Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

193 задачі
АлгебраВластивості монотонності або обмеженості функції
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-003

Монотонна функція з кубічним рівнянням

Знайдіть усі монотонні (не обов’язково строго монотонні) функції f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, для яких f(x+y)3=f(x3)+f(y3) для всіх x,y∈R.f(x+y)^3 = f(x^3) + f(y^3) \text{ для всіх } x, y \in \mathbb{R}.
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-005

Фленсбурзька властивість для системи многочленів

Назвемо множину рівнянь у дійсних числах зі змінними x1,…,xm∈Rx_1, \dots, x_m \in \mathbb{R} фленсбурзькою, якщо існує таке i∈{1,…,m}i \in \{1, \dots, m\}, що кожний розв'язок множини рівнянь, у якому всі змінні попарно різні, задовольняє xi>xjx_i > x_j для всіх j≠ij \ne i. Визначте, для яких натуральних чисел n≥1n \ge 1 така множина з двох рівнянь an+b=a і cn+1+b2=aba^n + b = a \text{ і } c^{n+1} + b^2 = ab з трьома дійсними змінними a,b,ca, b, c є фленсбурзькою.
10–11 класиЧислові нерівності
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-009

Найменше значення дробу зі степенями

Знайдіть найменше можливе значення x2023+20317x7+7x17\frac{x^{2023} + 203}{17x^7 + 7x^{17}} при всіх додатних дійсних xx.
10–11 класиНерівність Коші3 розв’язки
Математичний матч Чехія–Австрія–Польща–СловаччинаCAPS-2022-002

Функціональне рівняння з дробом y+1 поділеним на f(y)

Знайдіть усі такі функції f:(0,+∞)→(0,+∞)f: (0, +\infty) \to (0, +\infty), що рівність f(f(x)+y+1f(y))=1f(y)+x+1f\left(f(x) + \frac{y+1}{f(y)}\right) = \frac{1}{f(y)} + x + 1 справджується для всіх x,y>0x, y > 0.
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2022-002

Функції з єдиним y для нерівності

Нехай R+=(0,+∞)\mathbb{R}^{+} = (0, +\infty). Знайдіть усі такі функції f:R+→R+f:\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+}, що для всіх чисел x∈R+x \in \mathbb{R}^{+} існує єдине число y∈R+y \in \mathbb{R}^{+}, для якого справджується нерівність xf(y)+yf(x)⩽2.xf(y) + yf(x) \leqslant 2.
10–11 класиНерівність Коші
Шорт-лист IMOIMOSL-2021-004

Циклічне функціональне рівняння на дійсних числах

Знайдіть усі функції f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, які задовольняють (f(a)−f(b))(f(b)−f(c))(f(c)−f(a))=f(ab2+bc2+ca2)−f(a2b+b2c+c2a)(f(a)-f(b))(f(b)-f(c))(f(c)-f(a))=f\left(a b^{2}+b c^{2}+c a^{2}\right)-f\left(a^{2} b+b^{2} c+c^{2} a\right) для всіх дійсних чисел a,b,ca, b, c.
10–11 класиВластивості ін'єктивність або сюр…
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2021-002

Функціональна нерівність з модулем

Знайдіть усі функції f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} такі, що для кожного x∈Rx \in \mathbb{R} виконується f(x(1+∣x∣))≤x≤f(x)(1+∣f(x)∣)f(x(1+|x|)) \leq x \leq f(x)(1+|f(x)|)
10–11 класиОборотні функції
Європейський математичний кубокEMC-2020-008

Рівняння з f(x + y) і f(x f(y) + 1)

Позначимо множину як R+=(0,+∞)\mathbb{R}^+ = (0, +\infty). Знайдіть усі функції f:R+→R+f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+ такі, що для довільних x,y∈R+x, y \in \mathbb{R}^+ справджується рівність xf(x+y)+f(xf(y)+1)=f(xf(x)).xf(x + y) + f(xf(y) + 1) = f(xf(x)).
10–11 класиВластивості ін'єктивність або сюр…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2019-007

Функціональне рівняння з обмеженою областю значень

Знайдіть усі функції f:R→[−2019,2019]f: \mathbb{R} \to [-2019, 2019], для яких 2f(f(x))+f(f(−x))+8f(x)+4f(−x)+4x=02f(f(x)) + f(f(-x)) + 8f(x) + 4f(-x) + 4x = 0 для всіх дійсних чисел xx.
10–11 класиВластивості монотонності або обме…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2018-006

Функціональне рівняння f(y²-f(x))=yf(x)²+f(x²y+y)

Знайдіть усі функції f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, які для всіх дійсних xx і yy задовольняють рівняння f(y2−f(x))=yf(x)2+f(x2y+y).f(y^2 - f(x)) = yf(x)^2 + f(x^2y + y).
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…2 розв’язки
Середньоєвропейська математична олімпіада (MEMO)MEMO-2018-001

Функціональне рівняння f((x + y)/α) = (f(x) + f(y))/α

Нехай Q+=(0,+∞)∩Q\mathbb{Q}^+=(0,+\infty)\cap\mathbb{Q} і число α∈Q+\alpha\in\mathbb{Q}^+. Знайдіть усі функції f:Q+→(α,+∞)f:\mathbb{Q}^+\to(\alpha,+\infty), які ∀x,y∈Q+\forall x, y\in\mathbb{Q}^+ задовольняють рівність f(x+yα)=f(x)+f(y)α.f\left(\frac{x+y}{\alpha}\right)=\frac{f(x)+f(y)}{\alpha}.
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…
Шорт-лист IMOIMOSL-2017-005

Функціональне рівняння з умовою додатності

Припустимо, що функція f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} задовольняє таку умову: для будь-яких x,y∈Rx, y \in \mathbb{R} таких, що (f(x)+y)(f(y)+x)>0(f(x)+y)(f(y)+x)>0, маємо f(x)+y=f(y)+xf(x)+y=f(y)+x. Доведіть, що f(x)+y⩽f(y)+xf(x)+y \leqslant f(y)+x, коли x>yx>y.
10–11 класиМетод допоміжних функцій: g(x) =…2 розв’язки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2014-007

Строго зростаюча функція з вкладеним аргументом

Для фіксованих натуральних чисел aa і bb знайдіть усі строго зростаючі функції ff з натуральних чисел у натуральні числа такі, що для довільного натурального числа n>an > a виконується f(f(n−a)+n)=n+b.f(f(n - a) + n) = n + b.
10–11 класиВластивості монотонності або обме…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2014-009

Строго зростаюче інволютивне функціональне рівняння

Нехай f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} — строго зростаюча функція, причому f(x)>xf(x) > x для кожного xx. Припустимо, що f(x)+f−1(x)=2xf(x) + f^{-1}(x) = 2x для всіх x∈Rx \in \mathbb{R}. Доведіть, що f(x)=x+f(0)f(x) = x + f(0) для всіх x∈Rx \in \mathbb{R}.
10–11 класиМетод допоміжних функцій: g(x) =…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2014-010

Функціональна нерівність з оцінкою через максимум

Функція ff визначена на множині дійсних чисел R\mathbb{R}, набуває невід'ємних дійсних значень і задовольняє умову f(x+y)≤2max⁡{f(x),f(y)}f(x + y) \le 2 \max\{f(x), f(y)\} для всіх x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}. Чи правда, що для кожного натурального числа kk нерівність f(x1+⋯+xk)≤2(f(x1)+⋯+f(xk))f(x_1 + \cdots + x_k) \le 2(f(x_1) + \cdots + f(x_k)) виконується для всіх x1,…,xk∈Rx_1, \dots, x_k \in \mathbb{R}?
10–11 класиМетод математичної індукції
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2013-005

Функція на додатних раціональних числах з нерівностями

Позначимо через Q+\mathbb{Q}^+ множину всіх додатних раціональних чисел. Нехай f ⁣:Q+→Rf\colon \mathbb{Q}^+ \to \mathbb{R} — функція, що задовольняє такі умови: - для всіх x,y∈Q+x, y \in \mathbb{Q}^+ виконується нерівність f(x) f(y)⩾f(xy)f(x)\,f(y) \geqslant f(xy); - для всіх x,y∈Q+x, y \in \mathbb{Q}^+ виконується нерівність f(x)+f(y)⩽f(x+y)f(x) + f(y) \leqslant f(x+y); - існує раціональне число a>1a > 1 таке, що f(a)=af(a) = a. Доведіть, що f(x)=xf(x) = x для всіх x∈Q+x \in \mathbb{Q}^+.
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2012-006

Лінійна оцінка монотонної функції з одноколірною адитивністю

Кожне натуральне число пофарбували в червоний або в синій колір. Функція f:N→Nf : \mathbb{N} \to \mathbb{N} має такі властивості: — якщо x⩽yx \leqslant y, то f(x)⩽f(y)f(x) \leqslant f(y); — якщо натуральні числа xx, yy і zz (не обов'язково різні) пофарбовано в один колір, а x+y=zx + y = z, то f(x)+f(y)=f(z)f(x) + f(y) = f(z). Доведіть, що існує додатне число aa таке, що для всіх натуральних xx справджується нерівність f(x)⩽axf(x) \leqslant ax.
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2011-002

Кубічне функціональне рівняння

Знайдіть усі функції f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} такі, що f(x+f(y))−f(x)=(x+f(y))3−x3f(x + f(y)) - f(x) = (x + f(y))^3 - x^3 для всіх x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2010-001

Мультиплікативна неспадна функція

Функція f:Z→Z+f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}_{+}, де Z+\mathbb{Z}_{+} — множина натуральних чисел, є неспадною і задовольняє f(mn)=f(m)f(n)f(m n) = f(m) f(n) для всіх взаємно простих натуральних чисел mm та nn. Доведіть, що f(8)f(13)≥(f(10))2f(8) f(13) \geq (f(10))^{2}.
10–11 класиВластивості монотонності або обме…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2009-005

Функції з трикутником зі сторонами a, f(b) і f(b + f(a) - 1)

Знайдіть усі функції f:N→Nf : \mathbb{N} \to \mathbb{N} (тобто функції, що визначені на множині усіх натуральних чисел та приймають натуральні значення) такі, що для будь-яких двох натуральних чисел aa та bb існує невироджений трикутник, довжини сторін якого дорівнюють трьом числам aa, f(b)f(b) та f(b+f(a)−1)f\left(b + f(a) - 1\right). (Трикутник називається невиродженим, якщо його вершини не лежать на одній прямій).
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Шорт-лист IMOIMOSL-2009-002

Існування нерівності для довільної дійсної функції

Нехай ff — довільна функція, яка відображає множину дійсних чисел у множину дійсних чисел. Доведіть, що існують дійсні числа xx і yy такі, що f(x−f(y))>yf(x)+x.f(x-f(y))>y f(x)+x .
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2007-001

Функції з нерівністю f(m + n) і значення f(2007)

Розглянемо функції f:N→Nf: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}, які задовольняють умову f(m+n)≥f(m)+f(f(n))−1f(m+n) \geq f(m)+f(f(n))-1 для всіх m,n∈Nm, n \in \mathbb{N}. Знайдіть усі можливі значення f(2007)f(2007). (N\mathbb{N} позначає множину всіх натуральних чисел.)
10–11 класиВластивості монотонності або обме…
Балтійський шляхBW-2002-003

Послідовності зі співвідношенням суми квадратів

Знайдіть усі послідовності a0⩽a1⩽a2⩽…a_{0} \leqslant a_{1} \leqslant a_{2} \leqslant \ldots дійсних чисел такі, що am2+n2=am2+an2a_{m^{2}+n^{2}}=a_{m}^{2}+a_{n}^{2} для всіх цілих m,n⩾0m, n \geqslant 0.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2001-002

Періодичність із функціонального рівняння

Нехай ff — обмежена дійсна функція, визначена для всіх дійсних чисел, яка для всіх дійсних чисел xx задовольняє умову f(x+13)+f(x+12)=f(x)+f(x+56)f\left(x+\frac{1}{3}\right)+f\left(x+\frac{1}{2}\right)=f(x)+f\left(x+\frac{5}{6}\right) Доведіть, що ff — періодична. (Функція ff обмежена, якщо існує число LL таке, що ∣f(x)∣<L|f(x)|<L для всіх дійсних чисел xx. Функція ff періодична, якщо існує додатне число kk таке, що f(x+k)=f(x)f(x+k)=f(x) для всіх дійсних чисел xx.)
10–11 класиВластивості монотонності або обме…
Балтійський шляхBW-1996-010

Квадратичні образи з повторюваними значеннями

Дійсні числа x1,x2,…,x1996x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{1996} мають таку властивість: для довільного многочлена WW степеня 22 принаймні три з чисел W(x1),W(x2),…,W(x1996)W\left(x_{1}\right), W\left(x_{2}\right), \ldots, W\left(x_{1996}\right) рівні. Доведіть, що принаймні три з чисел x1,x2,…,x1996x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{1996} рівні.
10–11 класиВластивості монотонності або обме…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.