Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

201 задача
ГеометріяРадикальна вісь
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2018-021

Геометричне місце ортоцентра для діаметрів двох кіл

На площині дано два кола, які не перетинаються. Виберемо діаметри A1B1A_1B_1 і A2B2A_2B_2 цих кіл так, щоб відрізки A1A2A_1A_2 і B1B2B_1B_2 перетиналися. Нехай AA і BB — середини відрізків A1A2A_1A_2 і B1B2B_1B_2, а CC — їхня точка перетину. Доведіть, що ортоцентр трикутника ABCABC належить фіксованій прямій, яка не залежить від вибору діаметрів.
10–11 класиРадикальна вісь
Середньоєвропейська математична олімпіада (MEMO)MEMO-2018-010

Бісектриса трикутника та рівність відрізків AW і WT

Дано трикутник ABCABC. Бісектриса внутрішнього кута ABCABC перетинає сторону ACAC у точці LL, а описане коло трикутника ABCABC — у точці W≠BW \neq B. Нехай точка KK — основа перпендикуляра, опущеного з точки LL на пряму AWAW. Описане коло трикутника BLCBLC удруге перетинає пряму CKCK у точці P≠CP \neq C. Прямі BPBP і AWAW перетинаються в точці TT. Доведіть, що AW=WTAW = WT.
10–11 класиРадикальна вісь
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2016-015

Конкурентні прямі у вписаному чотирикутнику

Нехай ABCDABCD — вписаний чотирикутник. Нехай MM — середина сторони CDCD. Нехай PP — точка всередині чотирикутника ABCDABCD така, що PA=PB=CMPA = PB = CM. Доведіть, що прямі ABAB, CDCD і серединний перпендикуляр до відрізка MPMP проходять через одну точку або паралельні.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2016-018

Точка трапеції на спільній хорді двох кіл

Нехай MM і NN — середини сторін ACAC і ABAB відповідно гострокутного трикутника ABCABC. Нехай ωB\omega_B — коло з центром MM, що проходить через BB, а ωC\omega_C — коло з центром NN, що проходить через CC. Нехай точка DD така, що ABCDABCD — рівнобічна трапеція з ADAD, паралельною BCBC. Припустимо, що ωB\omega_B і ωC\omega_C перетинаються у двох різних точках PP і QQ. Доведіть, що DD лежить на прямій PQPQ.
10–11 класиРадикальна вісь2 розв’язки
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2014-002

Інцентр, ортоцентр і середина дуги BAC

На сторонах ABAB та ACAC трикутника ABCABC позначено відмінні від вершин точки DD та EE відповідно так, що DB=BC=CEDB = BC = CE. Прямі CDCD і BEBE перетинаються в точці FF. Доведіть, що інцентр II трикутника ABCABC, ортоцентр HH трикутника DEFDEF і середина MM дуги BACBAC описаного кола трикутника ABCABC лежать на одній прямій.
10–11 класиРадикальна вісь
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2013-018

Дотичні кола у вписаному чотирикутнику

Кола S1S_1 і S2S_2 перетинаються в точках PP і QQ та лежать усередині вписаного чотирикутника ABCDABCD. коло S1S_1 дотикається до сторін ABAB, BCBC і ADAD; коло S2S_2 дотикається до сторін CDCD, BCBC і ADAD. Прямі PQPQ, ABAB, CDCD перетинаються в одній точці. Доведіть, що BC∥ADBC \parallel AD.
10–11 класиСиметрія
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2013-004

Пряма через ортоцентр і кінці діаметрів

Нехай HH — точка перетину висот гострокутного трикутника ABCABC. Нехай WW — довільна точка на відрізку BCBC, що відмінна від точок BB та CC. Позначимо через MM і NN основи висот трикутника ABCABC, що проведені з вершин BB і CC відповідно. Нехай w1w_1 — описане коло трикутника BWNBWN, а XX — така точка на w1w_1, що WXWX — діаметр кола w1w_1. Аналогічно нехай w2w_2 — описане коло трикутника CWMCWM та YY — така точка на w2w_2, що WYWY — діаметр кола w2w_2. Доведіть, що точки XX, YY і HH лежать на одній прямій.
10–11 класиРадикальна вісь
Шорт-лист IMOIMOSL-2012-003

Паралельні прямі через інцентри та центри описаних кіл

У гострокутному трикутнику ABCA B C точки DD, EE і FF — основи висот, проведених з вершин AA, BB і CC відповідно. Інцентри трикутників AEFA E F і BDFB D F — це I1I_{1} і I2I_{2} відповідно; центри описаних кіл трикутників ACI1A C I_{1} і BCI2B C I_{2} — це O1O_{1} і O2O_{2} відповідно. Доведіть, що прямі I1I2I_{1} I_{2} і O1O2O_{1} O_{2} паралельні.
10–11 класиРадикальна вісь
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2012-003

Кола через вершини трикутника, дотичні до вписаного кола

Точки II та OO — центри відповідно вписаного та описаного кіл трикутника ABCABC. Нехай ωA\omega_A — коло, що проходить через точки BB й CC, а також дотикається до вписаного кола трикутника ABCABC. Кола ωB\omega_B та ωC\omega_C визначимо аналогічно. Нехай також A′A' — відмінна від AA точка перетину кіл ωB\omega_B та ωC\omega_C, B′B' і C′C' — точки, визначені в аналогічний спосіб. Доведіть, що прямі AA′AA', BB′BB' і CC′CC' перетинаються в одній точці і ця точка належить прямій IOIO.
10–11 класиРадикальна вісь
Шорт-лист IMOIMOSL-2011-003

Колінеарність у трикутнику з дотичним колом

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з описаним колом Ω\Omega. Нехай B0B_{0} — середина сторони ACAC, а C0C_{0} — середина сторони ABAB. Нехай DD — основа висоти з AA, а GG — центроїд трикутника ABCABC. Нехай ω\omega — коло через B0B_{0} і C0C_{0}, яке дотикається до кола Ω\Omega в точці X≠AX \neq A. Доведіть, що точки DD, GG і XX колінеарні.
10–11 класиРадикальна вісь2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2011-004

Інцентр із побудови в рівнобедреному трикутнику

Нехай ABCABC — трикутник з AB=ACAB = AC, а DD — середина сторони ACAC. Бісектриса кута ∠BAC\angle BAC перетинає коло, яке проходить через DD, BB і CC, у точці EE всередині трикутника ABCABC. Пряма BDBD перетинає коло, яке проходить через AA, EE і BB, у двох точках BB і FF. Прямі AFAF і BEBE перетинаються в точці II, а прямі CICI і BDBD перетинаються в точці KK. Доведіть, що II — інцентр трикутника KABKAB.
10–11 класиРадикальна вісь3 розв’язки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2010-018

Колінеарність перетинів дотичних у кінцях медіан

Нехай ABCABC — різносторонній і непрямокутний трикутник. Нехай A′A' — друга точка перетину медіани, проведеної з AA, з описаним колом трикутника. Нехай дотичні до описаного кола трикутника ABCABC у точках AA і A′A' перетинаються в точці A′′A''. Аналогічно визначимо точки B′′B'' і C′′C''. Доведіть, що точки A′′A'', B′′B'', C′′C'' колінеарні.
10–11 класиРадикальна вісь2 розв’язки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2010-019

Два кола через вершини квадрата і точка S

Нехай ABCDABCD — квадрат, а SS — точка перетину його діагоналей ACAC і BDBD. Два кола kk, k′k' проходять через AA, CC і BB, DD відповідно. Крім того, kk і k′k' перетинаються рівно у двох різних точках PP і QQ. Доведіть, що SS лежить на прямій PQPQ.
10–11 класиРадикальна вісь
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2009-018

Колінеарність у колі з діаметром

Нехай ABAB — діаметр кола Γ\Gamma з центром OO, а CC і DD — точки на колі Γ\Gamma, по різні боки від прямої ABAB, такі, що прямі ADAD і CBCB перетинаються в точці RR. Описані кола трикутників AOCAOC і BODBOD перетинаються також у точці QQ. Прямі CDCD і ABAB перетинаються в точці PP. Доведіть, що точки Q,PQ, P і RR лежать на одній прямій.
10–11 класиРадикальна вісь
Шорт-лист IMOIMOSL-2009-004

Конкурентність середин відрізків Ейлера

Нехай сторони ADAD і BCBC чотирикутника ABCDABCD (такого, що сторона ABAB не паралельна стороні CDCD) перетинаються в точці PP. Точки O1O_{1} і O2O_{2} — центри описаних кіл, а точки H1H_{1} і H2H_{2} — ортоцентри трикутників ABPABP і DCPDCP відповідно. Позначимо середини відрізків O1H1O_{1}H_{1} і O2H2O_{2}H_{2} через E1E_{1} і E2E_{2} відповідно. Доведіть, що перпендикуляр з E1E_{1} на пряму CDCD, перпендикуляр з E2E_{2} на пряму ABAB і пряма H1H2H_{1}H_{2} проходять через одну точку.
10–11 класиКоло Ейлера (коло 9 точок)2 розв’язки
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2007-004

Дотичні й січна: відношення відрізків

Пряма, що проходить через точку AA, перетинає коло у двох точках, BB і CC, так, що точка BB лежить між AA і CC. З точки AA проведено дві дотичні до кола, які дотикаються до кола в точках SS і TT. Нехай PP — точка перетину прямих STS T і ACA C. Доведіть, що AP/PC=2⋅AB/BCA P / P C = 2 \cdot A B / B C.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Балтійський шляхBW-2005-010

Центри описаних кіл і рівні відрізки на сторонах

Нехай точки DD і EE лежать на сторонах BCB C і ACA C відповідно трикутника ABCA B C, причому BD=AEB D = A E. Пряма, що сполучає центри описаних кіл трикутників ADCA D C і BECB E C, перетинає прямі ACA C і BCB C у точках KK і LL відповідно. Доведіть, що KC=LCK C = L C.
10–11 класиРадикальна вісь
Балтійський шляхBW-2005-014

Перпендикулярні прямі та проходження прямої через точку перетину

Нехай прямі ee і ff перпендикулярні та перетинаються в точці OO. Нехай AA і BB лежать на прямій ee, а CC і DD лежать на прямій ff, причому всі п'ять точок A,B,C,DA, B, C, D і OO різні. Нехай прямі bb і dd проходять через BB і DD відповідно, перпендикулярно до прямої ACA C; нехай прямі aa і cc проходять через AA і CC відповідно, перпендикулярно до прямої BDB D. Нехай прямі aa і bb перетинаються в точці XX, а прямі cc і dd перетинаються в точці YY. Доведіть, що пряма XYX Y проходить через OO.
10–11 класиРадикальна вісь
Балтійський шляхBW-1997-013

Центри описаних кіл і перпендикулярні прямі

П'ять різних точок A,B,C,DA, B, C, D і EE лежать на прямій, причому ∣AB∣=∣BC∣=∣CD∣=∣DE∣.|A B|=|B C|=|C D|=|D E|. Точка FF лежить поза цією прямою. Нехай GG — центр описаного кола трикутника ADFA D F, а HH — центр описаного кола трикутника BEFB E F. Доведіть, що прямі GHG H і FCF C перпендикулярні.
10–11 класиРадикальна вісь
Балтійський шляхBW-1991-015

Добуток відстаней між точками перетину трьох кіл

Трохи збільшимо три кола, що попарно дотикаються зовні, так, щоб виникли три пари точок перетину. Позначимо через A1,B1,C1A_{1}, B_{1}, C_{1} три так одержані «зовнішні» точки, а через A2,B2,C2A_{2}, B_{2}, C_{2} — відповідні «внутрішні» точки. Доведіть рівність ∣A1B2∣⋅∣B1C2∣⋅∣C1A2∣=∣A1C2∣⋅∣C1B2∣⋅∣B1A2∣.|A_{1} B_{2}| \cdot |B_{1} C_{2}| \cdot |C_{1} A_{2}| = |A_{1} C_{2}| \cdot |C_{1} B_{2}| \cdot |B_{1} A_{2}|.
10–11 класиРадикальна вісь
Відбіркові тести на IMOTST-2025-009

Гострокутний трикутник і пряма KT через центр кола

Нехай △ABC\triangle ABC — гострокутний трикутник, у якому ∣AB∣>∣AC∣|AB| > |AC|, нехай ω\omega — описане коло трикутника △ABC\triangle ABC з центром OO. Висота з вершини AA перетинає BCBC у точці DD і перетинає ω\omega вдруге в точці PP. Позначимо через HH ортоцентр трикутника △ABC\triangle ABC і нехай KK — точка на відрізку BCBC така, що ∣BD∣=∣KC∣|BD| = |KC|. Описане коло трикутника △PKH\triangle PKH перетинає ω\omega вдруге в точці QQ і перетинає пряму BCBC вдруге в точці NN. Нехай TT — точка на прямій ADAD така, що TN⊥PQTN \perp PQ. Доведіть, що пряма KTKT проходить через OO.
10–11 класиСиметрія2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2025-008

Перетини описаних кіл і ортоцентр

Нехай △ABC\triangle ABC — гострокутний трикутник, у якому ∣AB∣>∣AC∣|AB| > |AC|, а ω\omega — описане коло △ABC\triangle ABC з центром OO. Висота з AA перетинає BCBC у точці DD і перетинає ω\omega вдруге в точці PP. Нехай HH — ортоцентр △ABC\triangle ABC, а KK — точка на відрізку BCBC така, що ∣BD∣=∣KC∣|BD| = |KC|. Описане коло △PKH\triangle PKH перетинає ω\omega вдруге в точці QQ і перетинає пряму BCBC вдруге в точці NN. Нехай TT — точка на прямій ADAD така, що TN⊥PQTN \perp PQ. Доведіть, що пряма KTKT проходить через OO.
10–11 класиТочка перетину висот
Естонська математична олімпіадаESTMO-2024-023

Висоти трикутника, дотична та підрахунок кутів

У гострокутному трикутнику ABCABC з AB<ACAB < AC висоти BEBE і CFCF перетинаються в точці HH. Дотична до описаного кола трикутника ABCABC в точці AA перетинає описане коло трикутника AEFAEF в точці T≠AT \neq A. Описані кола трикутників TBETBE і TCFTCF перетинаються в точці K≠TK \neq T. Доведіть, що ∠KHB=∠ABC\angle KHB = \angle ABC.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-128

Коло через вершини трикутника та дотик кіл

У трикутнику ABCABC коло ω\omega з центром OO проходить через BB і CC та вдруге перетинає відрізки AB‾\overline{AB} і AC‾\overline{AC} у точках B′B' і C′C' відповідно. Припустимо, що кола з діаметрами BB′BB' і CC′CC' зовні дотикаються одне до одного в точці TT. Якщо AB=18AB = 18, AC=36AC = 36 і AT=12AT = 12, обчисліть довжину відрізка AOAO.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-096

Тангенси кутів з внутрішньої точки правильного шестикутника

Нехай ABCDEFA B C D E F — правильний шестикутник, а PP — точка в його внутрішності. Доведіть, що з трьох значень tg⁡∠APD\operatorname{tg} \angle A P D, tg⁡∠BPE\operatorname{tg} \angle B P E і tg⁡∠CPF\operatorname{tg} \angle C P F два в сумі дають третє.
10–11 класиРадикальна вісь3 розв’язки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.