Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

2 443 задачі
ГеометріяКола
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2012-005

Точка перетину медіан і описане коло трикутника PQR

У трикутнику ABCABC через DD, EE та FF позначили середини сторін BCBC, CACA та ABAB відповідно. Коло, описане навколо трикутника BCFBCF, та пряма BEBE вдруге перетинаються у точці PP, а коло, описане навколо трикутника ABEABE, та пряма ADAD вдруге перетинаються у точці QQ. Прямі DPDP та FQFQ перетинаються в точці RR. Доведіть, що точка перетину медіан трикутника ABCABC лежить на описаному колі трикутника PQRPQR.
10–11 класиЗастосування тригонометрії
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2012-003

Кола через вершини трикутника, дотичні до вписаного кола

Точки II та OO — центри відповідно вписаного та описаного кіл трикутника ABCABC. Нехай ωA\omega_A — коло, що проходить через точки BB й CC, а також дотикається до вписаного кола трикутника ABCABC. Кола ωB\omega_B та ωC\omega_C визначимо аналогічно. Нехай також A′A' — відмінна від AA точка перетину кіл ωB\omega_B та ωC\omega_C, B′B' і C′C' — точки, визначені в аналогічний спосіб. Доведіть, що прямі AA′AA', BB′BB' і CC′CC' перетинаються в одній точці і ця точка належить прямій IOIO.
10–11 класиРадикальна вісь
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2011-014

Вписаний чотирикутник проєкцій і подібні трикутники на сторонах

Нехай EE — внутрішня точка опуклого чотирикутника ABCDABCD. Нехай FF, GG, HH і II — точки, що лежать по інший бік прямих ABAB, BCBC, CDCD і DADA відповідно, ніж чотирикутник, такі, що △ABF∼△DCE\triangle ABF \sim \triangle DCE, △BCG∼△ADE\triangle BCG \sim \triangle ADE, △CDH∼△BAE\triangle CDH \sim \triangle BAE і △DAI∼△CBE\triangle DAI \sim \triangle CBE. Нехай PP, QQ, RR і SS — проєкції точки EE на прямі ABAB, BCBC, CDCD і DADA відповідно. Доведіть, що якщо чотирикутник PQRSPQRS є вписаним, то EF⋅CD=EG⋅DA=EH⋅AB=EI⋅BC.EF \cdot CD = EG \cdot DA = EH \cdot AB = EI \cdot BC.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2011-016

Стала відстань між основами перпендикулярів

Нехай ABAB і CDCD — два діаметри кола CC. Для довільної точки PP на колі CC нехай RR і SS — основи перпендикулярів, опущених із PP на діаметри ABAB і CDCD відповідно. Доведіть, що довжина відрізка RSRS не залежить від вибору PP.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2011-020

Діаметр вписаного кола і паралельна пряма

Вписане коло трикутника ABCABC дотикається до сторін BCBC, CACA, ABAB у точках DD, EE, FF відповідно. Нехай GG — точка на вписаному колі така, що FGFG — діаметр. Прямі EGEG і FDFD перетинаються в точці HH. Доведіть, що CH∥ABCH \parallel AB.
10–11 класиГомотерія і подібність
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2011-006

Дотична до описаного кола та її відбиття від сторін

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, а Γ\Gamma — описане навколо нього коло. Нехай пряма ll — деяка дотична до кола Γ\Gamma і lal_a, lbl_b та lcl_c — прямі, які симетричні прямій ll відносно прямих BCBC, CACA та ABAB відповідно. Доведіть, що коло, описане навколо трикутника, що утворений прямими lal_a, lbl_b та lcl_c, дотикається до кола Γ\Gamma.
10–11 класиКола, що дотикаються
Шорт-лист IMOIMOSL-2011-003

Колінеарність у трикутнику з дотичним колом

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з описаним колом Ω\Omega. Нехай B0B_{0} — середина сторони ACAC, а C0C_{0} — середина сторони ABAB. Нехай DD — основа висоти з AA, а GG — центроїд трикутника ABCABC. Нехай ω\omega — коло через B0B_{0} і C0C_{0}, яке дотикається до кола Ω\Omega в точці X≠AX \neq A. Доведіть, що точки DD, GG і XX колінеарні.
10–11 класиРадикальна вісь2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2011-004

Інцентр із побудови в рівнобедреному трикутнику

Нехай ABCABC — трикутник з AB=ACAB = AC, а DD — середина сторони ACAC. Бісектриса кута ∠BAC\angle BAC перетинає коло, яке проходить через DD, BB і CC, у точці EE всередині трикутника ABCABC. Пряма BDBD перетинає коло, яке проходить через AA, EE і BB, у двох точках BB і FF. Прямі AFAF і BEBE перетинаються в точці II, а прямі CICI і BDBD перетинаються в точці KK. Доведіть, що II — інцентр трикутника KABKAB.
10–11 класиРадикальна вісь3 розв’язки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2010-014

Рівнобедрений трикутник з дотичним колом і відношенням відрізків

Точка LL — внутрішня точка сторони ACAC рівнобедреного трикутника ABCABC (AB=BCAB = BC). Коло ω\omega проходить через точку BB і дотикається до прямої ACAC в точці LL. Воно перетинає пряму ABAB у точках BB і DD, а пряму BCBC — у точках BB і EE. Нехай MM — середина відрізка DEDE, а N≠LN \neq L — перетин прямих BMBM і ACAC. Відомо, що ANCN=ALCL>1\frac{AN}{CN} = \frac{AL}{CL} > 1. Доведіть, що кут ALBALB дорівнює 60∘60^\circ.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2010-015

Точки з подібними педальними трикутниками

Нехай дано гострокутний трикутник. Опишіть усі його внутрішні точки, ортогональні проєкції яких на сторони утворюють трикутник, подібний до даного.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2010-017

Середина хорди та основа висоти

Припустимо, що всі кути трикутника ABCABC гострі. Нехай DD і EE — точки на сторонах ACAC і BCBC трикутника такі, що AA, BB, DD і EE лежать на одному колі. Крім того, припустимо, що коло через DD, EE і CC перетинає сторону ABAB у двох точках XX і YY. Доведіть, що середина відрізка XYXY є основою висоти з CC на сторону ABAB.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2010-018

Колінеарність перетинів дотичних у кінцях медіан

Нехай ABCABC — різносторонній і непрямокутний трикутник. Нехай A′A' — друга точка перетину медіани, проведеної з AA, з описаним колом трикутника. Нехай дотичні до описаного кола трикутника ABCABC у точках AA і A′A' перетинаються в точці A′′A''. Аналогічно визначимо точки B′′B'' і C′′C''. Доведіть, що точки A′′A'', B′′B'', C′′C'' колінеарні.
10–11 класиРадикальна вісь2 розв’язки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2010-019

Два кола через вершини квадрата і точка S

Нехай ABCDABCD — квадрат, а SS — точка перетину його діагоналей ACAC і BDBD. Два кола kk, k′k' проходять через AA, CC і BB, DD відповідно. Крім того, kk і k′k' перетинаються рівно у двох різних точках PP і QQ. Доведіть, що SS лежить на прямій PQPQ.
10–11 класиРадикальна вісь
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2010-022

Центр описаного кола на бісектрисі кута

У гострокутному трикутнику ABCABC відрізок CDCD — висота, а HH — ортоцентр. Відомо, що центр описаного кола трикутника лежить на прямій, що містить бісектрису кута DHBDHB. Знайдіть усі можливі значення ∠CAB\angle CAB.
10–11 класиСиметрія
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2010-026

Хорди при перетині двох кіл

Кола C1C_1 і C2C_2 перетинаються в точках AA і BB. Точки PP і QQ лежать на колі C2C_2, причому PP лежить усередині, а QQ — поза колом C1C_1. Прямі APAP і BPBP перетинають C1C_1 ще в точках XX і YY відповідно, а прямі QAQA і QBQB перетинають C1C_1 ще в точках ZZ і TT. Доведіть, що XY=ZTXY = ZT.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2010-002

Перетин прямих DG та EI на описаному колі

Точка II — центр кола, вписаного в трикутник ABCABC, а Γ\Gamma — коло, описане навколо цього трикутника. Пряма AIAI перетинає коло Γ\Gamma в точках AA і DD. Точка EE обрана на дузі BDCBDC, а точка FF — на стороні BCBC так, що ∠BAF=∠CAE<12∠BAC\angle BAF = \angle CAE < \frac{1}{2}\angle BAC. Точка GG — середина відрізка IFIF. Доведіть, що прямі DGDG і EIEI перетинаються в точці, що належить колу Γ\Gamma.
10–11 класиТеорема про тризуб
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2010-004

Внутрішня точка трикутника з умовою SC = SP

Нехай PP — точка всередині трикутника ABCABC. Прямі APAP, BPBP і CPCP удруге перетинають коло Γ\Gamma, описане навколо трикутника ABCABC, у точках KK, LL і MM відповідно. Дотична до кола Γ\Gamma, проведена через точку CC, перетинає пряму ABAB у точці SS. Відомо, що SC=SPSC = SP. Доведіть, що MK=MLMK = ML.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Шорт-лист IMOIMOSL-2010-005

Проєкції та відношення в опуклому многокутнику

Нехай A1A2…AnA_{1} A_{2} \ldots A_{n} — опуклий многокутник. Точку PP всередині цього многокутника вибрано так, що її проєкції P1,…,PnP_{1}, \ldots, P_{n} на прямі A1A2,…,AnA1A_{1} A_{2}, \ldots, A_{n} A_{1} відповідно лежать на сторонах многокутника. Доведіть, що для довільних точок X1,…,XnX_{1}, \ldots, X_{n} на сторонах A1A2,…,AnA1A_{1} A_{2}, \ldots, A_{n} A_{1} відповідно max⁡{X1X2P1P2,…,XnX1PnP1}≥1\max \left\{\frac{X_{1} X_{2}}{P_{1} P_{2}}, \ldots, \frac{X_{n} X_{1}}{P_{n} P_{1}}\right\} \geq 1
10–11 класиОписане коло2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2010-006

Інцентр у рівносторонньому вписаному трикутнику

Вершини XX, YY, ZZ рівностороннього трикутника XYZXYZ лежать відповідно на сторонах BCBC, CACA, ABAB гострокутного трикутника ABCABC. Доведіть, що інцентр трикутника ABCABC лежить усередині трикутника XYZXYZ. Вершини XX, YY, ZZ рівностороннього трикутника XYZXYZ лежать відповідно на сторонах BCBC, CACA, ABAB трикутника ABCABC. Доведіть, що якщо інцентр трикутника ABCABC лежить поза трикутником XYZXYZ, то один із кутів трикутника ABCABC більший за 120∘120^{\circ}.
10–11 класиВписане коло3 розв’язки
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2010-002

Перетини трьох кіл і відношення довжин

Три кола ΓA\Gamma_{A}, ΓB\Gamma_{B} і ΓC\Gamma_{C} мають спільну точку перетину OO. Другою спільною точкою кіл ΓA\Gamma_{A} і ΓB\Gamma_{B} є CC, кіл ΓA\Gamma_{A} і ΓC\Gamma_{C} — BB, а кіл ΓC\Gamma_{C} і ΓB\Gamma_{B} — AA. Пряма AOA O перетинає коло ΓC\Gamma_{C} у точці X≠OX \neq O. Аналогічно пряма BOB O перетинає коло ΓB\Gamma_{B} у точці Y≠OY \neq O, а пряма COC O перетинає коло ΓA\Gamma_{A} у точці Z≠OZ \neq O. Доведіть, що ∣AY∣∣BZ∣∣CX∣∣AZ∣∣BX∣∣CY∣=1\frac{|A Y||B Z||C X|}{|A Z||B X||C Y|}=1
10–11 класиЦентральні і вписані кути2 розв’язки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2009-017

Трисекція сторони в рівнобедреному трикутнику

Трикутник ABCABC рівнобедрений, причому AB=ACAB = AC. Точка PP всередині трикутника ABCABC задовольняє дві умови: (i) AA лежить на трисектрисі кута ∠BPC\angle BPC, тобто пряма APAP перетинає сторону BCBC у точці QQ такій, що ∠BPC=3∠QPC\angle BPC = 3 \angle QPC; (ii) ∠BPQ=∠BAC\angle BPQ = \angle BAC. Доведіть, що QQ — точка поділу відрізка BCBC на три рівні частини, тобто BC=3⋅QCBC = 3 \cdot QC.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2009-018

Колінеарність у колі з діаметром

Нехай ABAB — діаметр кола Γ\Gamma з центром OO, а CC і DD — точки на колі Γ\Gamma, по різні боки від прямої ABAB, такі, що прямі ADAD і CBCB перетинаються в точці RR. Описані кола трикутників AOCAOC і BODBOD перетинаються також у точці QQ. Прямі CDCD і ABAB перетинаються в точці PP. Доведіть, що точки Q,PQ, P і RR лежать на одній прямій.
10–11 класиРадикальна вісь
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2009-002

Дотик кола KLM до PQ і OP = OQ

Точка OO – центр кола, що описане навколо трикутника ABCABC. Нехай PP та QQ – внутрішні точки сторін CACA та ABAB відповідно. Точки K,LK, L та MM – середини відрізків BP,CQBP, CQ та PQPQ відповідно, а Γ\Gamma – це коло, що проходить через точки K,LK, L та MM. Відомо, що пряма PQPQ дотикається до кола Γ\Gamma. Доведіть, що OP=OQOP = OQ.
10–11 класиДотична кола
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2009-004

Рівнобедрений трикутник з бісектрисами та кутом BEK

Трикутник ABCABC такий, що AB=ACAB = AC. Бісектриси кутів CABCAB та ABCABC перетинають сторони BCBC та CACA в точках DD та EE відповідно. Позначимо через KK центр кола, що вписане в трикутник ADCADC. Виявилось, що ∠BEK=45∘\angle BEK = 45^\circ. Знайдіть усі можливі значення кута CABCAB.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Шорт-лист IMOIMOSL-2009-004

Конкурентність середин відрізків Ейлера

Нехай сторони ADAD і BCBC чотирикутника ABCDABCD (такого, що сторона ABAB не паралельна стороні CDCD) перетинаються в точці PP. Точки O1O_{1} і O2O_{2} — центри описаних кіл, а точки H1H_{1} і H2H_{2} — ортоцентри трикутників ABPABP і DCPDCP відповідно. Позначимо середини відрізків O1H1O_{1}H_{1} і O2H2O_{2}H_{2} через E1E_{1} і E2E_{2} відповідно. Доведіть, що перпендикуляр з E1E_{1} на пряму CDCD, перпендикуляр з E2E_{2} на пряму ABAB і пряма H1H2H_{1}H_{2} проходять через одну точку.
10–11 класиКоло Ейлера (коло 9 точок)2 розв’язки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.