Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

2 236 задач
КомбінаторикаМетоди комбінаторних обчислень
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2022-009

Групові фото та розподіл по кімнатах

Клас із n≥2n \geq 2 дітей робить кілька групових фотографій. Для кожної групи, що складається принаймні з однієї дитини, існує рівно одна фотографія, на якій зображено саме цю групу. Фотографії потім розвішують у різних кімнатах школи так, щоб кожна дитина була зображена не більш ніж на одному фото в кожній кімнаті. a. Доведіть, що це можливо, якщо школа має 2n−12^{n-1} кімнат. b. Доведіть, що це неможливо, якщо школа має менше ніж 2n−12^{n-1} кімнат.
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Американські математичні змагання 10 (AMC 10)AMC10-2021-009

Ймовірність подільності добутку чисел на кубиках на 4

Уна одночасно кидає 6 стандартних шестигранних гральних кубиків і обчислює добуток отриманих 6 чисел. Яка ймовірність того, що цей добуток ділиться на 4? (A) 34\frac{3}{4} (B) 5764\frac{57}{64} (C) 5964\frac{59}{64} (D) 187192\frac{187}{192} (E) 6364\frac{63}{64}
8–10 класиРозбиття на випадки
Американські математичні змагання 10 (AMC 10)AMC10-2021-011

Математичне сподівання кількості куль на своїх місцях після обмінів

П'ять куль розставлено по колу. Кріс навмання вибирає дві сусідні кулі та міняє їх місцями. Потім Сільва робить те саме, причому її вибір сусідніх куль незалежний від вибору Кріса. Чому дорівнює математичне сподівання кількості куль, які після цих двох послідовних транспозицій опиняться на своїх початкових місцях? (A) 1.6 (B) 1.8 (C) 2.0 (D) 2.2 (E) 2.4
8–10 класиРозбиття на випадки
Американські математичні змагання 10 (AMC 10)AMC10-2021-015

Умовна ймовірність у грі з кубиками

У певній грі кожен із 4 гравців кидає стандартний 6-гранний кубик. Переможцем є гравець, який викинув найбільше число. Якщо за найбільший кидок нічия, ті, хто потрапив у нічию, кидають знову, і цей процес триває, доки один гравець не переможе. Гуго — один із гравців у цій грі. Яка ймовірність того, що перший кидок Гуго був 5, за умови, що він виграв гру? (A) 61216\frac{61}{216} (B) 3671296\frac{367}{1296} (C) 41144\frac{41}{144} (D) 185648\frac{185}{648} (E) 1136\frac{11}{36}
8–10 класиРозбиття на випадки
Американські математичні змагання 10 (AMC 10)AMC10-2021-019

Розфарбування куба 2×2×2 з точністю до повороту

Куб складено з 4 білих одиничних кубиків і 4 синіх одиничних кубиків. Скількома різними способами можна скласти куб 2×2×22 \times 2 \times 2 із цих менших кубиків? (Дві конструкції вважаються однаковими, якщо одну з них можна повернути так, щоб вона збіглася з другою.) (A) 7 (B) 8 (C) 9 (D) 10 (E) 11
8–10 класиРозбиття на випадки
Американські математичні змагання 12 (AMC 12)AMC12-2021-007

Випадкові фінальні позиції у хрестиках-нуликах

Азар і Карл грають у хрестики-нулики. Азар ставить XX в одну з клітинок таблиці 3 на 3, потім Карл ставить OO в одну з решти клітинок. Після цього Азар ставить XX в одну з решти клітинок і так далі, доки не будуть заповнені всі 9 клітинок або один із гравців не матиме 3 свої символи в ряд — горизонтально, вертикально чи по діагоналі — залежно від того, що станеться раніше, у цьому разі цей гравець виграє гру. Припустімо, що гравці роблять свої ходи навмання, а не намагаються дотримуватися раціональної стратегії, і що Карл виграє гру, коли ставить своє третє OO. Скількома способами може виглядати дошка після закінчення гри? (A) 36 (B) 112 (C) 120 (D) 148 (E) 160
10–11 класиКомбінації
Американські математичні змагання 12 (AMC 12)AMC12-2021-009

Четвірки з сумою, що ділиться на m

Нехай m≥5m \ge 5 — непарне ціле число, а D(m)D(m) позначає кількість четвірок (a1,a2,a3,a4)(a_1, a_2, a_3, a_4) попарно різних цілих чисел, для яких 1≤ai≤m1 \le a_i \le m при всіх ii і mm ділить a1+a2+a3+a4a_1 + a_2 + a_3 + a_4. Існує многочлен q(x)=c3x3+c2x2+c1x+c0q(x) = c_3x^3 + c_2x^2 + c_1x + c_0 такий, що D(m)=q(m)D(m) = q(m) для всіх непарних цілих чисел m≥5m \ge 5. Чому дорівнює c1c_1? (A) −6-6 (B) −1-1 (C) 44 (D) 66 (E) 1111
10–11 класиБієкції
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2021-002

Пари гостей, що спілкуються за круглим столом

На званій вечері є NN господарів і NN гостей, які сидять навколо круглого столу, де N≥4N \geq 4. Пара з двох гостей спілкуватиметься між собою, якщо або між ними сидить не більше однієї особи, або між ними сидить рівно двоє людей, принаймні один з яких є господарем. Доведіть, що незалежно від того, як 2N2N людей посаджено за стіл, принаймні NN пар гостей спілкуватимуться між собою.
10–11 класиРозбиття на випадки
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2021-007

Можливі різниці в ланцюжку цілих чисел

Для цілих чисел aa, bb, cc і dd різниця між aa і bb дорівнює 22, різниця між bb і cc дорівнює 33, а різниця між cc і dd дорівнює 44. Яке з наведених значень не може бути різницею між aa і dd? A) 11 B) 33 C) 55 D) 77 E) 99
10–11 класиРозбиття на випадки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-002

Мінімальні обміни на круглому столі

2021 людина сидить навколо круглого столу. За один хід можна поміняти місцями двох людей, які сидять поруч. Визначте мінімальну кількість ходів, необхідну для того, щоб кожна людина опинилася на 1000 місць ліворуч від свого початкового місця.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-092

Розкладання доміно з узгодженням кольорів

Доміно має лівий кінець і правий кінець, кожен певного кольору. У Аліси є чотири доміно: червоно-червоне, червоно-синє, синьо-червоне та синьо-синє. Знайдіть кількість способів викласти доміно в ряд кінець до кінця так, щоб сусідні кінці мали однаковий колір. Доміно не можна повертати.
10–11 класиРозбиття на випадки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-006

Система зі стертими знаками операцій

Джої написав на дошці систему рівнянь, у якій кожне рівняння мало вигляд a+b=ca+b=c або a⋅b=ca \cdot b=c для деяких змінних або цілих чисел a,b,ca, b, c. Потім Шон підійшов до дошки та стер усі знаки плюс і знаки множення, тож тепер на дошці написано: xz=15xy=12xx=36\begin{array}{ll} x & z=15 \\ x & y=12 \\ x & x=36 \end{array} Якщо x,y,zx, y, z — цілі розв’язки початкової системи, знайдіть суму всіх можливих значень 100x+10y+z100 x+10 y+z.
10–11 класиРозбиття на випадки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-013

Сума вкладених біноміальних коефіцієнтів за незростаючими наборами

Нехай kk і nn — натуральні числа та нехай S={(a1,…,ak)∈Zk∣0≤ak≤⋯≤a1≤n,a1+⋯+ak=k}S=\left\{\left(a_{1}, \ldots, a_{k}\right) \in \mathbb{Z}^{k} \mid 0 \leq a_{k} \leq \cdots \leq a_{1} \leq n, a_{1}+\cdots+a_{k}=k\right\} Визначте, з доведенням, значення ∑(a1,…,ak)∈S(na1)(a1a2)⋯(ak−1ak)\sum_{\left(a_{1}, \ldots, a_{k}\right) \in S}\binom{n}{a_{1}}\binom{a_{1}}{a_{2}} \cdots\binom{a_{k-1}}{a_{k}} через kk і nn, де сума береться за всіма kk-елементними наборами (a1,…,ak)\left(a_{1}, \ldots, a_{k}\right) із SS.
10–11 класиБієкції3 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-132

Останнє відсутнє число на кубику зі змінною гранню

У зайчихи Терези є справедливий 8-гранний гральний кубик. Сім його граней мають фіксовані позначки 1,2,…,71, 2, \ldots, 7, а позначку на восьмій грані можна змінювати, і спочатку вона 11. Вона кидає його кілька разів, доки кожне з чисел 1,2,…,71, 2, \ldots, 7 не з'явиться принаймні один раз. Після кожного кидка, якщо kk — найменше натуральне число, яке вона досі не викидала, вона замінює позначку на восьмій грані на kk. Ймовірність того, що 77 буде останнім числом, яке вона викине, дорівнює ab\frac{a}{b}, де aa і bb — взаємно прості натуральні числа. Обчисліть 100a+b100a + b.
10–11 класиБієкції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-099

Маршрути без самоперетинів на точках кола

На колі вибрано вісім точок, позначених P1,P2,…,P8P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{8} за годинниковою стрілкою. Маршрутом називається послідовність із принаймні двох точок Pa1,Pa2,…,PanP_{a_{1}}, P_{a_{2}}, \ldots, P_{a_{n}} така, що якби мураха відвідувала ці точки в заданому порядку, починаючи з Pa1P_{a_{1}} і закінчуючи в PanP_{a_{n}}, рухаючись по n−1n-1 прямолінійних відрізках (кожен з яких з'єднує PaiP_{a_{i}} і Pai+1P_{a_{i+1}}), вона ніколи не відвідала б жодну точку двічі й не перетнула б власний шлях. Знайдіть кількість маршрутів.
10–11 класиРекурентний підрахунок2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-135

Заповнення дошки з умовою на квадрати 2×2

Обчисліть кількість способів заповнити кожну клітинку квадратної дошки 8×88 \times 8 однією з літер H,MH, M або TT так, щоб кожен квадрат 2×22 \times 2 у дошці містив літери H,M,M,TH, M, M, T у деякому порядку.
10–11 класиРозбиття на випадки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-136

Шляхи на решітці, що обмежують область під прямою

Шлях угору-вправо між двома точками цілочисельної решітки PP і QQ — це шлях з PP до QQ, який складається з кроків довжиною в 1 одиницю: або вгору, або вправо. Скільки існує шляхів угору-вправо з (0,0)(0,0) до (7,7)(7,7), які при зображенні на площині разом із прямою y=x−2.021y = x - 2.021 обмежують рівно одну обмежену область під цією прямою?
10–11 класиБієкції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-077

Взаємно атакуючі ферзі на шаховій дошці

На шаховій дошці ферзь атакує кожне поле, до якого він може дістатися зі свого поточного поля ходом уздовж рядка, стовпця або діагоналі, не проходячи через інше поле, зайняте шаховою фігурою. Знайдіть кількість способів, якими три нерозрізнювані ферзі можна розмістити на шаховій дошці 8×88 \times 8 так, щоб кожен ферзь атакував обох інших.
10–11 класиРозбиття на випадки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-079

Очікувана кількість ходів коня на дошці 4×4

На шахівниці 4×44 \times 4 вибирають дві різні клітинки, причому кожна пара клітинок рівноймовірна. На одну з клітинок ставлять коня. Математичне сподівання мінімальної кількості ходів, потрібної коню, щоб дістатися до іншої клітинки, можна записати у вигляді mn\frac{m}{n}, де m,nm, n — додатні цілі числа й НСД(m,n)=1\text{НСД}(m, n)=1. Знайдіть 100m+n100 m+n.
10–11 класиШляхи на графах
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-047

Математичне сподівання периметра перерізу куба

Нехай PP — точка, обрана навмання рівномірно в кубі [0,1]3[0,1]^3. Площина, паралельна до площини x+y+z=0x+y+z=0, що проходить через PP, перетинає куб у двовимірній області R\mathcal{R}. Нехай tt — математичне сподівання периметра області R\mathcal{R}. Якщо t2t^2 можна записати у вигляді ab\frac{a}{b}, де aa і bb — взаємно прості натуральні числа, обчисліть 100a+b100a+b.
10–11 класиГомотерія і подібність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-082

Двійкове дерево з мітками-степенями двійки

Нехай XX — кількість послідовностей цілих чисел a1,a2,…,a2047a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2047}, які задовольняють усі такі властивості: - Кожне aia_{i} дорівнює або 00, або степеню 22. - ai=a2i+a2i+1a_{i} = a_{2i} + a_{2i+1} при 1≤i≤10231 \leq i \leq 1023. - a1=1024a_{1} = 1024. Знайдіть остачу від ділення XX на 100100.
10–11 класиРекурентний підрахунок2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-056

Випадкове блукання зі спадними кроками

Джефф гуляє числовою прямою протягом 40 хвилин, починаючи з точки 0. На nn-й хвилині він підкидає чесну монету. Якщо випадає герб, він проходить 1n\frac{1}{n} у додатному напрямі, а якщо випадає решка — проходить 1n\frac{1}{n} у від'ємному напрямі. Нехай pp — імовірність того, що він ніколи не покине проміжок [−2,2][-2,2]. Оцініть N=⌊104p⌋N=\left\lfloor 10^{4} p\right\rfloor. Оцінка EE отримає max⁡(0,⌊20−20(∣E−N∣160)1/3⌋)\max \left(0,\left\lfloor 20-20\left(\frac{|E-N|}{160}\right)^{1 / 3}\right\rfloor\right) балів.
10–11 класиРозбиття на випадки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-091

Групування блоків однакових літер

Нехай NN — кількість способів переставити літери в рядку «HMMTHMMTHMMTHMMTHMMTHMMT» («HMMT», повторене шість разів) так, щоб кожна літера стояла поруч з іншою копією тієї самої літери. Наприклад, «MMMMMMTTTTTTHHHHHHHHHHHH» задовольняє цю властивість, а «HMMTHMMTHMMTHMMTHMMTHMMT» — ні. Оцініть NN. Оцінка EE принесе ⌊20min⁡(NE,EN)4⌋\left\lfloor 20 \min \left(\frac{N}{E}, \frac{E}{N}\right)^{4}\right\rfloor балів.
10–11 класиПерестановки
Відбіркові тести на IMOTST-2021-026

Розфарбування вершин правильного 100-кутника

Нехай вершини правильного 100-кутника PP пофарбовано або в червоний, або в синій колір так, що кожен колір трапляється принаймні 24 рази. Доведіть, що існує 24 попарно неперетинні чотирикутники Q1,Q2,…,Q24Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{24}, вершини яких є також вершинами PP, такі, що кожен чотирикутник QiQ_{i} має або одну, або три червоні вершини.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Відбіркові тести на IMOTST-2021-028

Єдиність пари натуральних чисел для квадратного рівняння

Доведіть, що для кожного невід'ємного цілого числа zz існує рівно одна впорядкована пара (m,n)(m, n) натуральних чисел m,nm, n така, що виконується 2z=(m+n)2−m−3n2 z = (m+n)^2 - m - 3 n.
10–11 класиМетод затискання між сусідніми зн…2 розв’язки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.