цього трикутника не залежить від PP.
10–11 класиПроєктивна геометрія2 розв’язки
Балтійський шляхBW-2005-011

Рівні відрізки на перетині середньої лінії

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник такий, що BC=ADBC = AD. Нехай MM і NN — середини сторін ABAB і CDCD відповідно. Прямі ADAD і BCBC перетинають пряму MNMN у точках PP і QQ відповідно. Доведіть, що CQ=DPCQ = DP.
10–11 класиПаралельні прямі і теорема Фалеса
Балтійський шляхBW-2004-013

Проєкція точки дотику — бісектриса кута

Через точку PP, що лежить поза даним колом, проведено січну та дотичну до кола. Січна перетинає коло в точках AA і BB, а дотична дотикається до кола в точці CC, яка лежить з того самого боку від діаметра, що проходить через PP, що й AA і BB. Проєкція точки CC на цей діаметр — точка QQ. Доведіть, що пряма QCQ C є бісектрисою ∠AQB\angle A Q B.
10–11 класиПодібність в прямокутному трикутн…
Балтійський шляхBW-2004-017

Відношення відрізків хорд на вкладених дугах

Три кругові дуги w1w_{1}, w2w_{2}, w3w_{3} зі спільними кінцями AA і BB лежать з одного боку від прямої ABAB; дуга w2w_{2} лежить між дугами w1w_{1} і w3w_{3}. Два промені, що виходять із точки BB, перетинають ці дуги відповідно в точках M1M_{1}, M2M_{2}, M3M_{3} і K1K_{1}, K2K_{2}, K3K_{3}. Доведіть, що M1M2M2M3=K1K2K2K3.\frac{M_{1} M_{2}}{M_{2} M_{3}} = \frac{K_{1} K_{2}}{K_{2} K_{3}}.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Балтійський шляхBW-2001-006

Коло через вершину паралелограма

Дано паралелограм ABCDA B C D. Коло, що проходить через AA, перетинає відрізки ABA B, ACA C і ADA D у внутрішніх точках MM, KK, NN відповідно. Доведіть, що ∣AB∣⋅∣AM∣+∣AD∣⋅∣AN∣=∣AK∣⋅∣AC∣.|A B| \cdot|A M|+|A D| \cdot|A N|=|A K| \cdot|A C| .
10–11 класиОзнаки подібності

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.