Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

169 задач
АлгебраСиметричні системи рівнянь
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-015

Найбільше значення xy за умови x+1/y=y+2/x=3

Нехай xx і yy — додатні дійсні числа такі, що x+1y=y+2x=3.x + \frac{1}{y} = y + \frac{2}{x} = 3. Обчисліть найбільше можливе значення xyx y.
10–11 класиСиметричні системи рівнянь2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-111

Четвірки із симетричними умовами на суми

Аліса задумала чотири натуральні числа a≤b≤c≤da \leq b \leq c \leq d, які задовольняють {ab+cd,ac+bd,ad+bc}={40,70,100}\{ab + cd, ac + bd, ad + bc\} = \{40, 70, 100\}. Знайдіть усі можливі четвірки (a,b,c,d)(a, b, c, d), які могла задумати Аліса.
10–11 класиСиметричні системи рівнянь
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-064

Сума чисел з абсолютними різницями

Нехай a1,a2,…,a2023a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2023} — натуральні числа такі, що ak=∑i=12023∣ak−ai∣a_{k}=\sum_{i=1}^{2023}\left|a_{k}-a_{i}\right| для всіх 1≤k≤20231 \leq k \leq 2023. Знайдіть найменше можливе значення a1+a2+⋯+a2023a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{2023}.
10–11 класиСиметричні системи рівнянь
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2022-007

Симетричне рівняння з квадратичними дробами

Знайдіть усі дійсні числа xx і yy такі, що x22−y+y22−x=2.\frac{x^{2}}{2 - y} + \frac{y^{2}}{2 - x} = 2.
10–11 класиСиметричні системи рівнянь
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-101

Максимум добутку за симетричних обмежень

Дійсні числа x,y,zx, y, z задовольняють x+xy+xyz=1,y+yz+xyz=2,z+xz+xyz=4x + x y + x y z = 1, \quad y + y z + x y z = 2, \quad z + x z + x y z = 4 Найбільше можливе значення xyzx y z дорівнює a+bcd\frac{a + b \sqrt{c}}{d}, де a,b,c,da, b, c, d — цілі числа, dd додатне, cc вільне від квадратів, а НСД(a,b,d)=1\text{НСД}(a, b, d) = 1. Знайдіть 1000a+100b+10c+d1000 a + 100 b + 10 c + d.
10–11 класиСиметричні системи рівнянь
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-075

Сума із симетричними оберненими умовами

Нехай x,y,zx, y, z — дійсні числа, що задовольняють 1x+y+z=x+1y+z=x+y+1z=3.\frac{1}{x} + y + z = x + \frac{1}{y} + z = x + y + \frac{1}{z} = 3. Сума всіх можливих значень x+y+zx + y + z може бути записана у вигляді mn\frac{m}{n}, де m,nm, n — натуральні числа і НСД(m,n)=1\text{НСД}(m, n) = 1. Знайдіть 100m+n100m + n.
10–11 класиСиметричні системи рівнянь
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-081

Сума квадратів за системою з добутками xy, xz, yz

Нехай xx, yy, zz — дійсні числа, які задовольняють 2x+y+4xy+6xz=−6y+2z+2xy+6yz=4x−z+2xz−4yz=−3\begin{aligned} 2x + y + 4xy + 6xz &= -6 \\ y + 2z + 2xy + 6yz &= 4 \\ x - z + 2xz - 4yz &= -3 \end{aligned} Знайдіть x2+y2+z2x^{2} + y^{2} + z^{2}.
10–11 класиСиметричні системи рівнянь
Відбіркові тести на IMOTST-2021-009

Попарні суми та вирази x² + y² + 6xy

Знайдіть усі четвірки (x1,x2,x3,x4)(x_1, x_2, x_3, x_4) дійсних чисел, які є розв’язками такої системи з шести рівнянь: \begin{align*} x_1 + x_2 &= x_3^2 + x_4^2 + 6x_3x_4, \\ x_1 + x_3 &= x_2^2 + x_4^2 + 6x_2x_4, \\ x_1 + x_4 &= x_2^2 + x_3^2 + 6x_2x_3, \\ x_2 + x_3 &= x_1^2 + x_4^2 + 6x_1x_4, \\ x_2 + x_4 &= x_1^2 + x_3^2 + 6x_1x_3, \\ x_3 + x_4 &= x_1^2 + x_2^2 + 6x_1x_2. \end{align*}
10–11 класиСиметричні системи рівнянь
Відбіркові тести на IMOTST-2021-012

Симетрична система з модулями

Знайдіть усі трійки (x,y,z)(x, y, z) дійсних чисел, для яких виконується x2−yz=∣y−z∣+1,y2−zx=∣z−x∣+1,z2−xy=∣x−y∣+1\begin{aligned} & x^{2}-y z=|y-z|+1, \\ & y^{2}-z x=|z-x|+1, \\ & z^{2}-x y=|x-y|+1 \end{aligned}
10–11 класиСиметричні системи рівнянь
Італійська математична олімпіадаITAMO-2021-008

Взаємно відображені значення многочлена

Досліджуючи многочлен p(x)=x2+2x−6p(x) = x^{2} + 2x - 6, Енріка знайшла два різні дійсні числа α\alpha і β\beta такі, що p(α)=βp(\alpha) = \beta і p(β)=αp(\beta) = \alpha. Чому дорівнює α+β\alpha + \beta? (A) -3 (B) −22-2 \sqrt{2} (C) 0 (D) 2 (E) 6
10–11 класиСиметричні системи рівнянь
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2020-018

Симетрична система з трьома змінними

Знайдіть усі трійки (x,y,z)(x, y, z) дійсних чисел, що задовольняють систему рівнянь {xy+x+y=z,yz+y+z=x,zx+z+x=y.\begin{cases} xy + x + y = z, \\ yz + y + z = x, \\ zx + z + x = y. \end{cases}
10–11 класиСиметричні системи рівнянь2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-036

Система з кубічною симетрією

Знайдіть усі трійки дійсних чисел (x,y,z)(x, y, z), що задовольняють систему рівнянь x2y+y2z=1040x2z+z2y=260(x−y)(y−z)(z−x)=−540\begin{aligned} x^{2} y + y^{2} z & = 1040 \\ x^{2} z + z^{2} y & = 260 \\ (x - y)(y - z)(z - x) & = -540 \end{aligned}
10–11 класиСиметричні системи рівнянь
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-062

Симетрична кубічна система від трьох змінних

Нагадаємо, що (a+b+c)3=a3+b3+c3+3a2b+3ab2+3ac2+3a2c+3b2c+3bc2+6abc\begin{aligned} (a+b+c)^{3} = a^{3} + b^{3} + c^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + 3 a c^{2} + 3 a^{2} c + 3 b^{2} c + 3 b c^{2} + 6 a b c \end{aligned} Знайдіть усі розв'язки системи рівнянь a3+3ab2+3ac2−6abc=1b3+3ba2+3bc2−6abc=1c3+3ca2+3cb2−6abc=1\begin{aligned} a^{3} + 3 a b^{2} + 3 a c^{2} - 6 a b c & = 1 \\ b^{3} + 3 b a^{2} + 3 b c^{2} - 6 a b c & = 1 \\ c^{3} + 3 c a^{2} + 3 c b^{2} - 6 a b c & = 1 \end{aligned}
10–11 класиСиметричні системи рівнянь
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-145

Випадкове блукання решіткою і класи остач

Контеса здійснює випадкове блукання цілочисельною решіткою на площині, починаючи з (1,1)(1,1). (У випадковому блуканні решіткою на кожному кроці з однаковою ймовірністю рухаються вгору, вниз, вліво або вправо на 1 одиницю.) Якщо вона потрапить у точку вигляду (6m,6n)(6m, 6n) при m,n∈Zm, n \in \mathbb{Z}, то вона вознесеться до раю, а якщо вона потрапить у точку вигляду (6m+3,6n+3)(6m+3, 6n+3) при m,n∈Zm, n \in \mathbb{Z}, то вона спуститься до пекла. Яка ймовірність того, що вона вознесеться до раю?
10–11 класиСиметричні системи рівнянь
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-034

Система з симетрією функції знака

Для будь-якого дійсного числа α\alpha визначимо sign⁡(α)={+1 якщо α>00 якщо α=0−1 якщо α<0\operatorname{sign}(\alpha)= \begin{cases}+1 & \text{ якщо } \alpha>0 \\ 0 & \text{ якщо } \alpha=0 \\ -1 & \text{ якщо } \alpha<0\end{cases} Скільки трійок (x,y,z)∈R3(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 задовольняють таку систему рівнянь x=2018−2019⋅sign⁡(y+z)y=2018−2019⋅sign⁡(z+x)z=2018−2019⋅sign⁡(x+y)?\begin{aligned} & x=2018-2019 \cdot \operatorname{sign}(y+z) \\ & y=2018-2019 \cdot \operatorname{sign}(z+x) \\ & z=2018-2019 \cdot \operatorname{sign}(x+y) ? \end{aligned}
10–11 класиСиметричні системи рівнянь
Відбіркові тести на IMOTST-2018-004

Симетричні кубічні рівняння в дійсних числах

a) Якщо c(a3+b3)=a(b3+c3)=b(c3+a3)c\left(a^{3}+b^{3}\right)=a\left(b^{3}+c^{3}\right)=b\left(c^{3}+a^{3}\right) для додатних дійсних чисел a,b,ca, b, c, то чи обов'язково a=b=ca=b=c? b) Якщо a(a3+b3)=b(b3+c3)=c(c3+a3)a\left(a^{3}+b^{3}\right)=b\left(b^{3}+c^{3}\right)=c\left(c^{3}+a^{3}\right) для додатних дійсних чисел a,b,ca, b, c, то чи обов'язково a=b=ca=b=c?
10–11 класиСиметричні системи рівнянь2 розв’язки
Італійська математична олімпіадаITAMO-2017-014

Дійсні розв'язки симетричної кубічної системи

Скільки існує пар дійсних чисел (x,y)(x, y), які задовольняють обидва рівняння x+y2=y3x + y^{2} = y^{3} і y+x2=x3y + x^{2} = x^{3}? (A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 9 (E) Нескінченно багато
10–11 класиСиметричні системи рівнянь
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2016-002

Розв'язки симетричної квадратичної системи

Розглянемо таку систему з 10 рівнянь від 10 дійсних змінних v1,…,v10v_1, \dots, v_{10}: vi=1+6vi2v12+v22+⋯+v102(i=1,…,10).v_i = 1 + \frac{6 v_i^2}{v_1^2 + v_2^2 + \dots + v_{10}^2} \quad (i = 1, \dots, 10). Знайдіть усі десятки (v1,v2,…,v10)(v_1, v_2, \dots, v_{10}), які є розв'язками цієї системи.
10–11 класиСиметричні системи рівнянь
Відбіркові тести на IMOTST-2016-010

Циклічна система з квадратами та зсувами

Знайдіть усі трійки (x,y,z)(x, y, z) невід'ємних дійсних чисел, які задовольняють систему рівнянь x2−y=(z−1)2y2−z=(x−1)2z2−x=(y−1)2\begin{aligned} & x^{2}-y=(z-1)^{2} \\ & y^{2}-z=(x-1)^{2} \\ & z^{2}-x=(y-1)^{2} \end{aligned}
10–11 класиСиметричні системи рівнянь
Французька математична олімпіадаFRMO-2015-054

Циклічна система з квадратними коренями

Знайдіть усі дійсні числа x,y,zx, y, z, що задовольняють таку систему рівнянь: {x=2y+3y=2z+3z=2x+3\begin{cases} x = \sqrt{2y + 3} \\ y = \sqrt{2z + 3} \\ z = \sqrt{2x + 3} \end{cases}
10–11 класиСиметричні системи рівнянь
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2015-040

Симетрична система зі спільним множником суми

Знайдіть усі розв'язки системи рівнянь у множині додатних дійсних чисел: {x(x+y+z)=26y(x+y+z)=27z(x+y+z)=28\left\{\begin{array}{l} x(x+y+z)=26 \\ y(x+y+z)=27 \\ z(x+y+z)=28 \end{array}\right.
8–9 класиСиметричні системи рівнянь
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-080

Циклічна система з раціональними виразами

Нехай a,b,c,xa, b, c, x — дійсні числа, причому (a+b)(b+c)(c+a)≠0(a+b)(b+c)(c+a) \neq 0, які задовольняють a2a+b=a2a+c+20,b2b+c=b2b+a+14, і c2c+a=c2c+b+x\frac{a^{2}}{a+b}=\frac{a^{2}}{a+c}+20, \quad \frac{b^{2}}{b+c}=\frac{b^{2}}{b+a}+14, \quad \text{ і } \quad \frac{c^{2}}{c+a}=\frac{c^{2}}{c+b}+x Обчисліть xx.
10–11 класиСиметричні системи рівнянь
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-115

Комплексні змінні із симетричною сумою

Для комплексних чисел aa, bb і cc, які задовольняють a2+ab+b2=1+ib2+bc+c2=−2c2+ca+a2=1,\begin{aligned} a^{2}+a b+b^{2} & =1+i \\ b^{2}+b c+c^{2} & =-2 \\ c^{2}+c a+a^{2} & =1, \end{aligned} обчисліть (ab+bc+ca)2(a b+b c+c a)^{2}. (Тут i=−1i=\sqrt{-1}.)
10–11 класиСиметричні системи рівнянь
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2014-010

Дійсні розв'язки симетричної системи

Дано систему {x+y+z=7x2+y2+z2=27xyz=5\begin{cases} x + y + z = 7 \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 27 \\ xyz = 5 \end{cases} скільки впорядкованих трійок дійсних чисел (x,y,z)(x, y, z) є її розв'язками? (A) 6 (B) 3 (C) 2 (D) 0 (E) Нескінченно багато.
9–11 класиСиметричні системи рівнянь
Естонська математична олімпіадаESTMO-2013-025

Система із синусом і симетрією

Знайдіть усі пари дійсних чисел (x,y)(x, y), які задовольняють {x+sin⁡x=y,y+sin⁡y=x.\begin{cases} x + \sin x = y, \\ y + \sin y = x. \end{cases}
11 класВластивості монотонності або обме…2 розв’язки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.