Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

2 236 задач
КомбінаторикаМетоди комбінаторних обчислень
Відбіркові тести на IMOTST-2021-018

Замощення доміно з максимальним покриттям

На прямокутній дошці, що складається з m×nm \times n клітинок (m,n≥3m, n \ge 3), розміщено доміно (плитки 2 × 1- або 1 × 2), які не перекриваються одне з одним. Кожне доміно покриває рівно дві клітинки дошки. Припустімо, що розміщення доміно має властивість, що жодне додаткове доміно не можна покласти на дошку, і не всі чотири кутові клітинки дошки є порожніми. Доведіть, що принаймні 23\frac{2}{3} клітинок дошки покрито доміно.
10–11 класиБієкції
Відбіркові тести на IMOTST-2021-020

Максимальне покриття дошки доміно

На прямокутній дошці розміром m×nm \times n клітинок (m,n≥3m, n \geq 3) лежать доміно (2×12 \times 1 або 1×21 \times 2-плитки), які не перекриваються і не виступають за межі дошки. Кожне доміно покриває рівно дві клітинки дошки. Припустимо, що покриття доміно має властивість, що жодне додаткове доміно вже не можна покласти на дошку, і що чотири кутові клітинки дошки не всі порожні. Доведіть, що принаймні 23\frac{2}{3} клітинок дошки покрито доміно.
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Італійська математична олімпіадаITAMO-2021-009

Лицарі та брехуни з твердженнями про трійки

Учасники конференції брехунів (які завжди брешуть) і лицарів (які завжди кажуть правду) пронумеровані від 11 до 20212021. Кожен з них заявляє: «можна утворити принаймні ii трійок учасників, до складу яких входжу я і які містять рівно двох лицарів», де ii — номер, присвоєний особі, яка говорить. Скільки існує можливих значень кількості брехунів, присутніх на конференції? (A) 1 (B) 3 (C) 4 (D) 2021 (E) 2022
10–11 класиКомбінації
Італійська математична олімпіадаITAMO-2021-011

Двійкові смужки з перевертанням трійок

Малий Буль намалював смужку з 8 клітинок, у кожній з яких може бути записано 0 або 1. Спочатку кожна клітинка містить 0. Кожним ходом Буль виконує одну з таких операцій: a. Замінює кожен 0 на 1, а кожен 1 на 0; b. Вибирає три послідовні клітинки і лише в них замінює кожен 0 на 1 і навпаки. Скільки різних комбінацій з 0 і 1 може отримати Буль? (A) 252^{5} (B) 262^{6} (C) 272^{7} (D) 28−22^{8}-2 (E) 282^{8}
10–11 класиБієкції
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2021-007

Заповнення таблиці з сумою 8 у квадратах 2 на 2

Нехай AA — кількість способів заповнити кожну клітинку таблиці 2021×20212021 \times 2021 одним із чисел 11, 22 або 33 так, щоб сума чисел у будь-якому квадраті 2×22 \times 2 таблиці дорівнювала 88. Знайдіть остачу від ділення AA на 100100.
10–11 класиБієкції
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2021-008

Розбиття каменів із забороненими парами

Анаель має 2n2 n каменів з написами 1,2,3,…,2n1,2,3, \ldots, 2 n, а також червону та синю коробки. Вона хоче розкласти всі 2n2 n каменів у ці дві коробки так, щоб камені kk і 2k2 k для кожного k=1,2,…,nk=1,2, \ldots, n опинялися в різних коробках. Скількома способами Анаель може це зробити?
10–11 класиБієкції
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2021-009

Кругова розсадка з обмеженнями на відстань

Нехай n≥4n \geq 4 і k,d≥2k, d \geq 2 — натуральні числа, для яких k⋅d≤nk \cdot d \leq n. nn учасників Математичної олімпіади сидять за круглим столом і чекають на Патріка. Коли Патрік з'являється, ситуація йому зовсім не подобається, оскільки правил соціального дистанціювання не дотримано. Тож він вибирає kk з nn учасників, яким дозволено залишитися, а всіх інших випроваджує з кімнати так, щоб між будь-якими двома з kk учасників, що залишилися, було щонайменше d−1d-1 вільних місць. Скількома способами Патрік може це зробити, якщо вважати, що спочатку всі місця були зайняті?
10–11 класиБієкції
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2020-003

Обмін грошима між чотирма друзями (орієнтований граф)

Четверо друзів — Ганна, Боб, Селія та Девід — обмінювалися грошима. Між будь-якими двома з цих друзів рівно один дав деяку суму грошей іншому. Наприклад, Селія могла дати гроші Девідові, але тоді Девід не дав би грошей Селії. У підсумку кожен залишився при своїх (тобто ніхто не заробив і не втратив грошей). а. Чи можливо, що суми переданих грошей становили \ 10, \$ 20, \$ 30, \$ 40, \$ 50$ і \ 60$? б. Чи можливо, що суми переданих грошей становили \ 20, \$ 30, \$ 40, \$ 50, \$ 60$ і \ 70$? Для кожної частини: якщо ваша відповідь — «так», покажіть, що ситуація можлива, описавши, хто які суми й кому міг дати. Якщо ж відповідь — «ні», доведіть, що ситуація неможлива.
10–11 класиРозбиття на випадки
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2020-004

Різниці сусідніх точних степенів і дільник 9999

Нехай S={1,4,8,9,16,…}S=\{1,4,8,9,16, \ldots\} — множина точних степенів цілих чисел, тобто чисел вигляду nkn^{k}, де n,kn, k — натуральні числа і k≥2k \geq 2. Запишемо S={a1,a2,a3…}S=\left\{a_{1}, a_{2}, a_{3} \ldots\right\} у порядку зростання, так що a1<a2<a3⋯a_{1}<a_{2}<a_{3} \cdots. Доведіть, що існує нескінченно багато натуральних чисел mm таких, що 99999999 ділить різницю am+1−ama_{m+1}-a_{m}.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2020-007

Логічна задача про брехунів і правдомовців

Кожен із Квіка, Квека і Квака бреше два послідовні дні тижня, а в інші п'ять днів каже правду. Жодні двоє з них не брешуть в один і той самий день. Дядько Дональд хоче дізнатися, хто з його племінників з'їв його цукерки. Троє племінників добре знають, хто це зробив. У неділю Квік каже, що Квек з'їв цукерки. У понеділок Квік каже, що насправді не Квек з'їв цукерки, а Квак стверджує, що Квік невинний. У вівторок же Квак каже, що це Квік з'їв цукерки. Хто з'їв цукерки? A) Це був Квік. B) Це був Квек. C) Це був Квак. D) Це був або Квік, або Квек, але визначити, хто саме, неможливо. E) Це був або Квік, або Квак, але визначити, хто саме, неможливо.
10–11 класиРозбиття на випадки
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2020-008

Двозначні числа із сумою цифр не меншою за добуток

Розглянемо двозначні числа (перша цифра не може дорівнювати 00). Таке число називається марним, якщо сума двох його цифр більша або дорівнює добутку двох його цифр. Наприклад, число 3636 не є марним, оскільки 3+63 + 6 менше, ніж 3⋅63 \cdot 6. Скільки існує двозначних марних чисел? A) 1717 B) 1818 C) 2626 D) 2727 E) 3737
10–11 класиРозбиття на випадки
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2020-015

Згинання шахівниці

Квадратний аркуш паперу, що лежить на столі, поділено на 8×8=648 \times 8 = 64 однакові квадратики. Ці квадратики пронумеровано від a1 до h8, як поля шахівниці (див. рис. 1). Тепер починаємо згинати так, щоб квадратик a1 завжди залишався на тому самому місці на столі. Спершу згинаємо вздовж горизонтальної середньої лінії (рис. 1). При цьому квадратик a8 опиниться поверх квадратика a1. Потім згинаємо вздовж вертикальної середньої лінії (рис. 2). Далі згинаємо вздовж нової горизонтальної середньої лінії (рис. 3) і так далі. Після шести згинань перед нами лежить невеличкий пакет паперу (рис. 7), який можна розглядати як стос із 64 квадратних шматочків паперу. рис. 1 рис. 2 рис. 3... рис. 7 Квадратики в цьому стосі пронумеровано знизу вгору від 1 до 64. Отже, квадратик a1 отримує номер 1. Який номер отримає квадратик f6?
10–11 класиСистеми числення
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2020-014

Трійки чисел із сумами пар на іншій картці

Аннемік і Барт мають кожен по записці, на якій записано по три різні натуральні числа. Виявилося, що є рівно одне число, яке є в обох записках. Більше того, якщо додати будь-які два різні числа із записки Аннемік, то одержимо одне з чисел із записки Барта. Одне з чисел із записки Аннемік — її улюблене число, і якщо помножити його на 33, то одержимо одне з чисел із записки Барта. На записці Барта є число 2525 — його улюблене число. Чому дорівнює улюблене число Аннемік?
10–11 класиРозбиття на випадки
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2020-009

Стрибки коників на дошці 4 на 4

На дошці 4×44 \times 4 є 1616 коників, кожен на власній клітинці. У певний момент кожен коник стрибає на сусідню клітинку: на клітинку зверху, знизу, ліворуч або праворуч від своєї поточної клітинки, але не по діагоналі й не виходячи за межі дошки. Яка найбільша можлива кількість клітинок, які можуть виявитися порожніми після того, як коники стрибнуть? A) 88 B) 99 C) 1010 D) 1111 E) 1212
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2020-011

Розфарбування браслетів з урахуванням симетрій

Лінеке робить браслети з намистин. Кожен браслет має шість намистин: дві білі, дві сірі та дві чорні. Деякі браслети на перший погляд виглядають по-різному, але насправді не відрізняються: якщо повернути або перевернути перший, він виглядатиме так само, як другий. Наприклад, такі три браслети однакові. Скільки справді різних браслетів може зробити Лінеке? A) 10 B) 11 C) 12 D) 14 E) 15
10–11 класиРозбиття на випадки
Естонська математична олімпіадаESTMO-2020-002

Відсоток дівчат у математичному гуртку

У класі однакова кількість хлопців і дівчат. Відомо, що 60%60\% учнів займаються спортом і 59\frac{5}{9} учнів, які займаються спортом, — хлопці. Також відомо, що 13\frac{1}{3} учнів, які займаються спортом, відвідують математичний гурток, а 215\frac{2}{15} дівчат ні спортом не займаються, ні математичного гуртка не відвідують. З іншого боку, 215\frac{2}{15} хлопців і спортом займаються, і математичний гурток відвідують. Який відсоток дівчат відвідує математичний гурток?
9 класФормула включення-виключення
Естонська математична олімпіадаESTMO-2020-007

Маси ящиків за попарними сумами

Чотири ящики з масками та засобами дезінфекції везуть учасникам карнавалу. Попарне зважування ящиків дає шість значень, чотири найбільші з яких — 125125 кг, 120120 кг, 110110 кг і 101101 кг. Знайдіть усі можливі варіанти мас чотирьох ящиків.
10 класЛінійні рівняння та системи
Естонська математична олімпіадаESTMO-2020-011

Антиланцюг у тривимірній цілочисельній решітці

На майданчику перебуває кілька лицарів. Кожен лицар має три властивості: швидкість, розум і привабливість. Для кожного лицаря кожна властивість набуває певного цілого значення xx такого, що 1≤x≤n1 \le x \le n. Лицар AA може перемогти лицаря BB, якщо швидкість, розум і привабливість AA всі більші, ніж у BB. Відомо, що жоден із лицарів на майданчику не може перемогти жодного з інших лицарів, і будь-які два лицарі відрізняються принаймні однією властивістю. Знайдіть найбільшу можливу кількість лицарів на майданчику.
11 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-018

Чергування воротаря у футболі втрьох

Андреа, Батіст і Каміль грають у футбол втрьох. Один із гравців стоїть на воротах, двоє інших — на полі й намагаються забити. Гравець, який забиває, далі стає воротарем для наступного удару. Протягом дня Андреа був на полі 12 разів, Батіст був 21 раз, а Каміль був на воротах 8 разів. Їхній учитель знає, хто забив 6-й гол. Хто це був?
8–10 класиПідрахунок двома способами
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-001

Таблиця 8 на n з обмеженням на збіги літер

Мартен хоче заповнити кожну клітинку прямокутної таблиці, яка має 8 рядків і nn стовпців, однією з чотирьох літер {P},{O},{F}\{P\}, \{O\}, \{F\} і MM так, щоб для будь-якої пари різних рядків існував щонайбільше один стовпець, перетини якого з цими двома рядками є клітинками з однаковою літерою. Яке найбільше ціле число nn, для якого це можливо?
8–10 класиПідрахунок двома способами
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-035

Розфарбування чисел без одноколірної суми-степеня двійки

Розфарбування цілих чисел {1,2,⋯ ,2020}\{1,2, \cdots, 2020\} у синій і червоний кольори називається приємним, якщо не існує двох різних цілих чисел із {1,2,⋯ ,2020}\{1,2, \cdots, 2020\} одного кольору, сума яких є степенем двійки. Скільки існує таких розфарбувань?
8–10 класиМетод математичної індукції
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-009

Перестановка на колі з двома нерухомими точками

Під час свята 2019 осіб сідають навколо круглого столу, розміщуючись рівномірно. Сівши, вони помічають, що на кожному місці лежить картка з іменем і що ніхто не сидить на місці, де вказано його ім'я. Доведіть, що можна повернути стіл так, щоб двоє людей опинилися навпроти свого імені.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-004

Різні числа в рядку або стовпці таблиці

Таблиця розміру n×nn \times n містить n2n^2 клітинок. У кожній клітинці записано натуральне число від 11 до nn, причому кожне число з множини {1,…,n}\{1, \ldots, n\} трапляється в таблиці рівно nn разів. Доведіть, що існує рядок або стовпець таблиці, який містить принаймні n\sqrt{n} різних чисел.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-013

Комітети з непарною кількістю хлопців

Ліцей має непарну кількість класів, і в кожному класі — непарна кількість учнів. З кожного класу обирають по одному учню до учнівського комітету. Якщо кількість класів, у яких хлопців більше, ніж дівчат, непарна, доведіть, що кількість способів утворити учнівський комітет, який містить непарну кількість хлопців, перевищує кількість способів утворити учнівський комітет, який містить непарну кількість дівчат.
10–11 класиБієкції
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-042

Мінімальна кількість правильних відповідей на конкурсі

2019 учнів беруть участь у конкурсі й кожен відповідає на 6 запитань. Наприкінці конкурсу помічають, що серед правильних відповідей, даних будь-якою групою з 3 учнів, є принаймні одна правильна відповідь принаймні до 5 із 6 запитань конкурсу. Яке мінімальне значення загальної кількості правильних відповідей на запитання конкурсу?
10–11 класиПідрахунок двома способами

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.