Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

2 443 задачі
ГеометріяКола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-132

Трикутник із трисекцією основи й умовою на кути

Трикутник ABCABC з ∠BAC>90∘\angle BAC > 90^{\circ} має AB=5AB = 5 і AC=7AC = 7. Точки DD і EE лежать на відрізку BCBC так, що BD=DE=ECBD = DE = EC. Якщо ∠BAC+∠DAE=180∘\angle BAC + \angle DAE = 180^{\circ}, обчисліть довжину сторони BCBC.
10–11 класиГомотерія і подібність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-102

Хорди вписаного кола і сума сторін трикутника

Нехай ABCABC — трикутник, у якому AB<ACAB < AC. Вписане коло трикутника ABCABC дотикається до сторони BCBC в точці DD і перетинає серединний перпендикуляр до відрізка BCBC у двох різних точках XX і YY. Прямі AXAX і AYAY перетинають пряму BCBC у точках PP і QQ відповідно. Доведіть, що якщо DP⋅DQ=(AC−AB)2DP \cdot DQ = (AC - AB)^2, то AB+AC=3BCAB + AC = 3 BC.
10–11 класиПроєктивна геометрія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-084

Найменша відстань у прямокутній трапеції

Нехай ABCDABCD — опукла трапеція така, що ∠ABC=∠BCD=90∘\angle ABC = \angle BCD = 90^{\circ}, AB=3AB = 3, BC=6BC = 6 і CD=12CD = 12. Серед усіх точок XX всередині трапеції, які задовольняють ∠XBC=∠XDA\angle XBC = \angle XDA, обчисліть найменше можливе значення довжини відрізка CXCX.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-032

Бісектриса та висота в гострокутному трикутнику

Гострокутний трикутник ABCABC має центр описаного кола OO. Бісектриса ∠ABC\angle ABC і висота з CC на сторону ABAB перетинаються в точці XX. Припустімо, що існує коло, яке проходить через BB, OO, XX і CC. Якщо ∠BAC=n∘\angle BAC = n^{\circ}, де nn — натуральне число, обчисліть найбільше можливе значення nn.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-039

Коло, дотичне до відрізків у рівносторонньому трикутнику

Нехай ABCABC — рівносторонній трикутник зі стороною 1515. Нехай AbA_b і BaB_a — точки на стороні ABAB, AcA_c і CaC_a — точки на стороні ACAC, а BcB_c і CbC_b — точки на стороні BCBC такі, що △AAbAc\triangle AA_bA_c, △BBcBa\triangle BB_cB_a і △CCaCb\triangle CC_aC_b — рівносторонні трикутники зі сторонами 33, 44 і 55 відповідно. Обчисліть радіус кола, дотичного до відрізків AbAc‾\overline{A_bA_c}, BaBc‾\overline{B_aB_c} і CaCb‾\overline{C_aC_b}.
10–11 класиРівнобедрений та рівносторонній т…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-050

Довжина хорди гіперболи

Точки A=(4,14)A=\left(4, \frac{1}{4}\right) і B=(−5,−15)B=\left(-5,-\frac{1}{5}\right) лежать на гіперболі xy=1x y=1. Коло з діаметром ABA B перетинає цю гіперболу ще раз у точках XX і YY. Обчисліть довжину відрізка XYX Y.
10–11 класиМетод координат
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-052

Квадрат сторони AB вписаного чотирикутника AXBY

Нехай AXBYA X B Y — вписаний чотирикутник, а пряма ABA B і пряма XYX Y перетинаються в точці CC. Припустімо, що AX⋅AY=6A X \cdot A Y = 6, BX⋅BY=5B X \cdot B Y = 5 і CX⋅CY=4C X \cdot C Y = 4. Обчисліть AB2A B^{2}.
10–11 класиКоло і подібність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-054

Прямокутний трикутник із дотичним колом і відрізками гіпотенузи

Накреслено прямокутний трикутник і коло так, що коло дотикається до катетів прямокутного трикутника. Коло розбиває гіпотенузу на три відрізки завдовжки 11, 2424 і 33, причому відрізок завдовжки 2424 є хордою кола. Обчисліть площу трикутника.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-060

Чотирикутник з фіксованими кутами і сторонами

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник, у якому ∠ABD=105∘\angle ABD = 105^{\circ}, ∠ADB=15∘\angle ADB = 15^{\circ}, AC=7AC = 7 і BC=CD=5BC = CD = 5. Обчисліть суму всіх можливих значень довжини діагоналі BDBD.
10–11 класиОписане коло
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-068

Відстань від B до прямої AM за рівності кутів

Нехай ABCABC — трикутник із ∠BAC>90∘\angle BAC > 90^{\circ}. Нехай DD — основа перпендикуляра з AA на сторону BCBC. Нехай MM і NN — середини відрізків BCBC і BDBD відповідно. Припустимо, що AC=2AC = 2, ∠BAN=∠MAC\angle BAN = \angle MAC і AB⋅BC=AMAB \cdot BC = AM. Обчисліть відстань від BB до прямої AMAM.
10–11 класиКоло і подібність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-069

Відстань між центрами кіл за довжинами дотичних

Нехай ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} — два кола, які не перетинаються. Припустімо, що виконуються такі три умови: - Довжина спільної внутрішньої дотичної до кіл ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} дорівнює 1919. - Довжина спільної зовнішньої дотичної до кіл ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} дорівнює 3737. - Якщо точки XX і YY вибрано на колах ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} відповідно рівномірно навмання, то математичне сподівання XY2XY^{2} дорівнює 20232023. Обчисліть відстань між центрами кіл ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2}.
10–11 класиЗастосування тригонометрії2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2023-003

Діаметрально протилежна точка як центр описаного кола

Нехай △ABC\triangle ABC — трикутник, у якому ∣AB∣<∣AC∣<∣BC∣|AB| < |AC| < |BC|, а Γ\Gamma — його описане коло з центром OO. Нехай ω1\omega_1 — коло з центром BB і радіусом ∣AC∣|AC|, а ω2\omega_2 — коло з центром CC і радіусом ∣AB∣|AB|. Кола ω1\omega_1 і ω2\omega_2 перетинаються в точці EE такій, що AA і EE лежать по різні боки від прямої BCBC. Кола Γ\Gamma і ω1\omega_1 перетинаються в точці FF, а кола Γ\Gamma і ω2\omega_2 перетинаються в точці GG, такій, що FF і GG лежать з того самого боку від прямої BCBC, що й EE. Доведіть, що точка KK, діаметрально протилежна точці AA на колі Γ\Gamma, є центром описаного кола трикутника △EFG\triangle EFG. Точка KK, діаметрально протилежна точці AA, — це єдина точка на колі така, що AKAK — діаметр.
10–11 класиТочка перетину серединних перпенд…
Відбіркові тести на IMOTST-2023-020

Трикутник із центроїдом та кутовою умовою

Нехай ABCABC — трикутник із центроїдом GG. Точки RR і SS вибрано на променях GBGB та GCGC відповідно так, що ∠ABS=∠ACR=180∘−∠BGC.\angle ABS = \angle ACR = 180^\circ - \angle BGC. Доведіть, що ∠RAS+∠BAC=∠BGC\angle RAS + \angle BAC = \angle BGC.
10–11 класиТочка перетину медіан
Відбіркові тести на IMOTST-2023-009

Дотичне коло і рівність кутів у трикутнику

Дано трикутник ABCABC і точку DD на відрізку ACAC. Нехай MM — середина відрізка CDCD, а Ω\Omega — коло через BB і DD, яке дотикається до сторони ABAB. Нехай EE — така точка, що △MDB∼△MBE\triangle MDB \sim \triangle MBE і DD та EE лежать по різні боки від прямої MBMB. Доведіть, що EE лежить на колі Ω\Omega тоді й лише тоді, коли ∠ABD=∠MBC\angle ABD = \angle MBC.
10–11 класиОзнаки подібності
Відбіркові тести на IMOTST-2023-007

Коло через B і D, дотичне до AB

Дано трикутник ABCABC і точку DD на відрізку ACAC. Нехай MM — середина відрізка CDCD, а Ω\Omega — коло через BB і DD, дотичне до прямої ABAB. Нехай EE — така точка, що △MDB∼△MBE\triangle MDB \sim \triangle MBE і що DD і EE лежать по різні боки від прямої MBMB. Доведіть, що EE лежить на колі Ω\Omega тоді й лише тоді, коли ∠ABD=∠MBC\angle ABD = \angle MBC.
10–11 класиОзнаки подібності
Відбіркові тести на IMOTST-2023-013

Точки D, E, F на колах в рівнобедреному трикутнику

Нехай △ABC\triangle A B C — рівнобедрений трикутник, у якому ∣AB∣=∣AC∣|A B|=|A C|. Дано точку PP всередині △ABC\triangle A B C, відмінну від центра описаного кола. Нехай ω\omega — коло, що проходить через CC і має центр PP. Відомо, що коло ω\omega перетинає відрізки BCB C і ACA C вдруге відповідно в DD і EE. Нехай Γ\Gamma — описане коло трикутника △AEP\triangle A E P, а FF — друга точка перетину кіл ω\omega і Γ\Gamma. Доведіть, що центр описаного кола трикутника △BDF\triangle B D F лежить на колі Γ\Gamma.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2023-014

Відстані від зовнівписаного центра і центра описаного кола

У трикутнику △ABC\triangle ABC, де ∠ABC<∠BCA\angle ABC < \angle BCA, позначимо через KK центр зовнівписаного кола, яке дотикається до сторони ACAC. Прямі AKAK і BCBC перетинаються в точці DD. Нехай EE — центр описаного кола трикутника △BKC\triangle BKC. Доведіть, що 1∣KA∣=1∣KD∣+1∣KE∣\frac{1}{|KA|} = \frac{1}{|KD|} + \frac{1}{|KE|}
10–11 класиЗовнівписане коло
Відбіркові тести на IMOTST-2023-033

Умова описаного кола для рівнобедреного трикутника

Нехай ABCABC і AMNAMN — два подібні трикутники з однаковою орієнтацією, які не накладаються один на одного, такі, що AB=ACAB = AC і AM=ANAM = AN. Нехай OO — центр описаного кола трикутника MABMAB. Доведіть, що точки OO, CC, NN і AA лежать на одному колі тоді й лише тоді, коли трикутник ABCABC є рівностороннім.
10–11 класиПоворот
Відбіркові тести на IMOTST-2023-031

Перетин відрізків і рівні периметри у рівносторонньому трикутнику

Нехай ABCABC — рівносторонній трикутник зі стороною 11. Точки A1A_1 і A2A_2 вибрані на стороні BCBC, точки B1B_1 і B2B_2 вибрані на стороні CACA, а точки C1C_1 і C2C_2 вибрані на стороні ABAB так, що BA1<BA2BA_1 < BA_2, CB1<CB2CB_1 < CB_2 і AC1<AC2AC_1 < AC_2. Припустимо, що три відрізки B1C2B_1C_2, C1A2C_1A_2 і A1B2A_1B_2 перетинаються в одній точці, а периметри трикутників AB2C1AB_2C_1, BC2A1BC_2A_1 і CA2B1CA_2B_1 рівні між собою. Знайдіть усі можливі значення цього спільного периметра.
10–11 класиВписане коло
Італійська математична олімпіадаITAMO-2023-006

Площа сердечка з дотичних дуг

Аліса малює сердечко в зошиті з математики так: спочатку вона малює два кола радіуса 1 см1~\text{см} з центрами O1O_1, O2O_2, які дотикаються зовні. Позначивши через rr спільну дотичну до двох кіл, що проходить через точку дотику, вона далі вибирає на прямій rr точку PP так, щоб O1PO2^=60∘\widehat{O_1 P O_2}=60^\circ, і проводить через PP дотичні до двох кіл. Чому дорівнює площа отриманого сердечка (тобто площа заштрихованої на рисунку фігури) в см2\text{см}^2? (A) 23+43π2 \sqrt{3}+\frac{4}{3} \pi (B) 3+π\sqrt{3}+\pi (C) 73π\frac{7}{3} \pi (D) 32+2π\frac{3}{2}+2 \pi (E) Жодна з попередніх
10–11 класиПлоща кола і його частин
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2023-014

Перпендикулярність у конфігурації з медіаною та проєкціями

У гострокутному трикутнику ABCABC нехай DD, EE і FF — середини сторін BCBC, CACA і ABAB відповідно. Нехай XX і YY — основи перпендикулярів, проведених із DD до сторін ABAB і ACAC відповідно. Пряма, що проходить через FF і паралельна прямій XYXY, перетинає пряму DYDY в точці PP, відмінній від EE. Доведіть, що пряма ADAD і пряма EPEP перпендикулярні.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2023-001

Точки на сторонах трикутника і відрізки PX та PY

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, у якому AB<ACAB < AC. Точки D,ED, E лежать у внутрішності відрізків AB,ACAB, AC відповідно. Нехай PP — точка, для якої PB=PD,PC=PEPB = PD, PC = PE. Нехай XX — точка у внутрішності дуги ACAC описаного кола трикутника ABCABC, яка не містить точку BB. Пряма XAXA вдруге перетинає описане коло трикутника ADEADE у точці YY. Доведіть, що PX=PYPX = PY.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2023-005

Колінеарність у вкладених квадратах

Нехай ABCDABCD — квадрат (вершини позначено за годинниковою стрілкою). Нехай ZZ — довільна точка на діагоналі ACAC між AA і CC така, що AZ>ZCAZ > ZC. Нехай XX і YY — такі точки, що AXYZAXYZ — квадрат (вершини позначено за годинниковою стрілкою), а точка BB лежить усередині квадрата AXYZAXYZ. Нехай MM — точка перетину прямих BXBX і DZDZ (за потреби продовжених). Доведіть, що CC, MM і YY лежать на одній прямій.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2023-015

Симетричний образ MA на колі трикутника IMBMC

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з інцентром II. На його описаному колі нехай MAM_{A}, MBM_{B} і MCM_{C} — середини менших дуг BCBC, CACA і ABAB відповідно. Доведіть, що образ точки MAM_{A} при симетрії відносно прямої IMBIM_{B} лежить на описаному колі трикутника IMBMCIM_{B}M_{C}.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2023-003

Паралельні прямі від трисекції кута

Нехай ABCABC — трикутник такий, що 2⋅∠CBA=3⋅∠ACB2 \cdot \angle CBA = 3 \cdot \angle ACB. Точки DD і EE лежать на стороні ACAC так, що BDBD і BEBE ділять ∠CBA\angle CBA на три рівні кути, і DD знаходиться між AA і EE. Крім того, нехай FF — точка перетину сторони ABAB і бісектриси ∠ACB\angle ACB. Доведіть, що прямі BEBE і DFDF паралельні.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.