Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

230 задач
ГеометріяРозбиття і перекидання площ
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-130

П’ятикутник з дотичними описаними колами

Нехай ABTCDABTCD — опуклий п’ятикутник площею 2222, такий, що AB=CDAB = CD, а описані кола трикутників TABTAB і TCDTCD дотикаються внутрішнім чином. Відомо, що ∠ATD=90∘\angle ATD = 90^{\circ}, ∠BTC=120∘\angle BTC = 120^{\circ}, BT=4BT = 4 і CT=5CT = 5. Обчисліть площу трикутника TADTAD.
10–11 класиКола, що дотикаються
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-015

Площі трикутників у прямокутнику

Нехай ABCDABCD — прямокутник, у якому AB=20AB = 20 і AD=24AD = 24. Точка PP лежить усередині прямокутника ABCDABCD так, що площі трикутників PACPAC і PBDPBD дорівнюють 2020 і 2424 відповідно. Знайдіть усі можливі площі трикутника PABPAB.
10–11 класиРозбиття і перекидання площ
Італійська математична олімпіадаITAMO-2024-016

Площа об'єднання шестикутників, що перекриваються

На аркуші паперу намальовано два правильних шестикутники. Менший має площу 1818, а менша діагональ більшого шестикутника збігається з більшою діагоналлю меншого шестикутника. Яка площа об'єднання цих двох шестикутників?
10–11 класиРозбиття і перекидання площ
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2023-007

Рівновеликі трикутники в розбитому трикутнику

На наведеному нижче рисунку (масштаб не дотримано!) точка EE — середина сторони BCBC, трикутник FECFEC має площу 77, а чотирикутник DBEGDBEG — площу 2727. Трикутники ADGADG і GEFGEF мають однакову площу xx. Знайдіть xx.
10–11 класиРозбиття і перекидання площ
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-010

Площа трикутника з відбиттям середини прямокутника

Нехай ABCDA B C D — прямокутник, у якому AB=20A B=20 та AD=23A D=23. Нехай MM — середина сторони CDC D, а XX — точка, симетрична MM відносно точки AA. Обчисліть площу трикутника XBDX B D.
10–11 класиВідношення площ трикутників
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-022

Мінімальна площа покриття кратних 7 на решітці

Сто точок з мітками від 11 до 100100 розташовано у вигляді решітки 10×1010 \times 10 так, що сусідні точки містяться на відстані одиниці одна від одної. Мітки зростають зліва направо, згори вниз (тож перший рядок має мітки від 11 до 1010, другий рядок має мітки від 1111 до 2020 і так далі). Опуклий многокутник P\mathcal{P} має властивість, що кожна точка з міткою, кратною 77, лежить або на межі, або у внутрішності P\mathcal{P}. Обчисліть найменшу можливу площу P\mathcal{P}.
10–11 класиОпуклі множини
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-044

Площа чотирикутника в квадраті із зовнішніми точками

Нехай ABCDABCD — квадрат зі стороною 1010. Точка EE лежить на промені AB→\overrightarrow{AB} так, що AE=17AE = 17, а точка FF — на промені AD→\overrightarrow{AD} так, що AF=14AF = 14. Пряма через BB, паралельна прямій CECE, і пряма через DD, паралельна прямій CFCF, перетинаються в точці PP. Обчисліть площу чотирикутника AEPFAEPF.
10–11 класиРозбиття і перекидання площ
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-062

Вкладені шестикутники з паралельними сторонами

Нехай A1A2…A6A_{1} A_{2} \ldots A_{6} — правильний шестикутник зі стороною 11311 \sqrt{3}, а B1B2…B6B_{1} B_{2} \ldots B_{6} — інший правильний шестикутник, який повністю міститься всередині A1A2…A6A_{1} A_{2} \ldots A_{6}, такий, що для всіх i∈{1,2,…,5}i \in \{1,2, \ldots, 5\}, AiAi+1A_{i} A_{i+1} паралельна BiBi+1B_{i} B_{i+1}. Припустимо, що відстань між прямими A1A2A_{1} A_{2} і B1B2B_{1} B_{2} дорівнює 77, відстань між прямими A2A3A_{2} A_{3} і B2B3B_{2} B_{3} дорівнює 33, а відстань між прямими A3A4A_{3} A_{4} і B3B4B_{3} B_{4} дорівнює 88. Обчисліть довжину сторони шестикутника B1B2…B6B_{1} B_{2} \ldots B_{6}.
10–11 класиРозбиття і перекидання площ
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-125

Площа об'єднання вкладених прямокутників

Прямокутник R0R_{0} має сторони завдовжки 33 і 44. Прямокутники R1R_{1}, R2R_{2} і R3R_{3} побудовано так, що: - усі чотири прямокутники мають спільну вершину PP, - для кожного n=1,2,3n=1,2,3 одна сторона прямокутника RnR_{n} є діагоналлю прямокутника Rn−1R_{n-1}, - для кожного n=1,2,3n=1,2,3 протилежна сторона прямокутника RnR_{n} проходить через вершину прямокутника Rn−1R_{n-1} так, що центр прямокутника RnR_{n} розташований проти годинникової стрілки від центра прямокутника Rn−1R_{n-1} відносно PP. Обчисліть загальну площу, яку покриває об'єднання цих чотирьох прямокутників.
10–11 класиРозбиття і перекидання площ
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-076

Прямокутник з дотичним колом і колом через вершини

Нехай ABCDABCD — прямокутник, у якому AB=8AB = 8 і AD=20AD = 20. Всередині прямокутника проведено два кола радіуса 55 з центрами у внутрішній частині прямокутника: одне дотикається до сторін ABAB і ADAD, а інше проходить через обидві точки CC і DD. Чому дорівнює площа всередині прямокутника й поза обома колами?
10–11 класиРозбиття і перекидання площ
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-126

Площа перетину повернутих квадратів

Нехай ABCDABCD та AEFGAEFG — одиничні квадрати, такі, що площа їхнього перетину дорівнює 2021\frac{20}{21}. Відомо, що ∠BAE<45∘\angle BAE < 45^{\circ}, а tg⁡∠BAE\operatorname{tg} \angle BAE можна записати як ab\frac{a}{b} для взаємно простих натуральних чисел aa і bb. Обчисліть 100a+b100a + b.
10–11 класиРозбиття і перекидання площ
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-092

Центроїд і перетин паралельних прямих

Нехай ABCABC — трикутник з центроїдом GG, а EE і FF — точки на стороні BCBC такі, що BE=EF=FCBE = EF = FC. Точки XX і YY лежать на прямих ABAB і ACAC відповідно так, що XX, YY і GG не лежать на одній прямій. Якщо пряма через EE, паралельна до прямої XGXG, і пряма через FF, паралельна до прямої YGYG, перетинаються в точці P≠GP \neq G, доведіть, що пряма GPGP проходить через середину відрізка XYXY.
10–11 класиРозбиття і перекидання площ
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-129

Прямокутник у колі з добутками хорд

Нехай ABCDABCD — прямокутник, вписаний у коло Γ\Gamma, а PP — точка на меншій дузі ABAB кола Γ\Gamma. Припустімо, що PA⋅PB=2PA \cdot PB = 2, PC⋅PD=18PC \cdot PD = 18 і PB⋅PC=9PB \cdot PC = 9. Площу прямокутника ABCDABCD можна записати у вигляді abc\frac{a \sqrt{b}}{c}, де aa і cc — взаємно прості натуральні числа, а bb — вільне від квадратів натуральне число. Обчисліть 100a+10b+c100a + 10b + c.
10–11 класиЗастосування тригонометрії
Італійська математична олімпіадаITAMO-2022-022

Площа правильного шестикутника з вписаним прямокутником

Лучо купує стіл у формі правильного шестикутника та прямокутну скатертину площею 1024 см21024~\text{см}^2, менша сторона якої дорівнює стороні шестикутника і яка точно покриває частину столу між двома протилежними сторонами. Чому дорівнює площа столу, виражена в см2\text{см}^2?
10–11 класиРозбиття і перекидання площ
Американські математичні змагання 10 (AMC 10)AMC10-2021-006

Відображені дуги у правильному шестикутнику

Правильний шестикутник зі стороною 11 вписано в коло. Кожну меншу дугу кола, що відповідає стороні шестикутника, відображено симетрично відносно цієї сторони. Знайдіть площу фігури, обмеженої цими 66 відображеними дугами. (A) 532−π\frac{5\sqrt{3}}{2} - \pi (B) 33−π3\sqrt{3} - \pi (C) 43−3π24\sqrt{3} - \frac{3\pi}{2} (D) π−32\pi - \frac{\sqrt{3}}{2} (E) π+32\frac{\pi + \sqrt{3}}{2}
8–10 класиРозбиття і перекидання площ
Американські математичні змагання 10 (AMC 10)AMC10-2021-013

Площа многокутника з трьох повернутих квадратів

Три однакові квадратні аркуші паперу зі стороною 66 покладено один на одного. Середній аркуш повернуто за годинниковою стрілкою на 30∘30^\circ навколо його центру, а верхній аркуш — на 60∘60^\circ навколо його центру, внаслідок чого утворюється 24-кутник, зображений на малюнку нижче. Площу цього многокутника можна подати у вигляді a−bca - b\sqrt{c}, де aa, bb і cc — натуральні числа, причому cc не ділиться на квадрат жодного простого числа. Чому дорівнює a+b+ca + b + c?
8–10 класиРозбиття і перекидання площ2 розв’язки
Американські математичні змагання 10 (AMC 10)AMC10-2021-026

Диск, що котиться навколо квадрата

Диск радіуса 11 котиться навколо всього квадрата зі стороною s>4s > 4 зсередини і замітає область площею AA. Другий диск радіуса 11 котиться навколо того самого квадрата зовні і замітає область площею 2A2A. Значення ss можна записати у вигляді a+bπca + \frac{b\pi}{c}, де aa, bb і cc — натуральні числа, причому bb і cc взаємно прості. Чому дорівнює a+b+ca + b + c? (A) 10 (B) 11 (C) 12 (D) 13 (E) 14
8–10 класиРозбиття і перекидання площ
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-119

Площа між околами трикутника

Нехай X0X_{0} — внутрішність трикутника зі сторонами 33, 44 і 55. Для всіх натуральних чисел nn визначимо XnX_{n} як множину точок на відстані не більше 11 від деякої точки з Xn−1X_{n-1}. Площу області поза X20X_{20}, але всередині X21X_{21} можна записати у вигляді aπ+ba \pi + b, де aa і bb — цілі числа. Обчисліть 100a+b100a + b.
10–11 класиРозбиття і перекидання площ
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-104

Циклічний шестикутник з рівними сторонами

Нехай nn — відповідь цієї задачі. Шестикутник ABCDEFA B C D E F вписано в коло радіуса 9090. Площа шестикутника ABCDEFA B C D E F дорівнює 8n8 n, AB=BC=DE=EFA B = B C = D E = E F, а CD=FAC D = F A. Знайдіть площу трикутника ABCA B C.
10–11 класиВідношення площ трикутників
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-021

Диски в метриці таксі у правильному восьмикутнику

Відстань у метриці таксі між точками (x1,y1)(x_{1}, y_{1}) і (x2,y2)(x_{2}, y_{2}) дорівнює ∣x2−x1∣+∣y2−y1∣|x_{2}-x_{1}|+|y_{2}-y_{1}|. Правильний восьмикутник розташовано в площині xyxy так, що одна з його сторін має кінці (0,0)(0,0) і (1,0)(1,0). Нехай SS — множина всіх точок усередині восьмикутника, відстань яких у метриці таксі від деякої вершини восьмикутника не перевищує 23\frac{2}{3}. Площу SS можна записати у вигляді mn\frac{m}{n}, де m,nm, n — натуральні числа і НСД(m,n)=1\text{НСД}(m, n)=1. Знайдіть 100m+n100m+n.
10–11 класиРозбиття і перекидання площ
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-031

Шестикутник з відрізків зі спільною серединою

Нехай ADAD, BEBE та CFCF — відрізки зі спільною серединою, причому AB<AEAB < AE і BC<BFBC < BF. Припустимо, що кожна пара відрізків утворює кут 60∘60^{\circ}, а також що AD=7AD = 7, BE=10BE = 10 і CF=18CF = 18. Нехай KK — сума площ шести трикутників △ABC\triangle ABC, △BCD\triangle BCD, △CDE\triangle CDE, △DEF\triangle DEF, △EFA\triangle EFA та △FAB\triangle FAB. Обчисліть K3K \sqrt{3}.
10–11 класиПлоща трикутника
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-083

Рівнокутний шестикутник у квадраті

OO — центр квадрата ABCDABCD, а MM і NN — середини BC‾\overline{BC} та AD‾\overline{AD} відповідно. Точки A′A', B′B', C′C', D′D' вибрано на AO‾\overline{AO}, BO‾\overline{BO}, CO‾\overline{CO}, DO‾\overline{DO} відповідно так, що A′B′MC′D′NA'B'MC'D'N — рівнокутний шестикутник. Відношення [A′B′MC′D′N][ABCD]\frac{[A'B'MC'D'N]}{[ABCD]} можна записати у вигляді a+bcd\frac{a+b\sqrt{c}}{d}, де a,b,c,da, b, c, d — цілі числа, dd — додатне, cc — вільне від квадратів, а НСД(a,b,d)=1\text{НСД}(a, b, d)=1. Знайдіть 1000a+100b+10c+d1000a+100b+10c+d.
10–11 класиРозбиття і перекидання площ
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2020-002

Трикутник сталої площі в ромбі

У ромб ABCDA B C D вписано коло. Точки PP і QQ змінюються на відрізках AB‾\overline{A B} і AD‾\overline{A D} відповідно так, що PQ‾\overline{P Q} дотикається до кола. Доведіть, що для всіх таких відрізків PQ‾\overline{P Q} площа трикутника CPQC P Q є сталою.
10–11 класиДотична кола2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-005

Обмеження площі перетину трикутника і круга

Трикутник і круг лежать в одній площині. Доведіть, що площа перетину трикутника і круга не перевищує третини площі трикутника плюс половини площі круга.
10–11 класиСиметрія2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-032

Ймовірність при лінійному перетворенні

Точку (x,y)(x, y) вибирають рівномірно навмання з одиничного квадрата S={(x,y)∣0≤x≤1,0≤y≤1}S=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1\}. Якщо ймовірність того, що (3x+2y,x+4y)(3x+2y, x+4y) належить SS, дорівнює ab\frac{a}{b}, де a,ba, b — взаємно прості натуральні числа, обчисліть 100a+b100a+b.
10–11 класиПлоща чотирикутника

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.