Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

1 637 задач
АлгебраНерівності
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-046

Екстремум суми квадратних коренів за квадратичної умови

Визначити найбільше можливе значення та найменше можливе значення виразу 4−a2+4−b2+4−c2\sqrt{4-a^{2}}+\sqrt{4-b^{2}}+\sqrt{4-c^{2}} коли a,b,ca, b, c — невід'ємні дійсні числа, що задовольняють a2+b2+c2=6a^{2}+b^{2}+c^{2}=6.
9–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-050

Квадрат між послідовними сумами трикутних чисел

Для кожного цілого n⩾1n \geqslant 1 покладемо Sn=x1+x2+⋯+xnS_{n} = x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n}, де xk=k(k+1)2x_{k} = \frac{k(k+1)}{2} для кожного k⩾1k \geqslant 1. Доведіть, що для кожного n⩾10n \geqslant 10 існує ціле число ana_{n} таке, що Sn−1<an2<SnS_{n-1} < a_{n}^{2} < S_{n}.
9–11 класиСуми послідовностей
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-013

Мінімум виразу четвертого степеня

Знайдіть найменше можливе значення (x2+6x+2)2\left(x^{2}+6x+2\right)^{2} для всіх дійсних чисел xx.
10–11 класиЧислові нерівності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-080

Оптимальна стала в квадратичній нерівності

Знайдіть найбільше дійсне число λ\lambda таке, що a2+b2+c2+d2≥ab+λbc+cda^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} \geq a b+\lambda b c+c d для всіх дійсних чисел a,b,c,da, b, c, d.
10–11 класиНерівність Коші
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-029

Показникове відношення, що перевищує поріг

Знайдіть найменше натуральне число nn таке, що 5n+1+2n+15n+2n>4.99.\frac{5^{n+1} + 2^{n+1}}{5^{n} + 2^{n}} > 4.99.
10–11 класиПеретворення показникових і логар…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-053

Максимізація суми при обмеженні на площу

Нехай a,ba, b — додатні дійсні числа, причому a>b>12aa > b > \frac{1}{2} a. Два квадрати з довжинами сторін a,ba, b поставлено поруч так, щоб більший квадрат мав лівий нижній кут у точці (0,0)(0,0), а менший квадрат — лівий нижній кут у точці (a,0)(a, 0). Через точки (0,a)(0, a) і (a+b,0)(a+b, 0) проведено пряму. Частина двох квадратів, яка лежить вище цієї прямої, має площу 20132013. Якщо (a,b)(a, b) — єдина пара, що максимізує a+ba+b, обчисліть ab\frac{a}{b}.
10–11 класиЧислові нерівності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-056

Трикутник, висоти якого утворюють трикутник

Трикутник ABCABC має периметр 11. Його три висоти є довжинами сторін деякого трикутника. Знайдіть множину всіх можливих значень min⁡(AB,BC,CA)\min(AB, BC, CA).
10–11 класиНерівність трикутника
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-065

Прямокутник у колі з перпендикулярними хордами

Хорди AB‾\overline{AB} і CD‾\overline{CD} кола ω\omega перетинаються в точці EE так, що AE=8AE=8, BE=2BE=2, CD=10CD=10 і ∠AEC=90∘\angle AEC=90^{\circ}. Нехай RR — прямокутник усередині кола ω\omega зі сторонами, паралельними AB‾\overline{AB} і CD‾\overline{CD}, такий, що жодна внутрішня точка RR не лежить на AB‾\overline{AB}, CD‾\overline{CD} чи на межі кола ω\omega. Знайдіть найбільшу можливу площу прямокутника RR.
10–11 класиМетод координат
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-073

Упорядкування трансцендентних і алгебраїчних чисел

Виберіть підмножину з принаймні чотирьох із цих семи чисел, упорядкуйте їх від найменшого до найбільшого та запишіть їхні позначки (відповідні літери від AA до GG) у цьому порядку: (A)(A) π\pi; (B)(B) 2+3\sqrt{2}+\sqrt{3}; (C)(C) 10\sqrt{10}; (D)(D) 355113\frac{355}{113}; (E)(E) 16tg⁡−115−4tg⁡−1124016 \operatorname{tg}^{-1} \frac{1}{5} - 4 \operatorname{tg}^{-1} \frac{1}{240}; (F)(F) ln⁡(23)\ln(23); (G)(G) 2e2^{\sqrt{e}}. Якщо порядок вибраних вами чисел правильний і ви вибрали принаймні 4 числа, то ваш бал за цю задачу становитиме (N−2)(N−3)(N-2)(N-3), де NN — розмір вашої підмножини; інакше ваш бал дорівнює 00.
10–11 класиНаближення дійсних чисел і оцінки
Відбіркові тести на IMOTST-2013-001

Максимізація триколірних трикутників у клубі

У соціальному клубі 2k+12k + 1 членів, кожен з яких вільно володіє тими самими kk мовами. Будь-яка пара членів завжди розмовляє між собою лише однією мовою. Припустимо, що не існує трьох членів, які між собою користуються лише однією мовою. Нехай AA — кількість підмножин із трьох членів, у яких три різні пари розмовляють різними мовами. Знайдіть найбільше можливе значення AA.
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Відбіркові тести на IMOTST-2013-046

Нерівність для зважених сум

Нехай x1,…,xnx_1, \dots, x_n — невід'ємні дійсні числа, не всі з яких дорівнюють нулю. (i) Доведіть, що 1≤(x1+x22+x33+⋯+xnn)⋅(x1+2x2+3x3+⋯+nxn)(x1+x2+x3+⋯+xn)2≤(n+1)24n.1 \le \frac{\left(x_1 + \frac{x_2}{2} + \frac{x_3}{3} + \dots + \frac{x_n}{n}\right) \cdot \left(x_1 + 2x_2 + 3x_3 + \dots + nx_n\right)}{\left(x_1 + x_2 + x_3 + \dots + x_n\right)^2} \le \frac{(n+1)^2}{4n}. (ii) Покажіть, що для кожного n≥1n \ge 1 обидві нерівності можуть виконуватись як рівності.
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Відбіркові тести на IMOTST-2013-042

Нерівність із симетричним кубічним обмеженням

Додатні дійсні числа xx, yy, zz задовольняють рівність xyz+xy+yz+zx=x+y+z+1xyz + xy + yz + zx = x + y + z + 1. Доведіть, що 13(1+x21+x+1+y21+y+1+z21+z)≤(x+y+z3)5/8.\frac{1}{3} \left( \sqrt{\frac{1+x^2}{1+x}} + \sqrt{\frac{1+y^2}{1+y}} + \sqrt{\frac{1+z^2}{1+z}} \right) \le \left( \frac{x+y+z}{3} \right)^{5/8}.
10–11 класиНерівність Коші
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2013-008

Мінімальна сума на еліпсі

Нехай xx і yy — дійсні числа такі, що x2+4y2=1x^{2} + 4 y^{2} = 1; чому дорівнює найменше значення ∣x∣+2∣y∣|x| + 2|y|? (A) 12\frac{1}{2} (B) 1 (C) 2\sqrt{2} (D) 1+221 + \frac{\sqrt{2}}{2} (E) 2
9–11 класиЧислові нерівності
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2013-006

Максимум суми попарних добутків

Нехай n≥2n \ge 2 — натуральне число. Визначимо множину TT так: T={(i,j):1≤i<j≤n і i∣j}.T = \{ (i, j) : 1 \le i < j \le n \text{ і } i \mid j \}. Для невід’ємних дійсних чисел x1,x2,…,xnx_1, x_2, \dots, x_n, які задовольняють умову x1+x2+⋯+xn=1x_1 + x_2 + \dots + x_n = 1, знайдіть найбільше значення (як функцію від nn) виразу ∑(i,j)∈Txixj.\sum_{(i,j) \in T} x_i x_j.
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2013-010

Десять повних квадратів в інтервалі

Нехай aa — натуральне число таке, що існує рівно 10 повних квадратів, більших за aa і менших за 2a2a. a) Знайдіть найменше можливе значення aa. b) Знайдіть найбільше можливе значення aa.
10–11 класиЧислові нерівності
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2013-015

Добуток збільшених на один цифр дорівнює числу

а) Знайдіть усі натуральні двоцифрові числа ab‾\overline{a b} такі, що: (a+1)(b+1)=ab‾+1(a+1)(b+1)=\overline{a b}+1 б) Знайдіть усі натуральні трицифрові числа abc‾\overline{a b c} такі, що: (a+1)(b+1)(c+1)=abc‾+1(a+1)(b+1)(c+1)=\overline{a b c}+1
10–11 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2013-021

Попарні суми різних цілих чисел

Торговець отримав чотири мішки картоплі й хоче виміряти вагу кожного з них. Він знає, що ваги цих мішків у кілограмах є різними цілими числами. Припустимо, що ваги мішків (у кілограмах) дорівнюють a,b,ca, b, c і dd, причому a<b<c<da<b<c<d. a) Покажіть, що при зважуванні мішків по два найбільший результат дорівнює c+dc+d, а другий за величиною — b+db+d. Покажіть також, що найменший результат дорівнює a+ba+b, а другий найменший — a+ca+c. b) Терези торговця зламалися. Тепер вони здатні показувати лише ваги, не менші за 100 кілограмів. Тоді він вирішує зважити мішки по два, виконавши таким чином шість зважувань. У чотирьох зважуваннях він отримав такі результати (у кілограмах): 101, 112, 116 і 127. В інших двох він зміг лише з'ясувати, що суми не перевищували 100 кілограмів. Знайдіть ваги чотирьох мішків.
10–11 класиЧислові нерівності
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2012-001

Нерівність зі зваженими показниками

Нехай xx, yy і zz — додатні дійсні числа. Доведіть, що x2+xy2+xyz2≥4xyz−4x^{2} + x y^{2} + x y z^{2} \geq 4 x y z - 4.
10–11 класиЧислові нерівності
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2012-002

Циклічна нерівність для дійсних чисел

Нехай aa, bb, cc і dd — додатні дійсні числа. Доведіть, що a−bb+c+b−cc+d+c−dd+a+d−aa+b≥0\frac{a-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+d}+\frac{c-d}{d+a}+\frac{d-a}{a+b} \geq 0
10–11 класиІнші класичні нерівності
Відбіркові тести на EGMOEGTST-2012-003

Нерівність з циклічною сумою a/(b + tc)

Доведіть, що для всіх дійсних a,b,c>0a, b, c > 0 і для будь-якого дійсного t⩾0t \geqslant 0 виконується ab+tc+bc+ta+ca+tb⩾31+t.\frac{a}{b+t c}+\frac{b}{c+t a}+\frac{c}{a+t b} \geqslant \frac{3}{1+t} .
10–11 класиНерівність Коші
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2012-014

Нерівність зі степенями та лінійними членами

Нехай aa — дійсне число, 0≤a≤10 \le a \le 1. Доведіть, що для будь-якого невід'ємного цілого числа nn виконується нерівність (n+1)a≤n+an+1(n+1)a \le n + a^{n+1}.
10–11 класиНерівність Коші3 розв’язки
Французька математична олімпіадаFRMO-2012-019

Сума впорядкованих дійсних чисел з умовою на обернені квадрати

Нехай nn — ціле число та дійсні числа 0<u1<u2<…<un0 < u_{1} < u_{2} < \ldots < u_{n} такі, що u1+u2+…+un=1u12+1u22+…+1un2u_{1} + u_{2} + \ldots + u_{n} = \frac{1}{u_{1}^{2}} + \frac{1}{u_{2}^{2}} + \ldots + \frac{1}{u_{n}^{2}} Доведіть, що для будь-якого цілого kk, меншого або рівного nn, існує kk чисел серед u1,u2,…,unu_{1}, u_{2}, \ldots, u_{n}, сума яких більша або дорівнює kk.
9–11 класиНерівність Коші
Французька математична олімпіадаFRMO-2012-016

Нерівність для додатних чисел з оберненими величинами

Нехай xx, yy і zz — додатні дійсні числа такі, що x+y+z⩾1x+1y+1zx + y + z \geqslant \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} Доведіть, що xy+yz+zx⩾1xy+1yz+1zx\frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x} \geqslant \frac{1}{x y} + \frac{1}{y z} + \frac{1}{z x}
9–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-076

Степенева вежа з двійок більша за вежу з трійок

Знайдіть найменше натуральне число nn таке, що 222⋯⏟n>3333\underbrace{2^{2^{2 \cdots}}}_{n} > 3^{3^{3^{3}}}. (Позначення 222⋯⏟n\underbrace{2^{2^{2 \cdots}}}_{n} використовується для позначення степеневої вежі з nn чисел 22. Наприклад, 2222⏟n=4\underbrace{2^{2^{2^{2}}}}_{n=4} дорівнює 22222^{2^{2^{2}}}.)
10–11 класиЧислові нерівності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-098

Максимальний шлях у рівносторонньому трикутнику

Трикутник ABCABC — рівносторонній зі стороною 11. Нехай X0,X1,…X_{0}, X_{1}, \ldots — нескінченна послідовність точок, для якої виконуються такі умови: - X0X_{0} — центр трикутника ABCABC. - Для всіх i≥0i \geq 0, X2i+1X_{2i+1} лежить на відрізку ABAB, а X2i+2X_{2i+2} лежить на відрізку ACAC. - Для всіх i≥0i \geq 0, ∡XiXi+1Xi+2=90∘\measuredangle X_{i} X_{i+1} X_{i+2} = 90^{\circ}. - Для всіх i≥1i \geq 1, Xi+2X_{i+2} лежить у трикутнику AXiXi+1A X_{i} X_{i+1}. Знайдіть найбільше можливе значення ∑i=0∞∣XiXi+1∣\sum_{i=0}^{\infty} |X_{i} X_{i+1}|, де ∣PQ∣|PQ| — довжина відрізка PQPQ.
10–11 класиЕкстремальні геометричні конструк…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.