Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

158 задач
АлгебраПеретворення симетричних виразів
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-114

Комплексні числа з рівними модулями

Нехай xx, yy і zz — комплексні числа з рівними модулями, які задовольняють x+y+z=−32−i5x + y + z = -\frac{\sqrt{3}}{2} - i \sqrt{5} і xyz=3+i5.xyz = \sqrt{3} + i \sqrt{5}. Якщо x=x1+ix2x = x_1 + i x_2, y=y1+iy2y = y_1 + i y_2 і z=z1+iz2z = z_1 + i z_2 для дійсних x1x_1, x2x_2, y1y_1, y2y_2, z1z_1 і z2z_2, то (x1x2+y1y2+z1z2)2\left(x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2\right)^2 можна записати у вигляді ab\frac{a}{b} для взаємно простих натуральних чисел aa і bb. Обчисліть 100a+b100a + b.
10–11 класиКомплексні числа
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-105

Максимум симетричної суми мономів

Нехай xx і yy — невід'ємні дійсні числа, сума яких дорівнює 11. Обчисліть кількість впорядкованих пар (a,b)(a, b), де a,b∈{0,1,2,3,4}a, b \in \{0,1,2,3,4\}, для яких вираз xayb+yaxbx^{a} y^{b} + y^{a} x^{b} має найбільше значення 21−a−b2^{1-a-b}.
10–11 класиНерівність Коші
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-033

Сума і куби двох дійсних чисел

Якщо xx і yy — дійсні числа такі, що x+y=10x+y=10 і x3+y3=400x^{3}+y^{3}=400, знайдіть значення x2+y2x^{2}+y^{2}.
10–11 класиПеретворення симетричних виразів
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-012

Відношення четвертих степенів із квадратного рівняння

Якщо 6xy−3x2=3y26 x y - \sqrt{3} x^{2} = \sqrt{3} y^{2}, обчисліть (xy)4+(yx)4\left(\frac{x}{y}\right)^{4} + \left(\frac{y}{x}\right)^{4}
8–9 класиПеретворення симетричних виразів
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-062

Симетрична кубічна система від трьох змінних

Нагадаємо, що (a+b+c)3=a3+b3+c3+3a2b+3ab2+3ac2+3a2c+3b2c+3bc2+6abc\begin{aligned} (a+b+c)^{3} = a^{3} + b^{3} + c^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + 3 a c^{2} + 3 a^{2} c + 3 b^{2} c + 3 b c^{2} + 6 a b c \end{aligned} Знайдіть усі розв'язки системи рівнянь a3+3ab2+3ac2−6abc=1b3+3ba2+3bc2−6abc=1c3+3ca2+3cb2−6abc=1\begin{aligned} a^{3} + 3 a b^{2} + 3 a c^{2} - 6 a b c & = 1 \\ b^{3} + 3 b a^{2} + 3 b c^{2} - 6 a b c & = 1 \\ c^{3} + 3 c a^{2} + 3 c b^{2} - 6 a b c & = 1 \end{aligned}
10–11 класиСиметричні системи рівнянь
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-123

Симетричні вирази з оберненими числами

Нехай xx і yy — додатні дійсні числа. Позначимо a=1+xya=1+\frac{x}{y} і b=1+yxb=1+\frac{y}{x}. Якщо a2+b2=15a^{2}+b^{2}=15, обчисліть a3+b3a^{3}+b^{3}.
10–11 класиПеретворення симетричних виразів
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-127

Потрійна сума з раціональними доданками

Знайдіть значення ∑a=1∞∑b=1∞∑c=1∞ab(3a+c)4a+b+c(a+b)(b+c)(c+a)\sum_{a=1}^{\infty} \sum_{b=1}^{\infty} \sum_{c=1}^{\infty} \frac{a b(3 a+c)}{4^{a+b+c}(a+b)(b+c)(c+a)}
10–11 класиПеретворення симетричних виразів
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2019-004

Побудова квадрата й добутку дозволеними операціями

Спочатку на дошці записано число 11 і два додатні числа xx та yy. Кожним ходом гравець може вибрати два числа на дошці, не обов'язково різні, і записати на дошку їх суму або їх різницю. Також можна вибрати ненульове число на дошці й записати обернене до нього число. Опишіть, як за скінченну кількість ходів можна отримати такі числа: a) x2x^{2}. b) xyx y.
8–9 класиПеретворення дробів
Естонська математична олімпіадаESTMO-2017-014

Кубічна сума із симетричними умовами

Дійсні числа xx, yy і zz задовольняють x+y+z=4x + y + z = 4 та 1x+1y+1z=13\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{3}. Знайдіть найбільше й найменше можливе значення виразу x3+y3+z3+xyzx^3 + y^3 + z^3 + xyz.
11 класПеретворення симетричних виразів
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-031

Мінімум зваженої симетричної суми

Нехай aa, bb, cc — невід'ємні дійсні числа, для яких ab+bc+ca=3ab + bc + ca = 3. Нехай також a3b+b3c+c3a+2abc(a+b+c)=92a^3 b + b^3 c + c^3 a + 2abc(a + b + c) = \frac{9}{2} Яке найменше можливе значення виразу ab3+bc3+ca3ab^3 + bc^3 + ca^3?
10–11 класиІнші класичні нерівності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-006

Комплексні числа із заданими сумою та сумою квадратів

Нехай xx і yy — комплексні числа такі, що x+y=20x+y=\sqrt{20} і x2+y2=15x^{2}+y^{2}=15. Обчисліть ∣x−y∣|x-y|.
10–11 класиПеретворення симетричних виразів
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-055

Симетрична сума за коренями многочлена четвертого степеня

Нехай r1,r2,r3,r4r_{1}, r_{2}, r_{3}, r_{4} — чотири корені многочлена x4−4x3+8x2−7x+3x^{4}-4 x^{3}+8 x^{2}-7 x+3. Знайдіть значення r12r22+r32+r42+r22r12+r32+r42+r32r12+r22+r42+r42r12+r22+r32\frac{r_{1}^{2}}{r_{2}^{2}+r_{3}^{2}+r_{4}^{2}}+\frac{r_{2}^{2}}{r_{1}^{2}+r_{3}^{2}+r_{4}^{2}}+\frac{r_{3}^{2}}{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+r_{4}^{2}}+\frac{r_{4}^{2}}{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+r_{3}^{2}}
10–11 класиТеорема Вієта
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-115

Найменший добуток попарних добутків

Нехай a,b,ca, b, c — додатні дійсні числа такі, що a+b+c=10a + b + c = 10 і ab+bc+ca=25ab + bc + ca = 25. Нехай m=min⁡{ab,bc,ca}m = \min \{ ab, bc, ca \}. Знайдіть найбільше можливе значення mm.
10–11 класиПеретворення симетричних виразів
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2015-051

Сума циклічної операції за круглим столом

П’ять дітей сідають навколо круглого столу. Кожна дитина вибирає натуральне число і повідомляє його іншим. Далі кожна дитина виконує таке обчислення: додає числа двох дітей ліворуч від себе, віднімає суму чисел двох інших дітей праворуч від себе і множить цю різницю на власне число, отримуючи в такий спосіб свій кінцевий результат. Доведіть, що сума кінцевих результатів усіх дітей є сталою величиною, яка не залежить від чисел, вибраних дітьми спочатку, а потім визначте це значення.
8–9 класиПеретворення симетричних виразів
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2015-011

Значення виразу з умовою на циклічну суму

Нехай aa, bb, cc — дійсні числа, для яких виконується: ab+c+bc+a+ca+b=1\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} = 1 Знайдіть усі значення, яких може набувати такий вираз: a2b+c+b2c+a+c2a+b\frac{a^{2}}{b+c} + \frac{b^{2}}{c+a} + \frac{c^{2}}{a+b}
10–11 класиПеретворення симетричних виразів
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-112

Мінімум модуля суми кубів

Нехай ww і zz — комплексні числа такі, що ∣w+z∣=1|w+z|=1 і ∣w2+z2∣=14|w^{2}+z^{2}|=14. Знайдіть найменше можливе значення ∣w3+z3∣|w^{3}+z^{3}|. Тут ∣⋅∣|\cdot| позначає модуль комплексного числа, що задається формулою ∣a+bi∣=a2+b2|a+b i|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}, якщо aa і bb — дійсні числа.
10–11 класиЧислові нерівності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-058

Степені комплексного числа через суму з оберненим

Нехай xx — комплексне число таке, що x+x−1x + x^{-1} є коренем многочлена p(t)=t3+t2−2t−1p(t) = t^{3} + t^{2} - 2 t - 1. Знайдіть усі можливі значення x7+x−7x^{7} + x^{-7}.
10–11 класиПеретворення симетричних виразів
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-084

Можливі значення виразу з a² і b² при умові

Нехай aa і bb — дійсні числа такі, що aba2+b2=14\frac{a b}{a^{2}+b^{2}}=\frac{1}{4}. Знайдіть усі можливі значення ∣a2−b2∣a2+b2\frac{\left|a^{2}-b^{2}\right|}{a^{2}+b^{2}}.
10–11 класиПеретворення симетричних виразів
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-120

Симетричні суми степенів комплексних чисел

Нехай xx, yy — комплексні числа такі, що x2+y2x+y=4\frac{x^{2}+y^{2}}{x+y}=4 і x4+y4x3+y3=2\frac{x^{4}+y^{4}}{x^{3}+y^{3}}=2. Знайдіть усі можливі значення x6+y6x5+y5\frac{x^{6}+y^{6}}{x^{5}+y^{5}}.
10–11 класиЗаміни, породжені симетрією
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-043

Сума коефіцієнтів при перетворенні коренів

Многочлен f(x)=x3−3x2−4x+4f(x) = x^{3} - 3x^{2} - 4x + 4 має три дійсні корені r1r_{1}, r2r_{2} і r3r_{3}. Нехай g(x)=x3+ax2+bx+cg(x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c — многочлен, який має корені s1s_{1}, s2s_{2} і s3s_{3}, де s1=r1+r2z+r3z2s_{1} = r_{1} + r_{2} z + r_{3} z^{2}, s2=r1z+r2z2+r3s_{2} = r_{1} z + r_{2} z^{2} + r_{3}, s3=r1z2+r2+r3zs_{3} = r_{1} z^{2} + r_{2} + r_{3} z, а z=−1+i32z = \frac{-1 + i \sqrt{3}}{2}. Знайдіть дійсну частину суми коефіцієнтів многочлена g(x)g(x).
10–11 класиТеорема Вієта
Відбіркові тести на IMOTST-2013-042

Нерівність із симетричним кубічним обмеженням

Додатні дійсні числа xx, yy, zz задовольняють рівність xyz+xy+yz+zx=x+y+z+1xyz + xy + yz + zx = x + y + z + 1. Доведіть, що 13(1+x21+x+1+y21+y+1+z21+z)≤(x+y+z3)5/8.\frac{1}{3} \left( \sqrt{\frac{1+x^2}{1+x}} + \sqrt{\frac{1+y^2}{1+y}} + \sqrt{\frac{1+z^2}{1+z}} \right) \le \left( \frac{x+y+z}{3} \right)^{5/8}.
10–11 класиНерівність Коші
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2013-002

Строго спадний розподіл торта між клубами

Нехай n,kn, k — натуральні числа, що задовольняють n≥kn \ge k. Є група з nn осіб. Кожна особа цієї групи належить одному й лише одному з kk клубів, які називаються клубами C1,C2,…,CkC_1, C_2, \dots, C_k. Кожен клуб має принаймні одного члена. Доведіть, що можна роздати n2n^2 шматків торта цим nn особам так, щоб виконувалися всі такі умови: Кожен отримає принаймні 1 шматок торта. Для кожного ii, 1≤i≤k1 \le i \le k, кожен член клубу CiC_i отримає aia_i шматків торта. Якщо 1≤i<j≤k1 \le i < j \le k, то виконано ai>aja_i > a_j.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Естонська математична олімпіадаESTMO-2011-003

Циклічна нерівність із трьома змінними

Доведіть, що a2+bcb+c+b2+cac+a+c2+aba+b≥a+b+c\frac{a^2 + bc}{b+c} + \frac{b^2 + ca}{c+a} + \frac{c^2 + ab}{a+b} \geq a+b+c для всіх додатних дійсних чисел aa, bb, cc.
10 класЧислові нерівності2 розв’язки
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2011-047

Ймовірність різнокольорових кульок і повний квадрат

У коробці є сині та червоні кульки. Ймовірність навмання витягти дві кульки різних кольорів, якщо виймати дві кульки, дорівнює 1/21/2. Доведіть, що кількість кульок у коробці є повним квадратом.
10–11 класиКомбінації
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2010-091

Симетричні степені комплексних чисел

Нехай xx і yy — комплексні числа, такі, що x+y=1x+y=1 і x20+y20=20x^{20}+y^{20}=20. Знайдіть суму всіх можливих значень x2+y2x^{2}+y^{2}.
10–11 класиТеорема Вієта

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.