Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

2 456 задач
КомбінаторикаКонструкції
Шорт-лист IMOIMOSL-2023-011

Розфарбування ребер повного графа з гамільтоновою умовою

Архіпелаг Імомі складається з n⩾2n \geqslant 2 островів. Між кожною парою різних островів пролягає єдина поромна лінія, що працює в обох напрямках, і кожна поромна лінія обслуговується однією з kk компаній. Відомо, що якщо будь-яка одна з kk компаній закриє всі свої поромні лінії, то мандрівник, з якого б острова він не починав свій шлях, не зможе відвідати всі острови рівно по одному разу (зокрема, не повертаючись на острів, з якого він вирушив). Знайдіть найбільше можливе значення kk залежно від nn.
10–11 класиШляхи на графах
Шорт-лист IMOIMOSL-2023-004

Перестановки з обмеженою сумою коренів

Нехай NN — додатне ціле число. Доведіть, що існують три перестановки a1,a2,…,aNa_{1}, a_{2}, \ldots, a_{N}; b1,b2,…,bNb_{1}, b_{2}, \ldots, b_{N}; та c1,c2,…,cNc_{1}, c_{2}, \ldots, c_{N} чисел 1,2,…,N1,2, \ldots, N такі, що ∣ak+bk+ck−2N∣<2023\left|\sqrt{a_{k}}+\sqrt{b_{k}}+\sqrt{c_{k}}-2 \sqrt{N}\right|<2023 для кожного k=1,2,…,Nk=1,2, \ldots, N.
10–11 класиКонструкція за індукцією3 розв’язки
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2023-002

Чудові та гарні трикутники на n точках

Зафіксуємо натуральне число n⩾3n \geqslant 3. Нехай SS — це множина nn точок на площині, жодні три з яких не є колінеарними. Для попарно різних точок AA, BB, CC із множини SS назвемо трикутник ABCABC чудовим для сторони ABAB, якщо SABC⩽SABXS_{ABC} \leqslant S_{ABX} для будь-якої точки XX із множини SS, що відмінна від точок AA та BB. Трикутник назвемо гарним, якщо його вершини належать множині SS і він є чудовим принаймні для двох його сторін. Доведіть, що існує щонайменше 12(n−1)\frac{1}{2}(n-1) гарних трикутників. Примітка. Для одного відрізка ABAB може бути декілька чудових трикутників.
10–11 класиГеометричні конфігурації точок
Математичний матч Чехія–Австрія–Польща–СловаччинаCAPS-2022-001

Гра на клітчастій дошці з квадратами k × k

Задано натуральне число k⩽2022k \leqslant 2022. Анна та Богдан грають у таку гру на клітчастій дошці розміром 2022×20222022 \times 2022 клітинки. На початку гри всі клітинки є білими. Гравці роблять ходи по черзі, починає Анна. У свій хід Анна може або пофарбувати одну білу клітинку в жовтий колір, або пропустити свій хід, а Богдан у свій хід може або пофарбувати квадрат розміром k×kk \times k клітинок, усі клітинки якого є білими, у синій колір, або пропустити свій хід. Як тільки обидва гравці пропускають свій хід, гра завершується, і того, хто зафарбував більше клітинок, оголошують переможцем (у грі можлива нічия). Для кожного 1⩽k⩽20221 \leqslant k \leqslant 2022 визначте, чи має хтось із гравців виграшну стратегію, і якщо так, то хто саме.
10–11 класиГеометричні розфарбування
Математичний матч Чехія–Австрія–Польща–СловаччинаCAPS-2022-006

S-гарне слово з однаковою кількістю перестановок

Розглянемо 26 літер латинського алфавіту A,…,ZA, \ldots, Z. Словом назвемо будь-яку скінченну послідовність цих літер. Назвемо слово ss-гарним, якщо воно містить кожну з 26 літер цього алфавіту й кожна перестановка літер A,…,ZA, \ldots, Z трапляється в ньому як підпослідовність одну й ту саму кількість разів. Доведіть, що: а) гарне слово існує; б) будь-яке гарне слово містить принаймні 2022 літери. Примітка. Тут перестановка 26 літер π\pi трапляється як підпослідовність у слові s=s1s2s3…s = s_1 s_2 s_3 \ldots, якщо існують 26 таких індексів i1<i2<…<i26i_1 < i_2 < \ldots < i_{26}, що π=si1si2…si26\pi = s_{i_1} s_{i_2} \ldots s_{i_{26}}.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2022-001

Ряд монет двох типів і перші n монет

Ощадбанк Осло випускає монети двох типів: алюмінієві (їх позначають як AA) та бронзові (їх позначають як BB). У Михайлини є nn алюмінієвих та nn бронзових монет, які деяким чином викладено в рядок. Ланцюжком назвемо будь-яку послідовну групу монет одного типу. Для фіксованого натурального числа k⩽2nk \leqslant 2n Михайлина повторює таку операцію: вона вибирає найдовший ланцюжок, що містить kk-ту монету зліва, і переміщує всі монети із цього ланцюжка до лівого краю рядка. Наприклад, процес для n=k=4n = k = 4, починаючи з рядка AABBBABA, мав би вигляд AABBBABA→BBBAAABA→AAABBBBA→BBBBAAAA.AABBBABA \to BBBAAABA \to AAABBBBA \to BBBBAAAA. Знайдіть усі такі пари натуральних чисел (n,k)(n, k) з 1⩽k⩽2n1 \leqslant k \leqslant 2n, що для довільного можливого початкового розташування монет у рядок, у деякий момент перші nn монет будуть одного типу.
10–11 класиНапівінваріанти
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2022-006

Мінімальна кількість зльотів у байрактарському квадраті

Дано натуральне число nn. Дошку розміром n×nn \times n, у клітинках якої записано по одному числу, назвемо байрактарським квадратом, якщо вона містить усі натуральні числа від 11 до n2n^2. Дві різні клітинки вважатимемо сусідніми, якщо у них є спільна сторона. Назвемо клітинку днищем, якщо число в кожній сусідній до неї клітинці більше за число в цій клітинці. Назвемо зльотом таку послідовність з однієї чи більшої кількості клітинок, у якій: а) перша клітинка послідовності є днищем; б) кожна наступна клітинка послідовності є сусідньою до попередньої; в) числа в клітинках послідовності йдуть у порядку зростання. Знайдіть як функцію від nn мінімальну можливу кількість зльотів у байрактарському квадраті.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Шорт-лист IMOIMOSL-2022-001

Суми k різних елементів множини

Нехай k⩾2k \geqslant 2 — ціле число. Знайдіть найменше ціле n⩾k+1n \geqslant k+1 з властивістю, що існує множина з nn різних дійсних чисел така, що кожен її елемент можна записати як суму kk інших різних елементів цієї множини.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Шорт-лист IMOIMOSL-2022-009

Мінімальна кількість купок при рівних перекладаннях

Нехай nn — натуральне число. Починаємо з nn купок камінців, у кожній спочатку по одному камінцю. Можна виконувати ходи такого вигляду: вибрати дві купки, взяти з кожної купки однакову кількість камінців і утворити з цих камінців нову купку. Для кожного натурального числа nn знайдіть найменшу кількість непорожніх купок, яку можна отримати, виконавши скінченну послідовність ходів такого вигляду.
10–11 класиІнші інваріанти3 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2022-010

Породження цілочисельних наборів сумою та максимумом

Люсі спочатку записує на дошку ss цілочисельних 2022-наборів. Після цього вона може взяти будь-які два (не обов'язково різні) набори v=(v1,…,v2022)\mathbf{v} = (v_1, \ldots, v_{2022}) і w=(w1,…,w2022)\mathbf{w} = (w_1, \ldots, w_{2022}), які вона вже записала, і застосувати до них одну з таких операцій, щоб отримати новий набір: v+w=(v1+w1,…,v2022+w2022)v∨w=(max⁡(v1,w1),…,max⁡(v2022,w2022))\begin{aligned} & \mathbf{v} + \mathbf{w} = (v_1 + w_1, \ldots, v_{2022} + w_{2022}) \\ & \mathbf{v} \vee \mathbf{w} = (\max(v_1, w_1), \ldots, \max(v_{2022}, w_{2022})) \end{aligned} а потім записати цей набір на дошку. Виявляється, що в такий спосіб Люсі може за скінченну кількість кроків записати на дошку будь-який цілочисельний 2022-набір. Яке найменше можливе число ss наборів, які вона записала спочатку?
10–11 класиІнші інваріанти
Шорт-лист IMOIMOSL-2022-011

Непарні значення в монотонній бієкції ґратки

Нехай Z⩾0\mathbb{Z}_{\geqslant 0} — множина невід'ємних цілих чисел, а f:Z⩾0×Z⩾0→Z⩾0f: \mathbb{Z}_{\geqslant 0} \times \mathbb{Z}_{\geqslant 0} \rightarrow \mathbb{Z}_{\geqslant 0} — бієкція така, що щоразу, коли f(x1,y1)>f(x2,y2)f\left(x_{1}, y_{1}\right)>f\left(x_{2}, y_{2}\right), виконується f(x1+1,y1)>f(x2+1,y2)f\left(x_{1}+1, y_{1}\right)>f\left(x_{2}+1, y_{2}\right) і f(x1,y1+1)>f(x2,y2+1)f\left(x_{1}, y_{1}+1\right)>f\left(x_{2}, y_{2}+1\right). Нехай NN — кількість пар цілих чисел (x,y)(x, y), де 0⩽x,y<1000 \leqslant x, y<100, таких, що f(x,y)f(x, y) непарне. Знайдіть найменше й найбільше можливі значення NN.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Міжнародна Жаутиковська олімпіада (IZhO)IZHO-2022-002

Двокольорове десятиповерхове дерево та його перестановки

На площині нарисоване 10-поверхове 2-дерево: вершину A1A_1 сполучено з двома вершинами B1B_1 і B2B_2, кожну з яких сполучено з двома із чотирьох вершин C1,C2,C3,C4C_1, C_2, C_3, C_4. Кожну з вершин CiC_i сполучено рівно з однією з вершин BjB_j, і так далі, по степенях числа 2 (на дев’ятому рівні 512 точок, тобто 292^9) до 512 вершин J1,J2,J3,…,J512J_1, J_2, J_3, \ldots, J_{512}. Кожну з вершин J1,J2,J3,…,J512J_1, J_2, J_3, \ldots, J_{512} пофарбовано в один із двох кольорів — блакитний чи жовтий. Розглядаємо всі можливі перестановки ff множини вершин нарисованого дерева: - якщо вершини XX та YY були сполучені відрізком, то й вершини f(X)f(X) та f(Y)f(Y) також сполучені відрізком; - якщо вершину XX пофарбовано в один з кольорів, то й вершину f(X)f(X) також пофарбовано в той самий колір. Для якого максимального MM гарантовано знайдуться принаймні MM таких різних перестановок?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2021-022

Розбиття рівностороннього трикутника на n рівносторонніх трикутників

Дано рівносторонній трикутник. Знайдіть усі натуральні числа nn такі, що його можна розбити на nn рівносторонніх трикутників (не обов’язково однакового розміру).
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2021-027

Ламана з майже ідеальними самоперетинами

Назвемо перетин двох відрізків майже ідеальним, якщо для кожного з них довжина відрізка щонайменше у 20212021 разів перевищує відстань між його серединою та точкою перетину. Доведіть, що існує замкнена ламана, яка перетинає кожен зі своїх відрізків принаймні один раз і для якої всі її перетини є майже ідеальними.
10–11 класиКонструкція через симетрією
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2021-005

Найбільша кількість товстих трикутників для 2021 точки

На площині зафіксовано точку OO, яку назвемо початком. Нехай PP — множина з 20212021 такої точки на площині, що: - жодні три точки з множини PP не лежать на одній прямій; - жодні дві точки з множини PP не лежать на одній прямій з початком. Трикутник з вершинами в множині PP назвемо товстим, якщо точка OO лежить строго всередині цього трикутника. Знайдіть максимальну кількість товстих трикутників.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Шорт-лист IMOIMOSL-2021-012

Барвисте розфарбування кола з послідовними умовами

Нехай n⩾3n \geqslant 3 — ціле число. Ціле число m⩾n+1m \geqslant n+1 називається nn-барвистим, якщо, маючи нескінченно багато кульок кожного з nn кольорів C1,C2,…,CnC_{1}, C_{2}, \ldots, C_{n}, можна розмістити mm з них по колу так, що в будь-якій групі з n+1n+1 послідовних кульок є принаймні одна кулька кольору CiC_{i} для кожного i=1,…,ni=1, \ldots, n. Доведіть, що існує лише скінченно багато додатних цілих чисел, які не є nn-барвистими. Знайдіть найбільше серед них.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Шорт-лист IMOIMOSL-2021-005

Сума цілих частин за перестановкою

Нехай nn — натуральне число. Знайдіть найменше значення ⌊a11⌋+⌊a22⌋+⋯+⌊ann⌋\left\lfloor\frac{a_{1}}{1}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{a_{2}}{2}\right\rfloor+\cdots+\left\lfloor\frac{a_{n}}{n}\right\rfloor за всіма перестановками (a1,a2,…,an)(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}) чисел (1,2,…,n)(1,2, \ldots, n).
10–11 класиЦіла та дробова частини числа3 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2021-015

Кролик на розфарбованій нескінченній сітці

Мисливець і невидимий кролик грають у гру на нескінченній клітинній дошці. Спочатку мисливець фіксує розфарбування клітин у скінченну кількість кольорів. Потім кролик таємно обирає клітину, з якої стартує. Щохвилини кролик повідомляє мисливцеві колір клітини, в якій він перебуває, а потім таємно переміщується в сусідню клітину, в якій він ще не був (дві клітини сусідні, якщо мають спільну сторону). Мисливець виграє, якщо через деякий скінченний час або - кролик не може ходити; або - мисливець може визначити клітину, з якої кролик стартував. Визначте, чи існує виграшна стратегія для мисливця.
10–11 класиГеометричні розфарбування
Шорт-лист IMOIMOSL-2021-016

Мінімальні блокувальні множини на дошці

Розглянемо клітчастий квадрат 3m×3m3m \times 3m, де mm — ціле число, більше за 11. Жабка сидить у лівій нижній кутовій клітинці SS і хоче дістатися до правої верхньої кутової клітинки FF. Жабка може стрибати з будь-якої клітинки або в наступну клітинку праворуч, або в наступну клітинку вгору. Деякі клітинки можуть бути липкими, і жабка потрапляє в пастку, щойно стрибає на таку клітинку. Множину XX клітинок називають блокувальною, якщо жабка не може дістатися з SS до FF, коли всі клітинки з XX липкі. Блокувальну множину називають мінімальною, якщо вона не містить меншої блокувальної множини. a. Доведіть, що існує мінімальна блокувальна множина, яка містить принаймні 3m2−3m3m^{2} - 3m клітинок. b. Доведіть, що кожна мінімальна блокувальна множина містить не більше ніж 3m23m^{2} клітинок. Зауваження. Приклад мінімальної блокувальної множини для m=2m=2 наведено нижче. Клітинки множини XX позначено літерами xx. | | | | | | FF | |:--- |:--- |:--- |:--- |:--- |:--- | | xx | xx | | | | | | | | xx | | | | | | | | xx | | | | | | | | xx | | | SS | | xx | | | |
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Шорт-лист IMOIMOSL-2021-017

Перестановки з попарним розділенням у стовпцях

Визначте найбільше NN, для якого існує таблиця TT цілих чисел з NN рядками та 100 стовпцями, що має такі властивості: (i) Кожен рядок містить числа 1,2,…,1001,2, \ldots, 100 у деякому порядку. (ii) Для будь-яких двох різних рядків rr і ss існує стовпець cc такий, що ∣T(r,c)−T(s,c)∣⩾2|T(r, c)-T(s, c)| \geqslant 2. Тут T(r,c)T(r, c) означає число на перетині рядка rr та стовпця cc.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…2 розв’язки
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2021-002

Кількість ходів для визначення загаданого числа

Ксенія та Сергій грають у таку гру. Ксенія загадує натуральне число N⩽5000N \leqslant 5000. Потім вона вибирає попарно різні натуральні числа a1,a2,…,a20a_1, a_2, \ldots, a_{20}, такі, що для k=1,20‾k = \overline{1, 20} числа NN та aka_k мають однакові залишки від ділення на kk. На кожному ході Сергій називає Ксенії множину SS, що складається з натуральних чисел, які не перевищують 2020, а вона називає йому множину {ak:k∈S}\{a_k : k \in S\}, але не каже, яке число відповідає якому індексу. Скільки ходів потрібно Сергію, щоб гарантовано визначити число, яке загадала Ксенія?
10–11 класиКитайська теорема про остачі
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2021-005

Опуклий многокутник з поворотом на 60° і точки

Дано натуральне число nn. Форма території королівства Zoomландія являє собою опуклий многокутник з периметром 6n6n, довжини сторін якого є натуральними числами, причому королівству належать усі точки цього многокутника, як внутрішні, так і межові. Відомо, що в результаті повороту на кут 60∘60^\circ відносно деякої точки OO площини многокутник переходить у себе. Через пандемію уряд Zoomландії хоче розмістити 3n2+3n+13n^2 + 3n + 1 мешканців у деяких 3n2+3n+13n^2 + 3n + 1 точках країни, відстань між будь-якими двома точками не менша за 11. Доведіть, що це можливо.
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2021-006

Початковий многочлен для отримання (A, B)-хороших многочленів

Неконстантний многочлен S(x)S(x) із дійсними коефіцієнтами записано на дошці. Дозволено вибрати многочлен P(x)P(x), уже записаний на дошці, та дописати довільний многочлен вигляду P(C+x)P(C + x) або C+P(x)C + P(x), де CC — дійсне число. Більше того, можна вибрати довільні два (можливо, однакові) многочлени P(x)P(x) та Q(x)Q(x), уже записані на дошці, та дописати многочлени P(Q(x))P(Q(x)) та P(x)+Q(x)P(x) + Q(x). Многочлени з дошки не прибирають. Дано дві множини дійсних чисел A={a1,a2,…,an}A = \{a_1, a_2, \ldots, a_n\} та B={b1,b2,…,bn}B = \{b_1, b_2, \ldots, b_n\}. Многочлен f(x)f(x) із дійсними коефіцієнтами назвемо (A,B)(A, B)-хорошим, якщо f(A)=Bf(A) = B, де f(A)={f(ai):i=1,n‾}.f(A) = \{f(a_i) : i = \overline{1, n}\}. Знайдіть усі можливі многочлени S(x)S(x), що могли бути записані на дошці спочатку, якщо для довільних скінченних множин дійсних чисел AA та BB, для яких ∣A∣=∣B∣|A| = |B|, можна отримати (A,B)(A, B)-хороший многочлен за скінченну кількість дозволених операцій.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2020-022

Граф з різними вагами вершин

На дні народження Георга присутні n>1n > 1 гостей, і кожен гість дружить принаймні з одним іншим гостем. Георг організовує гру для гостей. Кожен гість отримує глечик води так, що немає двох гостей з однаковою кількістю води в їхніх глечиках. Далі кожен гість діє так. Гість бере по одній чашці для кожного зі своїх друзів на святі та розливає всю воду зі свого глечика порівну в чашки. Потім він передає по чашці кожному зі своїх друзів. Кожен гість, отримавши по чашці води від кожного зі своїх друзів, виливає отриману воду у свій глечик. Яка найменша можлива кількість гостей, у яких кількість води не така сама, як була на початку?
10–11 класиСтепені вершин
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2020-024

Потрійні перетини прямих у просторі

У тривимірному просторі вибрано 6 прямих. Знайдіть найбільшу кількість точок, в яких перетинаються принаймні 3 з вибраних прямих.
10–11 класиПідрахунок двома способами

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.