Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

1 637 задач
АлгебраНерівності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2007-039

Натуральне n з однаковою першою цифрою 2ⁿ і 5ⁿ

Натуральне число nn таке, що числа 2n2^{n} і 5n5^{n} у десятковому записі починаються з однакової цифри; визначте цю спільну першу цифру.
10–11 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2007-019

Сума кубів коренів мінус потроєний добуток

Нехай aa — додатне дійсне число, а x1,x2,x3x_{1}, x_{2}, x_{3} — корені рівняння x3−ax2+ax−a=0x^{3}-a x^{2}+a x-a=0. Знайдіть найменше можливе значення виразу x13+x23+x33−3x1x2x3x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}-3 x_{1} x_{2} x_{3}.
10–11 класиТеорема Вієта
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2007-023

Сума з рівнянням четвертого степеня

Два дійсні числа xx і yy такі, що 8y4+4x2y2+4xy2+2x3+2y2+2x=x2+18 y^{4} + 4 x^{2} y^{2} + 4 x y^{2} + 2 x^{3} + 2 y^{2} + 2 x = x^{2} + 1. Знайдіть усі можливі значення x+2y2x + 2 y^{2}.
10–11 класиКвадратні рівняння та системи
Відбіркові тести на IMOTST-2007-003

Рівні мультимножини різниць послідовностей

Нехай nn — натуральне число, а a1≤a2≤⋯≤ana_1 \le a_2 \le \dots \le a_n і b1≤b2≤⋯≤bnb_1 \le b_2 \le \dots \le b_n — дві неспадні послідовності дійсних чисел такі, що a1+⋯+ai≤b1+⋯+biдля кожного i=1,…,n−1a_1 + \dots + a_i \le b_1 + \dots + b_i \quad \text{для кожного } i = 1, \dots, n-1 і a1+⋯+an=b1+⋯+bn.a_1 + \dots + a_n = b_1 + \dots + b_n. Припустімо, що для будь-якого дійсного числа mm кількість пар (i,j)(i, j), для яких ai−aj=ma_i - a_j = m, дорівнює кількості пар (k,ℓ)(k, \ell), для яких bk−bℓ=mb_k - b_\ell = m. Доведіть, що ai=bia_i = b_i при i=1,…,ni = 1, \dots, n. Зауваження: Важливо правильно розуміти умову, що для будь-якого дійсного числа mm кількість пар (i,j)(i, j), для яких ai−aj=ma_i - a_j = m, дорівнює кількості пар (k,ℓ)(k, \ell), для яких bk−bℓ=mb_k - b_\ell = m. Це означає, що маємо дві однакові мультимножини (мультимножина — це множина, яка допускає повторення елементів): {ai−aj∣1≤i<j≤n}\{a_i - a_j \mid 1 \le i < j \le n\} і {bk−bℓ∣1≤k<ℓ≤n}\{b_k - b_\ell \mid 1 \le k < \ell \le n\}.
10–11 класиСуми послідовностей
Відбіркові тести на IMOTST-2007-015

Нерівності для додатних дійсних чисел з умовою на abc

Нехай aa, bb, cc — додатні дійсні числа, для яких a+b+c≥abca+b+c \geq a b c. Доведіть, що принаймні дві з таких трьох нерівностей є правильними: 2a+3b+6c≥6,2b+3c+6a≥6,2c+3a+6b≥6\frac{2}{a}+\frac{3}{b}+\frac{6}{c} \geq 6, \quad \frac{2}{b}+\frac{3}{c}+\frac{6}{a} \geq 6, \quad \frac{2}{c}+\frac{3}{a}+\frac{6}{b} \geq 6
10–11 класиЧислові нерівності
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2007-002

Взаємно прості дроби в інтервалі

Знайдіть усі пари натуральних чисел (m,n)(m, n), що задовольняють такі умови. (1) m,n≤20(1)\ m, n \leq 20 (2) mm і nn — взаємно прості. (3)57<mn<34(3) \quad \frac{5}{7} < \frac{m}{n} < \frac{3}{4}
10–11 класиМетод оцінок, що веде до малого п…
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2007-005

Нерівність для відстаней між основами перпендикулярів з бісектриси

Для вершини AA трикутника △ABC\triangle ABC означимо ℓA\ell_A як відстань між основами перпендикулярів, проведених до сторін ABAB і ACAC з точки перетину бісектриси кута ∠A\angle A зі стороною BCBC. Аналогічно означимо ℓB\ell_B і ℓC\ell_C для вершин BB і CC відповідно. Доведіть нерівність ℓAℓBℓCℓ3≤164\frac{\ell_A \ell_B \ell_C}{\ell^3} \le \frac{1}{64} де ℓ\ell — периметр трикутника △ABC\triangle ABC.
10–11 класиОсновна властивість бісектриси
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2006-039

Діапазон чисел за кількістю цифр у кратних

Скільки існує натуральних чисел xx, таких, що 3x3x має три цифри, а 4x4x має чотири цифри?
10–11 класиЛінійні нерівності та системи
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2006-083

Максимум відношення многочленів четвертого і шостого степенів

Знайдіть найбільше значення, якого набуває x4−x2x6+2x3−1\frac{x^{4}-x^{2}}{x^{6}+2 x^{3}-1} для дійсних чисел x>1x>1.
10–11 класиНерівність Коші
Відбіркові тести на IMOTST-2006-009

Нерівність для змінних, не всі з яких додатні

Знайдіть найменше дійсне число kk з такою властивістю: якщо дійсні числа xx, yy і zz не всі додатні, то k(x2−x+1)(y2−y+1)(z2−z+1)≥(xyz)2−xyz+1.k(x^2 - x + 1)(y^2 - y + 1)(z^2 - z + 1) \geq (xyz)^2 - xyz + 1.
10–11 класиНерівність Коші3 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2006-024

Нерівність з √ab+c при 1/a+1/b+1/c=1

Нехай a,b,ca, b, c — додатні дійсні числа, для яких 1a+1b+1c=1\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1. Доведіть нерівність ab+c+bc+a+ca+b≥abc+a+b+c\sqrt{a b+c}+\sqrt{b c+a}+\sqrt{c a+b} \geq \sqrt{a b c}+\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Італійська математична олімпіадаITAMO-2006-004

Нерівність для циклічної суми добутків

Розглянемо нерівність (x1+…+xn)2≥4(x1x2+x2x3+…+xnx1).\left(x_{1}+\ldots+x_{n}\right)^{2} \geq 4\left(x_{1} x_{2}+x_{2} x_{3}+\ldots+x_{n} x_{1}\right) . а. Визначте, для яких n≥3n \geq 3 вона справджується для будь-якого вибору додатних дійсних чисел x1,…,xnx_{1}, \ldots, x_{n}. б. Визначте, для яких n≥3n \geq 3 вона справджується для будь-якого вибору дійсних чисел x1,…,xnx_{1}, \ldots, x_{n}.
10–11 класиЧислові нерівності
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2006-009

Найбільша стала в симетричній кубічній нерівності

Знайдіть найбільше значення AA, для якого для всіх додатних x1,x2,x3,y1,y2,y3,z1,z2x_1, x_2, x_3, y_1, y_2, y_3, z_1, z_2 і z3z_3 виконується нерівність (x13+x23+x33+1)(y13+y23+y33+1)(z13+z23+z33+1)≥A(x1+y1+z1)(x2+y2+z2)(x3+y3+z3)(x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 + 1)(y_1^3 + y_2^3 + y_3^3 + 1)(z_1^3 + z_2^3 + z_3^3 + 1) \geq A(x_1 + y_1 + z_1)(x_2 + y_2 + z_2)(x_3 + y_3 + z_3). Для найбільшого значення AA встановіть випадки рівності.
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2006-003

Нерівність для симетричних раціональних виразів

Нехай a1a_1, a2a_2, a3a_3 — три попарно різні дійсні числа. Визначимо три дійсні числа b1b_1, b2b_2, b3b_3 так: bj=(1+ajaiaj−ai)(1+ajakaj−ak),{i,j,k}={1,2,3}.b_j = \left( 1 + \frac{a_j a_i}{a_j - a_i} \right) \left( 1 + \frac{a_j a_k}{a_j - a_k} \right), \quad \{i, j, k\} = \{1, 2, 3\}. Доведіть нерівність 1+∣a1b1+a2b2+a3b3∣≤(1+∣a1∣)(1+∣a2∣)(1+∣a3∣).1 + |a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3| \le (1 + |a_1|)(1 + |a_2|)(1 + |a_3|). Коли виконується рівність?
10–11 класиПеретворення симетричних виразів
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2006-011

Нерівність із вкладеними радикалами та середніми

Нехай aa, bb, cc — невід'ємні дійсні числа, а m=a+b+c3m = \frac{a+b+c}{3} — їхнє середнє арифметичне. Доведіть, що виконується a+b+c+b+c+a+c+a+b≤3m+m+m\sqrt{a+\sqrt{b+\sqrt{c}}} + \sqrt{b+\sqrt{c+\sqrt{a}}} + \sqrt{c+\sqrt{a+\sqrt{b}}} \leq 3 \sqrt{m+\sqrt{m+\sqrt{m}}}
10–11 класиІнші класичні нерівності
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2006-018

Нерівність із чотирма дійсними змінними

Нехай a,b,c,da, b, c, d — дійсні числа. Доведіть, що (a2+b2+1)(c2+d2+1)≥2(a+c)(b+d)\left(a^{2}+b^{2}+1\right)\left(c^{2}+d^{2}+1\right) \geq 2(a+c)(b+d)
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2006-002

Оцінки сум підмножин множини цілих чисел

Для даного натурального числа kk знайдіть найменше значення NN (виражене через kk), для якого існує множина з 2k+12k+1 різних натуральних чисел, сума яких більша за NN, але сума будь-якої підмножини з kk елементів не перевищує N/2N/2.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2006-004

Раціональні числа з рівними сумою і добутком

Знайдіть усі натуральні числа nn, для яких існує набір із k≥2k \ge 2 додатних раціональних чисел a1,a2,…,aka_1, a_2, \dots, a_k таких, що a1+a2+⋯+ak=a1⋅a2…ak=na_1 + a_2 + \dots + a_k = a_1 \cdot a_2 \dots a_k = n.
10–11 класиНерівність Коші
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2005-002

Сума обернених величин у піфагоровій трійці

Нехай (a,b,c)(a, b, c) — піфагорова трійка, тобто трійка натуральних чисел, для яких a2+b2=c2a^{2}+b^{2}=c^{2}. а) Доведіть, що (c/a+c/b)2>8(c / a+c / b)^{2}>8. б) Доведіть, що не існує цілого числа nn, для якого знайдеться піфагорова трійка (a,b,c)(a, b, c), що задовольняє (c/a+c/b)2=n(c / a+c / b)^{2}=n.
10–11 класиНерівність Коші
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2005-004

Максимум відношення площі й периметра до радіуса описаного кола

Нехай ABCABC — трикутник з радіусом описаного кола RR, периметром PP і площею KK. Знайдіть найбільше значення KP/R3K P / R^{3}.
10–11 класиЕкстремальні геометричні конструк…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2005-002

Найбільше значення xyz за умови xy+z=(x+z)(y+z)

Нехай xx, yy і zz — додатні дійсні числа такі, що (x⋅y)+z=(x+z)⋅(y+z)(x \cdot y) + z = (x + z) \cdot (y + z). Яке найбільше можливе значення xyzx y z?
10–11 класиНерівність Коші
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2005-082

Найменше значення суми цілих частин

Якщо a,b,c>0a, b, c > 0, яке найменше можливе значення ⌊a+bc⌋+⌊b+ca⌋+⌊c+ab⌋\left\lfloor\frac{a+b}{c}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{b+c}{a}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{c+a}{b}\right\rfloor? (Тут ⌊x⌋\lfloor x \rfloor позначає найбільше ціле число, менше або рівне xx.)
10–11 класиЦіла та дробова частини числа
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2005-048

Сума цілих частин відношень додатних чисел

Нехай a,b,c>0a, b, c > 0. Знайдіть найменше можливе значення ⌊a+bc⌋+⌊b+ca⌋+⌊c+ab⌋\left\lfloor\frac{a+b}{c}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{b+c}{a}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{c+a}{b}\right\rfloor. (Тут ⌊x⌋\lfloor x \rfloor позначає найбільше ціле число, що не перевищує xx.)
10–11 класиНерівність Коші
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2005-085

Найбільше значення виразу з радикалом для додатних чисел

Нехай xx — додатне дійсне число. Знайдіть найбільше можливе значення x2+2−x4+4x.\frac{x^{2}+2-\sqrt{x^{4}+4}}{x} .
10–11 класиНерівність Коші
Відбіркові тести на IMOTST-2005-003

Найбільше значення симетричного раціонального виразу

Знайдіть найбільше можливе значення виразу xyz(1+x)(x+y)(y+z)(z+16)\frac{x y z}{(1+x)(x+y)(y+z)(z+16)} де x,y,zx, y, z — додатні дійсні числа.
10–11 класиНерівність Коші

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.