Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

2 456 задач
КомбінаторикаКонструкції
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-23-24-006

Найменша гарантована невдоволеність ста котів

Господарка втримує 100100 котів та має 100100 пакетів корму, маса кожного пакета — 11 кг. Для кожного із цих котів є своя миска, яка розрахована на певну масу корму (ця маса не обов'язково ціла величина), причому їхня сумарна місткість дорівнює 100100 кг. Коли кіт з мискою, що розрахована на mm кг, отримує MM кг корму (MM може бути більше за mm), то назвемо його рівнем невдоволеності величину ∣m−M∣|m-M|. Яку найменшу сумарну невдоволеність може гарантовано забезпечити господарка, використавши всі пакети, незалежно від місткості мисок її котів, якщо кожному коту вона може дати деяку цілу (можливо, нульову) кількість пакетів корму?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-23-24-007

Максимальна довжина послідовності без нульової суми зі знаками

Визначте максимальну довжину LL послідовності натуральних чисел a1,a2,…,aLa_1, a_2, \ldots, a_L, що задовольняє такі дві властивості: - кожний член послідовності не перевищує 220232^{2023}; - не існує такої підпослідовності ai,ai+1,…,aj−1,aja_i, a_{i+1}, \ldots, a_{j-1}, a_j, де 1⩽i⩽j⩽L1 \leqslant i \leqslant j \leqslant L, для якої можна вибрати знаки si,si+1,…,sj−1,sj∈{−1,+1}s_i, s_{i+1}, \ldots, s_{j-1}, s_j \in \{-1, +1\}, щоб справджувалася рівність siai+si+1ai+1+…+sj−1aj−1+sjaj=0s_i a_i + s_{i+1} a_{i+1} + \ldots + s_{j-1} a_{j-1} + s_j a_j = 0.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-23-24-009

Найбільше C для розфарбування точок кола в k кольорів

Є kk кольорів. Знайдіть найбільше натуральне число CC, що для довільного натурального числа n⩾Cn \geqslant C можна пофарбувати nn точок на колі в kk кольорів так, щоб серед кожних CC послідовних точок усі кольори були попарно різні.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-23-24-006

Максимальна кількість компаній на паромних лініях островів

Архіпелаг Імомі складається з n⩾2n \geqslant 2 островів. Між кожною парою островів існує паромне сполучення в обох напрямках. Кожною паромною лінією керує одна з kk компаній. Відомо, якщо будь-яка компанія закриє всі свої паромні лінії, то це унеможливить для мандрівника, звідки б він не відправився, відвідати всі острови рівно один раз (зокрема, не повертаючись на острів, з якого стартував). Якого максимально можливого значення може набувати kk залежно від nn?
10–11 класиШляхи на графах
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-22-23-003

Найменша кількість непорожніх купок камінців

Дано натуральне число nn. Ми починаємо з nn купок камінців, коли в кожній купці є по одному камінцю. За одну операцію можна вибрати довільні дві непорожні купки, узяти з них однакову кількість камінців і сформувати з них окрему купку. Для кожного натурального nn знайдіть найменшу можливу кількість непорожніх купок, яку можна отримати за скінченну кількість таких операцій.
10–11 класиІнші інваріанти
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-22-23-004

Зростаючі числа з різницями-степенями числа r

Знайдіть усі натуральні числа n⩾2n \geqslant 2, для яких існують nn дійсних чисел a1<a2<…<ana_1 < a_2 < \ldots < a_n та дійсне число r>0r > 0 таких, що 12n(n−1)\frac{1}{2}n(n-1) різниць aj−aia_j - a_i, 1⩽i<j⩽n1 \leqslant i < j \leqslant n, дорівнюють у якомусь порядку числам r1,r2,…,r12n(n−1)r^1, r^2, \ldots, r^{\frac{1}{2}n(n-1)}.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-22-23-005

Максимальна сума відстаней пар на дошці 2n на 2n

На дошці розміром 2n×2n2n \times 2n у кожній клітинці стоїть стілець, і 2n22n^2 пар осіб хочуть зайняти місця. Назвемо відстанню для пари суму різниць номерів стовпців та номерів рядків клітинок, де сидять люди із цієї пари. Наприклад, якщо пара зайняла місця (3,3)(3, 3) та (2,5)(2, 5), то відстань для цієї пари дорівнює ∣3−2∣+∣3−5∣=3|3-2|+|3-5|=3. Якої може бути максимальна сума відстаней для всіх пар?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-22-23-010

Гарантований модуль суми підпослідовності з кроком до двох

Назвемо ±1\pm 1-послідовністю послідовність із 20222022 чисел a1,a2,…,a2022a_1, a_2, \ldots, a_{2022}, кожне з яких рівне 11 чи −1-1. Знайдіть найбільше число CC таке, що для будь-якої ±1\pm 1-послідовності існують натуральне kk та індекси 1⩽t1<t2<…<tk⩽20221 \leqslant t_1 < t_2 < \ldots < t_k \leqslant 2022 такі, що ti+1−ti⩽2t_{i+1} - t_i \leqslant 2 для всіх i=1,k−1‾i = \overline{1, k-1}, а також ∣∑i=1kati∣⩾C.\left|\sum_{i=1}^{k} a_{t_i}\right| \geqslant C.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-22-23-001

Найменша множина чисел з сумами k інших

Задано ціле число k⩾2k \geqslant 2. Знайдіть найменше ціле число n⩾k+1n \geqslant k+1, що має таку властивість: існує множина з nn попарно різних дійсних чисел, у якій кожний з її елементів може бути поданий як сума kk інших попарно різних елементів.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-22-23-006

Дивні числа серед перших N натуральних чисел

Нехай QQ — це множина, що складається лише з деяких простих чисел (не обов’язково скінченна). Для натурального числа nn розглянемо його розклад на прості множники, через p(n)p(n) позначимо суму степенів входжень простих чисел у цей розклад, а через q(n)q(n) — суму степенів входжень простих чисел із множини QQ. Назвемо число nn дивним, якщо обидва числа p(n)+p(n+1)p(n) + p(n+1) та q(n)+q(n+1)q(n) + q(n+1) є парними. Доведіть, що існує така стала c>0c > 0, значення якої не залежить від множини QQ та для всіх натуральних чисел N>100N > 100 кількість дивних чисел серед чисел 1,2,…,N1, 2, \ldots, N є більшою за cNcN. Наприклад, якщо Q={3,7}Q = \{3, 7\}, то для n=42=2⋅3⋅7n = 42 = 2 \cdot 3 \cdot 7 маємо p(42)=3p(42) = 3, q(42)=2q(42) = 2; для n=63=32⋅7n = 63 = 3^2 \cdot 7 маємо p(63)=3p(63) = 3, q(63)=3q(63) = 3; для n=2022=2⋅3⋅337n = 2022 = 2 \cdot 3 \cdot 337 маємо p(2022)=3p(2022) = 3, q(2022)=1q(2022) = 1.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-22-23-008

Зважені часткові суми чисел з нульовою сумою

Для заданого натурального числа n⩾2n \geqslant 2 є дійсні числа a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n із проміжку [−1,1][-1, 1], сума яких дорівнює 00. а) Доведіть, що існує таке число k∈{1,2,…,n}k \in \{1, 2, \ldots, n\}, коли справджується нерівність ∣a1+2a2+…+kak∣⩽2k+14.\left| a_1 + 2a_2 + \ldots + ka_k \right| \leqslant \frac{2k+1}{4}. б) Доведіть, що для n>2n > 2 існує такий набір чисел a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n, що відповідає умові задачі, а також для будь-якого k∈{1,2,…,n}k \in \{1, 2, \ldots, n\} справджується нерівність ∣a1+2a2+…+kak∣⩾2k+14.\left| a_1 + 2a_2 + \ldots + ka_k \right| \geqslant \frac{2k+1}{4}.
10–11 класиСуми послідовностей
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-22-23-011

Максимальна кількість гострокутних трикутників на двох прямих

На двох горизонтальних прямих вибрано n=2m+1n = 2m + 1 точка A1,A2,…,AnA_1, A_2, \ldots, A_n. Ці nn точок відмічено на заданих прямих таким чином, щоб серед усіх трикутників із вершинами в цих точках AiAjAkA_iA_jA_k, 1⩽i<j<k⩽n1 \leqslant i < j < k \leqslant n, утворилася максимальна кількість гострокутних трикутників. Скільки гострокутних трикутників при цьому утворилося? Примітка. Вироджені трикутники, тобто трикутники, у яких усі три вершини лежать на одній прямій, не враховуємо.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-21-22-004

Дівчата і хлопці по колу та сусіди-дівчата

Нехай nn і kk — два натуральних числа, n>k⩾1n > k \geqslant 1. По колу стоїть 2n+12n + 1 студент. У кожного зі студентів є 2k2k сусідів — kk найближчих студентів праворуч від нього та kk найближчих студентів ліворуч від нього. Нехай серед студентів є n+1n + 1 дівчина та nn хлопців. Доведіть, що є дівчина, у якої серед сусідів є принаймні kk дівчат.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-21-22-006

Кулі n кольорів по колу та n-яскраві числа

Нехай n⩾3n \geqslant 3 є натуральним числом. Число m⩾n+1m \geqslant n+1 назвемо nn-яскравим, якщо, маючи нескінченно багато куль кожного з nn кольорів C1,C2,…,CnC_1, C_2, \ldots, C_n, можна розмістити mm з них по колу так, щоб у кожній групі з n+1n+1 кулі, що йдуть поспіль по колу, була принаймні одна куля кожного з nn кольорів C1,C2,…,CnC_1, C_2, \ldots, C_n. Доведіть, що існує лише скінченна кількість натуральних чисел, що не є nn-яскравими. Знайдіть найбільше таке число.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-21-22-007

Найменше значення суми цілих частин перестановки

Дано натуральне число n=2kn = 2^k. Якого найменшого значення може набувати вираз [a11]+[a22]+…+[ann],\left[\frac{a_1}{1}\right] + \left[\frac{a_2}{2}\right] + \ldots + \left[\frac{a_n}{n}\right], де (a1,a2,…,an)(a_1, a_2, \ldots, a_n) є перестановкою чисел (1,2,…,n)(1, 2, \ldots, n)?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-21-22-011

Найменша кількість прямих для n точок загального розташування

Нехай натуральне число n⩾2n \geqslant 2. Знайдіть найменше натуральне число mm, для якого справджується умова: для довільних nn точок на площині загального розташування існують mm прямих, жодна з яких не проходить через задані точки та які розташовані по різні боки від прямої, що проходить через довільні точки X≠YX \ne Y.
10–11 класиДискретні набори точок та прямих…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-20-21-001

Найменша кількість стертих чисел з умовою на 5a+b

Маємо натуральні числа 1,2,3,…,20201, 2, 3, \ldots, 2020. Яку найменшу кількість чисел треба стерти, щоб для будь-яких двох чисел a>ba > b, що залишилися, сума 5a+b5a + b не ділилася націло на різницю a−ba - b?
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-20-21-005

Знакозмінна сума після викидання одного нуля чи одиниці

У рядок виписано декілька чисел, кожне з яких дорівнює 00 чи 11. Доведіть, що можна викинути одне з них або не викидати жодного так, щоб знакозмінна сума чисел, що лишилися, дорівнювала 00. Примітка. Знакозмінна сума послідовності a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n невід'ємних чисел — це сума, що визначається в такий спосіб: a1−a2+a3−a4+…+(−1)n+1ana_1 - a_2 + a_3 - a_4 + \ldots + (-1)^{n+1} a_n. Наприклад, якщо виписано числа 1,0,0,0,1,0,11, 0, 0, 0, 1, 0, 1, то можна викинути другу справа одиницю й отримати таку знакозмінну суму: 1−0+0−0+0−1=01 - 0 + 0 - 0 + 0 - 1 = 0.
10–11 класиІнші інваріанти
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-20-21-007

Найменша множина з фібоначчевими різницями

Розглянемо послідовність Фібоначчі (Fn)(F_n), яку задано умовами F0=0,F1=1F_0 = 0, F_1 = 1 і Fk+1=Fk+Fk−1F_{k+1} = F_k + F_{k-1} для всіх FnF_n. Задано натуральне число n⩾2n \geqslant 2 і множину S⊂ZS \subset Z таку, що для всіх k=2,3,…,nk = 2, 3, \ldots, n існують x,y∈Sx, y \in S, для яких x−y=Fkx - y = F_k. Яку найменшу можливу кількість елементів може містити така множина SS?
10–11 класиДерева
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-20-21-012

Найбільша кількість точок перетину діагоналей на оболонці

В опуклому nn-кутнику при n⩾5n \geqslant 5 провели деяку кількість діагоналей. Яку найбільшу кількість точок перетину цих діагоналей, відмінних від вершин nn-кутника, може мати опукла оболонка? Примітка. Опуклою оболонкою VV скінченної множини точок MM на площині називають найменший опуклий многокутник, що містить усі точки MM, тобто для будь-якого іншого многокутника UU, що містить усі точки множини MM, справджується включення M⊂V⊂UM \subset V \subset U.
10–11 класиОпуклі множини
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-20-21-012

Впорядкування множини з неподільністю сум сусідів

Нехай SS — множина, яка складається з n⩾3n \geqslant 3 різних натуральних чисел таких, що сума будь-яких двох із них не належить множині SS. Доведіть, що елементи множини SS a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n можна впорядкувати так, що aia_i не ділить суму чисел ai−1+ai+1a_{i-1} + a_{i+1} для всіх i=2,3,…,n−1i = 2, 3, \ldots, n - 1.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-19-20-003

Зростаючі доданки двійки та найближча до одиниці сума

Є n⩾3n \geqslant 3 чисел 0<a1<a2<…<an0<a_1<a_2<\ldots<a_n, сума яких дорівнює 22. Нехай XX — це така підмножина множини {1,2,…,n}\{1, 2, \ldots, n\}, для якої значення ∣1−∑i∈Xai∣\left|1-\sum\limits_{i \in X} a_i\right| — найменше з можливих. Доведіть, що існують числа 0<b1<b2<…<bn0<b_1<b_2<\ldots<b_n, сума яких дорівнює 22 та для яких ∑i∈Xbi=1\sum\limits_{i \in X} b_i=1.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-19-20-008

Місто щонайбільше з одним виїздом серед односторонніх доріг

В Аліси є мапа деякої казкової країни, у якій є всього n>1n > 1 міст. Між будь-якими двома містами існує єдина вузенька дорога. 10 серпня усі ці дороги стали односторонніми. Аліса не знає, який напрямок руху став на дорогах. Вона хоче дізнатися, чи є в країні принаймні одне місто, яке має максимум одну дорогу, якою з міста можна виїхати. За одне запитання до укладача напрямків доріг вона може дізнатися про напрямок руху рівно по одній будь-якій дорозі. Доведіть, що не більше ніж за 4n4n запитань вона зможе дізнатися про те, що хоче.
10–11 класиОрієнтовані графи
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-19-20-012

Рівність сум цифр числа без дев’яток та його добутку

Позначимо через S(k)S(k) суму цифр числа kk. Доведіть, що існує таке натуральне число nn, яке не містить у своєму десятковому записі цифр 99 та для якого S(21000000n)=S(n)S(2^{1000000}n)=S(n).
7–9 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-19-20-009

Найменша сукупність підмножин множини з 2ⁿ елементів

Дано натуральне число nn. Нехай CC — така сукупність підмножин множини {1,2,…,2n}\{1, 2, \ldots, 2^n\}, що: - усі підмножини множини {1,2,3,…,2n}\{1, 2, 3, \ldots, 2^n\}, що складаються з (2n−1)(2^n - 1) елементів, містяться в CC; - кожна непорожня множина S∈CS \in C містить такий елемент s∈{1,2,3,…,2n}s \in \{1, 2, 3, \ldots, 2^n\}, що множина S\{s}S \backslash \{s\} також належить до CC. Яка найменша кількість елементів може бути в CC?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.