Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

21 566 задач
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-060

Мінімальний тангенс для комплексної нерівності

Розглянемо множину SS усіх комплексних чисел zz з невід'ємними дійсною та уявною частинами, таких, що ∣z2+2∣≤∣z∣|z^{2}+2| \leq |z| Серед усіх z∈Sz \in S обчисліть найменше можливе значення tg⁡θ\operatorname{tg} \theta, де θ\theta — кут, утворений між zz і дійсною віссю.
10–11 класиКомплексні числа
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-061

Вписаний многокутник із двома довжинами сторін

Нехай a≠ba \neq b — додатні дійсні числа, а m,nm, n — натуральні числа. У (m+n)(m+n)-кутнику PP рівно mm сторін мають довжину aa, а nn сторін — довжину bb. Крім того, припустимо, що PP можна вписати в коло радіуса a+ba+b. Обчисліть кількість впорядкованих пар (m,n)(m, n), де m,n≤100m, n \leq 100, для яких такий многокутник PP існує при деяких різних значеннях aa та bb.
10–11 класиТригонометричні функції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-062

Сума координат симетричної системи

Нехай (x1,y1),…,(xk,yk)\left(x_{1}, y_{1}\right), \ldots,\left(x_{k}, y_{k}\right) — попарно різні дійсні розв’язки рівняння (x2+y2)6=(x2−y2)4=(2x3−6xy2)3\left(x^{2}+y^{2}\right)^{6}=\left(x^{2}-y^{2}\right)^{4}=\left(2 x^{3}-6 x y^{2}\right)^{3} Тоді ∑i=1k(xi+yi)\sum_{i=1}^{k}\left(x_{i}+y_{i}\right) можна подати у вигляді ab\frac{a}{b}, де aa і bb — взаємно прості натуральні числа. Обчисліть 100a+b100 a+b.
10–11 класиТригонометричні рівняння
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-063

Бісектриса кута і дотичне коло

Нехай ABCABC — трикутник зі сторонами AB=8AB = 8, AC=12AC = 12 і BC=5BC = 5. Нехай MM — друга точка перетину внутрішньої бісектриси кута ∠BAC\angle BAC з описаним колом трикутника ABCABC. Нехай ω\omega — коло з центром MM, дотичне до прямих ABAB і ACAC. Дотичні до кола ω\omega, проведені з BB і CC, відмінні від прямих ABAB і ACAC відповідно, перетинаються в точці DD. Обчисліть довжину відрізка ADAD.
10–11 класиСиметрія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-064

Сума чисел з абсолютними різницями

Нехай a1,a2,…,a2023a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2023} — натуральні числа такі, що ak=∑i=12023∣ak−ai∣a_{k}=\sum_{i=1}^{2023}\left|a_{k}-a_{i}\right| для всіх 1≤k≤20231 \leq k \leq 2023. Знайдіть найменше можливе значення a1+a2+⋯+a2023a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{2023}.
10–11 класиСиметричні системи рівнянь
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-065

Площа області збіжності квадратичного відображення

Для точки P=(x,y)P=(x, y) на декартовій площині нехай f(P)=(x2−y2,2xy−y2)f(P)=\left(x^{2}-y^{2}, 2 x y-y^{2}\right). Якщо SS — множина всіх PP таких, що послідовність P,f(P),f(f(P)),f(f(f(P))),…P, f(P), f(f(P)), f(f(f(P))), \ldots прямує до (0,0)(0,0), то площа множини SS може бути записана у вигляді πr\pi \sqrt{r} для деякого додатного дійсного числа rr. Обчисліть ⌊100r⌋\lfloor 100 r\rfloor.
10–11 класиКомплексні числа
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-066

Випадкове блукання з обмеженими поворотами

Мураха стартує з точки (0,0)(0,0) на декартовій площині. Першої хвилини мураха дивиться в напрямку (1,0)(1,0) і проходить одну одиницю. Кожної наступної хвилини мураха вибирає кут θ\theta рівномірно випадково на проміжку [−90∘,90∘]\left[-90^\circ, 90^\circ\right], а потім повертається на кут θ\theta за годинниковою стрілкою (від'ємні значення θ\theta відповідають поворотам проти годинникової стрілки). Потім мураха проходить одну одиницю. Після nn хвилин відстань мурахи від (0,0)(0,0) дорівнює dnd_n. Нехай математичне сподівання dn2d_n^2 дорівнює ana_n. Обчисліть найближче ціле число до 10lim⁡n→∞ann.10 \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{n} .
10–11 класиГеометрична прогресія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-067

Рівні кути з внутрішньої точки

Нехай точка PP лежить усередині трикутника ABCABC. Нехай прямі APAP, BPBP і CPCP перетинають сторони BCBC, CACA і ABAB у точках DD, EE і FF відповідно. Нехай ∠APB=∠BPC=∠CPA\angle APB = \angle BPC = \angle CPA, PD=14PD = \frac{1}{4}, PE=15PE = \frac{1}{5} і PF=17PF = \frac{1}{7}. Обчисліть AP+BP+CPAP + BP + CP.
10–11 класиОсновна властивість бісектриси
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-068

Математичне сподівання квадрата голосів переможця

Група зі 101 далматинця бере участь у виборах, де кожен незалежно голосує за кандидата AA або BB з однаковою ймовірністю. Якщо XX — кількість далматинців, які проголосували за кандидата-переможця, то математичне сподівання величини X2X^{2} можна записати у вигляді ab\frac{a}{b} для натуральних чисел a,ba, b, для яких НСД(a,b)=1\text{НСД}(a, b)=1. Знайдіть єдине натуральне число k≤103k \leq 103 таке, що 103∣a−bk103 \mid a-b k.
10–11 класиКомбінації
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-069

Трикутники з цілими сторонами в квадраті

Оцініть AA — кількість невпорядкованих трійок цілих чисел (a,b,c)(a, b, c), для яких існує невироджений трикутник зі сторонами aa, bb і cc, що вміщується в квадрат 100×100100 \times 100. Оцінка EE приносить max⁡(0,⌊20−∣A−E∣/1000⌋)\max (0,\lfloor 20-|A-E| / 1000\rfloor) балів.
10–11 класиКомбінації
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-070

Очікувана довжина найдовшого паліндромного підрядка

Випадковим чином обрано двійковий рядок довжини 10001000. Нехай LL — математичне сподівання довжини його найдовшого (суцільного) паліндромного підрядка. Оцініть LL. Оцінка EE отримає ⌊20min⁡(EL,LE)10⌋\left\lfloor 20 \min \left(\frac{E}{L}, \frac{L}{E}\right)^{10}\right\rfloor балів.
10–11 класиНаближення дійсних чисел і оцінки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-071

Ймовірність зростання випадкової послідовності

Для кожного i∈{1,…,10}i \in \{1, \ldots, 10\} число aia_{i} обирають незалежно та рівномірно випадково з [0,i2][0, i^{2}]. Нехай PP — ймовірність того, що a1<a2<⋯<a10a_{1} < a_{2} < \cdots < a_{10}. Оцініть PP. Оцінка EE принесе ⌊20min⁡(EP,PE)⌋\left\lfloor 20 \min \left(\frac{E}{P}, \frac{P}{E}\right)\right\rfloor балів.
10–11 класиНаближення дійсних чисел і оцінки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-072

Очікувана кількість обмінів для сортування перестановки

Дано випадкову перестановку {1,2,…,100}\{1,2, \ldots, 100\}. Її сортують, щоб отримати послідовність (1,2,…,100)(1,2, \ldots, 100), у такий спосіб: на кожному кроці навмання вибирають два числа, які стоять не на своїх місцях, і міняють їх місцями. Якщо ss — математичне сподівання кількості кроків (тобто обмінів), потрібних для отримання послідовності (1,2,⋯ ,100)(1,2, \cdots, 100), то оцініть A=⌊s⌋A=\lfloor s\rfloor. Оцінка EE приносить max⁡(0,⌊20−12∣A−E∣⌋)\max \left(0,\left\lfloor 20-\frac{1}{2}|A-E|\right\rfloor\right) очок.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-073

Екстремальне відношення відстаней між коренями кубічного многочлена

Для кубічного многочлена P(x)P(x) з комплексними коренями z1,z2,z3z_{1}, z_{2}, z_{3} покладемо M(P)=max⁡(∣z1−z2∣,∣z1−z3∣,∣z2−z3∣)min⁡(∣z1−z2∣,∣z1−z3∣,∣z2−z3∣)M(P)=\frac{\max \left(\left|z_{1}-z_{2}\right|,\left|z_{1}-z_{3}\right|,\left|z_{2}-z_{3}\right|\right)}{\min \left(\left|z_{1}-z_{2}\right|,\left|z_{1}-z_{3}\right|,\left|z_{2}-z_{3}\right|\right)} Серед усіх многочленів P(x)=x3+ax2+bx+cP(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c, де a,b,ca, b, c — невід'ємні цілі числа, що не перевищують 100, а P(x)P(x) не має кратних коренів, двадцяте за величиною можливе значення M(P)M(P) дорівнює mm. Оцініть A=⌊m⌋A=\lfloor m\rfloor. Оцінка EE приносить max⁡(0,⌊20−20∣3ln⁡(A/E)∣1/2⌋)\max \left(0,\left\lfloor 20-20|3 \ln (A / E)|^{1 / 2}\right\rfloor\right) очок.
10–11 класиМногочлени третього степеня
Відбіркові тести на IMOTST-2022-029

Підмножина цілих чисел з нерівністю суми

Для фіксованого натурального числа mm нехай AA — підмножина множини {0,1,2,…,5m}\{0,1,2, \ldots, 5^{m}\}, яка складається з 4m+14m+1 елементів. Доведіть, що у множині AA завжди знайдуться три числа a,b,ca, b, c, для яких a<b<ca < b < c і c+2a>3bc + 2a > 3b.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Відбіркові тести на IMOTST-2022-026

Значення НСД у нескінченній множині

Нехай найбільший спільний дільник двох додатних цілих чисел mm і nn позначається через НСД(m,n)\text{НСД}(m, n). Дано нескінченну множину SS додатних цілих чисел, таку, що існують чотири попарно різні числа v,w,x,y∈Sv, w, x, y \in S, для яких НСД(v,w)≠НСД(x,y)\text{НСД}(v, w) \neq \text{НСД}(x, y). Доведіть, що існують три попарно різні числа a,b,c∈Sa, b, c \in S, для яких НСД(a,b)=НСД(a,c)≠НСД(b,c)\text{НСД}(a, b)=\text{НСД}(a, c) \neq \text{НСД}(b, c).
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2022-002

Цілі четвірки з обмеженнями на сторони трикутника

Знайдіть усі четвірки (a,b,c,d)(a, b, c, d) невід'ємних цілих чисел такі, що ab=2(1+cd)ab = 2(1 + cd) та існує невироджений трикутник зі сторонами завдовжки a−ca - c, b−db - d і c+dc + d.
10–11 класиМетод оцінок, що веде до малого п…
Відбіркові тести на IMOTST-2022-003

Цілі числа як сума кубів дільників

Знайдіть усі натуральні числа n≥2n \ge 2, які мають додатний дільник m∣nm \mid n, що задовольняє рівність n=d3+m3,n = d^3 + m^3, де dd — найменший дільник числа nn, більший за 11.
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Відбіркові тести на IMOTST-2022-004

Центри описаних кіл у трикутнику з висотами

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, у якого ∣AB∣>∣CA∣>∣BC∣|AB| > |CA| > |BC|. Нехай DD, EE і FF — основи висот, проведених з AA, BB і CC відповідно. Пряма через FF, паралельна до прямої DEDE, перетинає BCBC у точці MM. Бісектриса кута ∠MFE\angle MFE перетинає DEDE у точці NN. Доведіть, що FF є центром описаного кола трикутника △DMN\triangle DMN тоді й лише тоді, коли BB є центром описаного кола трикутника △FMN\triangle FMN.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2022-005

Функція на натуральних числах, що зберігає подільність

Знайдіть усі функції f:Z>0→Z>0f: \mathbb{Z}_{>0} \rightarrow \mathbb{Z}_{>0} такі, що f(n)∣f(m)−nf(n) \mid f(m)-n тоді й лише тоді, коли n∣mn \mid m для всіх натуральних чисел mm і nn.
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2022-001

Двійкова послідовність, подільна за будь-якої основи

Нехай nn — натуральне число. Доведіть, що існує скінченна послідовність SS, складена лише з нулів та одиниць, яка має таку властивість: для будь-якого натурального числа d≥2d \geq 2, коли SS тлумачиться як число в системі числення з основою dd, одержане число ненульове і ділиться на nn. Зауваження: послідовність S=sksk−1⋯s1s0S=s_{k} s_{k-1} \cdots s_{1} s_{0}, тлумачена в системі з основою dd, — це число ∑i=0ksidi\sum_{i=0}^{k} s_{i} d^{i}.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2022-030

Цілі значення дробового виразу з умовою безкубовості

Знайдіть усі цілі числа n≥1n \geq 1, для яких існує пара (a,b)(a, b) додатних цілих чисел з такими властивостями: i) Жоден куб простого числа не ділить a2+b+3a^{2}+b+3. ii) Виконується ab+3b+8a2+b+3=n\frac{a b+3 b+8}{a^{2}+b+3}=n.
10–11 класиМіркування за модулем2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2022-027

Три прямі через одну точку в паралелограмі

Нехай ABCDABCD — паралелограм, у якому ∣AC∣=∣BC∣|AC| = |BC|. Точка PP вибрана на промені ABAB так, що BB лежить між AA і PP. Описане коло трикутника ACDACD і відрізок PDPD мають, окрім точки DD, ще одну спільну точку QQ. Описане коло трикутника APQAPQ і відрізок PCPC мають, окрім точки PP, ще одну спільну точку RR. Доведіть, що три прямі CDCD, AQAQ і BRBR перетинаються в одній точці.
10–11 класиРадикальна вісь3 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2022-007

Степені з квадратними цілими частинами

Нехай nn — натуральне число. Для дійсного числа x≥1x \ge 1 припустимо, що ⌊xn+1⌋,⌊xn+2⌋,…,⌊x4n⌋\lfloor x^{n+1} \rfloor, \lfloor x^{n+2} \rfloor, \dots, \lfloor x^{4n} \rfloor — усі квадрати натуральних чисел. Доведіть, що ⌊x⌋\lfloor x \rfloor також є квадратом натурального числа. Тут ⌊z⌋\lfloor z \rfloor — найбільше ціле число, менше або рівне zz.
10–11 класиМетод затискання між сусідніми зн…
Відбіркові тести на IMOTST-2022-010

Рівні кути при перетині кіл

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, а DD — основа висоти, проведеної з AA. Коло з центром AA, яке проходить через DD, перетинає описане коло трикутника ABCABC у точках XX і YY, причому порядок точок на цьому описаному колі такий: A,X,B,C,YA, X, B, C, Y. Доведіть, що ∠BXD=∠CYD\angle B X D = \angle C Y D.
10–11 класиДотична кола

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.