Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

2 236 задач
КомбінаторикаМетоди комбінаторних обчислень
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-048

Випадкова степенева послідовність за модулем 5

Нехай a0,a1,a2,…a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots — нескінченна послідовність, кожен член якої незалежно та рівномірно навмання набуває значення з множини {1,2,3,4}\{1,2,3,4\}. Означимо нескінченну послідовність b0,b1,b2,…b_{0}, b_{1}, b_{2}, \ldots рекурентно: b0=1b_{0}=1 і bi+1=aibib_{i+1}=a_{i}^{b_{i}}. Обчисліть математичне сподівання найменшого натурального числа kk такого, що bk≡1(mod5)b_{k} \equiv 1 \pmod{5}.
10–11 класиСтепені за модулем. Періодичність…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-049

Лампочки в сітці з перемикачами рядків і стовпців

Є сітка лампочок розміром 6×66 \times 6. Зверху кожного стовпця та зліва від кожного рядка є вимикач. Лампочка вмикається лише тоді, коли вимикачі, що відповідають і її стовпцю, і її рядку, перебувають у положенні «увімкнено». Обчисліть кількість різних конфігурацій лампочок.
10–11 класиБієкції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-051

Очікувана кількість дільників добутку випадкової підмножини

Підмножину SS множини {1,2,…,10}\{1,2, \ldots, 10\} вибирають випадково, причому всі можливі підмножини рівноймовірні. Обчисліть математичне сподівання кількості натуральних чисел, які ділять добуток елементів множини SS. (За домовленістю добуток елементів порожньої множини дорівнює 11.)
10–11 класиКількість дільників τ(n)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-057

Розфарбування семикутника без одноколірних рівнобедрених трикутників

Обчисліть кількість способів розфарбувати вершини правильного семикутника в червоний, зелений або синій кольори (повороти та відбиття вважаються різними) так, щоб жоден рівнобедрений трикутник, вершини якого є вершинами семикутника, не мав усіх трьох вершин одного кольору.
10–11 класиГеометричні розфарбування
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-064

Граф дружби-ворожнечі з умовами на степені

На вечірці HMMT є mm студентів MIT і hh студентів Гарварду для деяких натуральних чисел mm і hh. Кожна пара людей на вечірці — або друзі, або вороги. Якщо кожен студент MIT має 16 друзів з MIT і 8 друзів з Гарварду, а кожен студент Гарварду має 7 ворогів з MIT і 10 ворогів з Гарварду, обчисліть, скільки пар друзів є на вечірці.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-067

Зважена сума за цілочисельними трійками

Обчисліть ∑a+b+c=12a≥6, b, c≥0a!b!c!(a−b−c)!\sum_{\substack{a+b+c=12 \\ a \geq 6,\ b,\ c \geq 0}} \frac{a!}{b!c!(a-b-c)!} де сума береться за всіма трійками невід'ємних цілих чисел (a,b,c)(a, b, c) такими, що a+b+c=12a+b+c=12 і a≥6a \geq 6.
10–11 класиБієкції
Відбіркові тести на IMOTST-2023-001

Кількість способів набрати стільки балів, скільки помилок

Нехай n≥1n \geq 1 — ціле число. Рубен складає тест із nn запитань. Кожне запитання в цьому тесті оцінюється іншою кількістю балів. Перше запитання оцінюється в 1 бал, друге запитання — в 2, третє — в 3 і так далі аж до останнього запитання, яке оцінюється в nn балів. Кожне запитання є правильним або неправильним. За запитання він отримує, отже, або жодного, або всі бали. Нехай f(n)f(n) — кількість способів, якими він може скласти тест так, щоб кількість набраних ним балів дорівнювала кількості запитань, на які він відповів неправильно. Дослідіть, чи існує нескінченно багато пар (a,b)(a, b), для яких a<ba<b і f(a)=f(b)f(a)=f(b).
10–11 класиБієкції2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2023-025

Розфарбовані трикутники в повному графі

Нехай n≥3n \ge 3 — ціле число, а KnK_n — повний граф на nn вершинах. Кожне ребро графа KnK_n пофарбовано у червоний, зелений або синій колір. Нехай AA — кількість трикутників у KnK_n, усі ребра яких одного кольору, а BB — кількість трикутників у KnK_n, усі ребра яких попарно різних кольорів. Доведіть, що B≤2A+n(n−1)3.B \le 2A + \frac{n(n-1)}{3}.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Відбіркові тести на IMOTST-2023-034

Інцидентна структура проєктивної площини

Токійське метро — одне з найефективніших у світі. Існує деяке непарне натуральне число kk таке, що кожна лінія метро проходить рівно через kk станцій, а кожна станція обслуговується рівно kk лініями метро. З будь-якої станції до будь-якої іншої можна дістатися лише однією лінією метро — але це сполучення єдине. Ба більше, будь-які дві лінії метро мають рівно одну спільну станцію. Давид планує екскурсію для команди IMO і хоче відвідати множину SS з kk станцій. Він зауважує, що жодні три станції з SS не лежать на спільній лінії метро. Доведіть, що існує деяка станція не з SS, яка сполучена з кожною станцією з SS іншою лінією метро.
10–11 класиДискретні набори точок та прямих…3 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2023-039

Домінуюча сума над родиною підмножин

Для натурального числа mm через [m][m] позначимо множину {1,2,…,m}\{1,2, \ldots, m\}. Нехай nn — натуральне число, а S\mathcal{S} — непорожня сукупність підмножин множини [n][n]. Функцію f:[n]→[n+1]f:[n] \rightarrow [n+1] назвемо кавайною, якщо існує множина A∈SA \in \mathcal{S} така, що для всіх B∈SB \in \mathcal{S}, де A≠BA \neq B, виконується ∑a∈Af(a)>∑b∈Bf(b)\sum_{a \in A} f(a) > \sum_{b \in B} f(b) Доведіть, що кавайних функцій завжди щонайменше nnn^{n}, незалежно від сукупності S\mathcal{S}.
10–11 класиБієкції
Відбіркові тести на IMOTST-2023-023

Найбільша сума коротких дугових стрибків по колу

На круговій доріжці γ\gamma довжиною 2022 розташовано 2022 рівновіддалені точки. Точки позначено A1,A2,…,A2022A_1, A_2, \dots, A_{2022} у деякому порядку, кожну мітку використано один раз. Спочатку зайченя Банбан перебуває в A1A_1. Воно стрибає вздовж кола γ\gamma з A1A_1 до A2A_2, потім з A2A_2 до A3A_3, доки не досягне A2022A_{2022}, після чого стрибає назад до A1A_1. Стрибаючи з PP до QQ, воно завжди стрибає вздовж коротшої з двох дуг PQ⌢\overarc{PQ} кола γ\gamma; якщо PQ⌢\overarc{PQ} є діаметром кола γ\gamma, воно рухається вздовж будь-якого з півкіл. Визначте найбільшу можливу суму довжин 2022 дуг, які подолало зайченя Банбан, за всіма можливими позначеннями 2022 точок.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Італійська математична олімпіадаITAMO-2023-015

Неперетинні сполучення з 13 відрізками

Складна хореографія передбачає ряд із 7 рівновіддалених танцівниць на плоскій сцені; навпроти ряду танцівниць стоїть ідентичний паралельний ряд із такої самої кількості танцівників. Хореографка хоче призначити кожній танцівниці декількох танцівників так, щоб, провівши на сцені відрізок, який з'єднує положення кожної танцівниці з положенням призначених їй танцівників, не було відрізків, що перетинаються, крім як у кінцях. Вона також хоче, щоб загальна кількість проведених відрізків дорівнювала 13. Скільки існує можливих способів здійснити призначення, які задовольняють ці властивості? (A) 128 (B) 343 (C) 486 (D) 924 (E) 1716
10–11 класиБієкції
Італійська математична олімпіадаITAMO-2023-018

Лицарі та брехуни в шерензі

На острові 2023 людини стоять один за одним, кожен з яких — брехун або лицар: лицарі завжди кажуть правду, а брехуни завжди брешуть. Якщо ii непарне, особа на ii-му місці вигукує: «Брехунів щонайменше ii»; якщо ii парне, особа на ii-му місці вигукує: «Брехунів рівно ii». Скільки брехунів?
10–11 класиРозбиття на випадки
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2023-002

Різниця кількості гарних і поганих чисел

Назвемо натуральне число гарним числом, якщо цифра 22 трапляється частіше, ніж цифра 33, і поганим числом, якщо цифра 33 трапляється частіше, ніж цифра 22. Наприклад, 20232023 — гарне число, бо цифра 22 трапляється двічі, а цифра 33 — один раз, а 123123 не є ні гарним, ні поганим числом, бо цифра 22 трапляється один раз і цифра 33 трапляється один раз. Знайдіть різницю між кількістю гарних чисел, не більших за 20232023, і кількістю поганих чисел, не більших за 20232023.
10–11 класиБієкції
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2023-008

Максимальна краса розмітки графа

Розглянемо фігуру, що складається з 15 кіл і 20 відрізків, як показано нижче. Кожне коло позначено числом 0, 1 або 2, і ми визначаємо красу розмітки як кількість відрізків, кінці яких позначено числами, що відрізняються на 1. Нехай MM — найбільша можлива краса, якої можна досягти за допомогою будь-якої розмітки. Скільки існує розміток, що досягають краси MM? Зауважимо, що ми розрізняємо розмітки, які можна отримати одна з одної поворотами чи відбиттями.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2023-007

Підмножини з однаковою сумою

Для будь-якого натурального числа nn, нехай f(n)f(n) — кількість підмножин множини {1,2,…,n}\{1,2,\ldots ,n\}, сума елементів яких дорівнює nn. Чи існує нескінченно багато натуральних чисел mm таких, що f(m)=f(m+1)f(m) = f(m + 1)? (Зауважимо, що елементи підмножини мають бути різними.)
10–11 класиБієкції
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2023-012

Максимальна система трійок з обмеженими перетинами

Нехай n,mn, m — натуральні числа. Нехай A1,A2,A3,…,AmA_{1}, A_{2}, A_{3}, \ldots, A_{m} — множини такі, що Ai⊆{1,2,3,…,n}A_{i} \subseteq \{1,2,3,\ldots, n\} і ∣Ai∣=3|A_{i}| = 3 для всіх ii (тобто AiA_{i} складається з трьох різних натуральних чисел, кожне з яких не перевищує nn). Припустимо, що для всіх i<ji < j виконується ∣Ai∩Aj∣⩽1|A_{i} \cap A_{j}| \leqslant 1 (тобто AiA_{i} і AjA_{j} мають не більше одного спільного елемента). a. Доведіть, що m⩽n(n−1)6m \leqslant \frac{n(n - 1)}{6}. b. Покажіть, що для всіх n≥3n \geq 3 можна досягти m⩾(n−1)(n−2)6m \geqslant \frac{(n - 1)(n - 2)}{6}.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2023-006

Прямокутні розбиття квадрата із заданими смугами

Нехай nn — натуральне число. Роджер має квадратний сад розміром (2n+1)×(2n+1)(2 n+1) \times (2 n+1). Він ставить паркани, щоб поділити свій сад на прямокутні ділянки. Він хоче отримати рівно дві горизонтальні ділянки k×1k \times 1 і рівно дві вертикальні ділянки 1×k1 \times k для кожного парного цілого числа kk між 11 і 2n+12 n+1, а також одну квадратну ділянку 1×11 \times 1. Скількома різними способами Роджер може це зробити?
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2023-007

Прямокутне розбиття квадратної сітки

Нехай nn — додатне ціле число. Роджер має квадратний сад розміром (2n+1)×(2n+1)(2 n+1) \times (2 n+1), і він встановлює бар'єри, щоб розділити свій сад на кілька прямокутних ділянок. Після завершення він утворить рівно два горизонтальні прямокутники k×1k \times 1 і два вертикальні прямокутники 1×k1 \times k для кожного парного цілого числа kk між 11 і 2n+12 n+1, а також один квадрат 1×11 \times 1. Скількома способами Роджер може це зробити?
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Американський запрошувальний математичний іспит (AIME)AIME-2022-002

Ймовірність перемоги Карла в тенісному турнірі

Азар, Карл, Джон і Сергій — чотири гравці, що залишилися в одиночному тенісному турнірі. Їм випадковим чином призначають суперників у півфінальних матчах, а переможці цих матчів грають між собою у фінальному матчі, який визначає переможця турніру. Коли Азар грає з Карлом, Азар виграє матч із ймовірністю 23\frac{2}{3}. Коли Азар або Карл грає з Джоном або Сергієм, Азар або Карл виграє матч із ймовірністю 34\frac{3}{4}. Припустимо, що результати різних матчів незалежні. Ймовірність того, що Карл виграє турнір, дорівнює pq\frac{p}{q}, де pp і qq — взаємно прості натуральні числа. Знайдіть p+qp+q.
10–11 класиРозбиття на випадки
Американський запрошувальний математичний іспит (AIME)AIME-2022-005

Максимум різниці порядкових статистик при обмеженнях на суми

Нехай x1≤x2≤⋯≤x100x_1 \le x_2 \le \dots \le x_{100} — дійсні числа, для яких ∣x1∣+∣x2∣+⋯+∣x100∣=1|x_1| + |x_2| + \dots + |x_{100}| = 1 і x1+x2+⋯+x100=0x_1 + x_2 + \dots + x_{100} = 0. Серед усіх таких наборів зі 100 чисел найбільше значення, яке може набувати x76−x16x_{76} - x_{16}, дорівнює mn\frac{m}{n}, де mm і nn — взаємно прості натуральні числа. Знайдіть m+nm+n.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2022-002

Суми кількості дільників непарних і парних чисел

Нехай d(k)d(k) позначає кількість додатних цілих дільників числа kk. Наприклад, d(6)=4d(6)=4, оскільки 66 має 44 додатні дільники, а саме 1,2,31, 2, 3, і 66. Доведіть, що для всіх натуральних чисел nn, d(1)+d(3)+d(5)+⋯+d(2n−1)≤d(2)+d(4)+d(6)+⋯+d(2n)d(1)+d(3)+d(5)+\cdots+d(2n-1) \leq d(2)+d(4)+d(6)+\cdots+d(2n)
10–11 класиПідрахунок двома способами
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2022-006

Граф знайомств математиків і біологів

На конгресі всі учасники — або математики, або біологи, і немає нікого, хто був би водночас і тим, і іншим. Усі математики знають один одного, і кожен з них знає чотирьох із біологів. Біологи також усі знають один одного, і кожен з них знає дев'ятьох із математиків. Виявляється, що кожен математик знає вдвічі більше людей, ніж кожен біолог. (Якщо особа AA знає особу BB, то особа BB також знає особу AA.) Скільки математиків на конгресі?
10–11 класиПідрахунок двома способами
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-001

Перша цифра степенів двійки з частотою не більше n/17

Для довільного цілого k⩾0k \geqslant 0 позначимо через aka_{k} першу цифру числа 2k2^{k}, записаного в десятковій системі. Наприклад, a5=3a_{5}=3 — перша цифра числа 25=322^{5}=32. Нехай n⩾1n \geqslant 1 — ціле число. Доведіть, що серед цифр від 1 до 9 є така, що вона дорівнює щонайбільше n/17n / 17 з nn цифр a0,a1,a2,…,an−1a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n-1}.
9–11 класиПідрахунок двома способами3 розв’язки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-054

Мінімальні блокувальні множини на сітці

Нехай n⩾2n \geqslant 2 — ціле число. Жаба пересувається по дошці з 3n×3n3n \times 3n клітинок, стрибаючи щоразу з клітинки на клітинку, розташовану безпосередньо вище або безпосередньо праворуч. Вона хоче дістатися з лівого нижнього кута, позначеного SS, до правого верхнього кута, позначеного FF. На жаль, деякі клітинки заміновані, і якщо жаба стрибне на таку клітинку, вона залишиться там у пастці. Кажуть, що множина замінованих клітинок є блокувальною, якщо вона заважає жабі дістатися з клітинки SS до клітинки FF. Кажуть також, що блокувальна множина є мінімальною, якщо щойно ми знімаємо міну з однієї з клітинок цієї множини, наша множина перестає бути блокувальною. Наприклад, чорні клітинки на дошці нижче утворюють мінімальну блокувальну множину. a) Доведіть, що існує мінімальна блокувальна множина, яка містить принаймні 3n(n−1)3n(n-1) клітинок. b) Доведіть, що будь-яка мінімальна блокувальна множина містить не більше 3n23n^{2} клітинок.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…2 розв’язки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.