Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

2 456 задач
КомбінаторикаКонструкції
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2020-027

Знайомства обмінами у двочастковому графі

Кожну вершину повного двочасткового графа K128,128K_{128,128} займає одна людина. На початку всі люди незнайомі між собою. Якщо люди перебувають у суміжних вершинах, вони одразу знайомляться. Дозволено взяти кілька ребер без спільних вершин і поміняти місцями людей у кінцевих вершинах кожного ребра. Яка найменша кількість таких операцій потрібна, щоб усі люди познайомилися між собою?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2020-028

Максимальна кількість гостей з різними четвірками

Нехай nn — натуральне число. Ресторан пропонує на вибір nn закусок, nn основних страв, nn десертів та nn вин. Весела компанія вечеряє в ресторані, причому кожен гість обирає закуску, основну страву, десерт і вино. Жодні двоє гостей не зробили повністю однакового замовлення. Виявилося, що немає такої групи з nn гостей, чиї замовлення збігаються за трьома позиціями, а за четвертою — усі різні. (Наприклад, немає nn людей, які замовили ті самі три страви, але nn різних вин.) Яка найбільша можлива кількість гостей?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2020-029

Розмітка вершин і ребер з різними сумами в сусідів

Кожній вершині vv і кожному ребру ee графа GG приписано числа f(v)∈{1,2}f(v) \in \{1, 2\} і f(e)∈{1,2,3}f(e) \in \{1, 2, 3\} відповідно. Нехай S(v)S(v) — сума чисел, приписаних ребрам, інцидентним vv, плюс число f(v)f(v). Назвемо приписування ff класним, якщо S(u)≠S(v)S(u) \neq S(v) для кожної пари суміжних вершин графа GG. Доведіть, що кожен граф має класне приписування.
10–11 класиЖадібний алгоритм
Кіберпросторове математичне змагання (CMC)CMC-2020-001

Для яких n покриття куточками дошки без головної діагоналі

Розглянемо дошку розміром n×nn \times n. Головною діагоналлю цієї дошки є nn одиничних квадратиків 1×11 \times 1, що йдуть вздовж діагоналі від лівого верхнього до правого нижнього квадратика. У нас є необмежена кількість фігурок «куточок», що складаються з трьох клітинок 1×11 \times 1. Фігурки можна як завгодно повертати. Ми маємо розташовувати фігурки на дошці так, щоб кожна з них покривала рівно три одиничних квадратики, жодні дві фігурки не перекривалися, при цьому квадратики головної діагоналі лишилися непокритими, а кожний інший одиничний квадратик дошки був би покритий рівно однією фігуркою. Для яких n⩾2n \geqslant 2 це можливо?
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Кіберпросторове математичне змагання (CMC)CMC-2020-005

Числа на дошці і отримання чисел -2020 та 2020

На дошці записано 2020 натуральних чисел. Щохвилини Зумінг витирає два числа та замість них записує на дошці одне із чисел: їхню суму, різницю, добуток або частку. Наприклад, якщо Зумінг витирає числа 6 і 3, то замість них він може записати одне із чисел множини {6+3, 6−3, 3−6, 6⋅3, 6:3, 3:6}={9, 3, −3, 18, 2, 12}.\{6+3,\ 6-3,\ 3-6,\ 6\cdot 3,\ 6:3,\ 3:6\}=\left\{9,\ 3,\ -3,\ 18,\ 2,\ \frac{1}{2}\right\}. Через 2019 хвилин Зумінг записав на дошці єдине число −2020-2020. Доведіть, що Зумінг міг останнім записати число 2020, використовуючи ті самі правила та почавши з тих же 2020 початкових чисел.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Кіберпросторове математичне змагання (CMC)CMC-2020-007

Найбільша сума добутків білих рядків і чорних стовпців

Кожну з n2n^2 комірок сітки n×nn \times n пофарбовано або в чорний, або в білий колір. Нехай через aia_i позначено кількість білих комірок в ii-му рядку, а через bib_i позначено кількість чорних комірок в ii-му стовпчику. Знайдіть максимальне можливе значення величини ∑i=1naibi\sum\limits_{i=1}^{n} a_i b_i для всіх можливих розфарбувань сітки.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Фінальний математичний кубок (FMC)FMC-2020-003

k чорних клітинок без дотиків у рядках і стовпцях

Нехай kk, n>1n > 1, k<nk < n — натуральні числа. Задано дошку розміром n×nn \times n, що складається з одиничних квадратиків. Андрій і Дарина вчиняють у такий спосіб: на кожному кроці деякий одиничний квадратик дошки зафарбовують чорним кольором так, що чорні квадратики не мають спільних сторін і спільних вершин. При якому найменшому натуральному nn вони зможуть отримати конфігурацію, коли в кожному рядку та кожному стовпці містяться рівно kk чорних клітинок? Намалюйте хоча б один приклад такого розфарбування.
7–10 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2020-003

Дві рівні купки камінців 1…4n за кольорами

Маємо 4n4n камінців масою 1,2,3,…,4n1, 2, 3, \ldots, 4n. Кожний камінець пофарбовано в один з nn кольорів, при цьому маємо по 44 камінці кожного кольору. Доведіть, що камінці можна розділити на дві купки рівної сумарної маси так, щоб у кожній купці було по 22 камінці кожного кольору.
10–11 класиШляхи на графах
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2020-004

Дві компанії на схилі зі спільним сполученням станцій

Дано число n>1n > 1. На попарно різних висотах гірського схилу розташовано n2n^2 станцій фунікулеру. Кожна з двох компаній AA та BB володіє kk підйомниками. Кожний підйомник виконує регулярний трансфер (без пересадок) з однієї станції на іншу, розташовану вище. kk трансферів компанії AA починаються на kk різних станціях; закінчуються вони також на kk різних станціях; при цьому трансфер, який починається вище, закінчується також вище. Ті самі умови виконано й для компанії BB. Казатимемо, що дві станції сполучені компанією, якщо можна дістатися з нижньої станції на верхню, використовуючи один чи декілька трансферів цієї компанії (інші пересування між станціями заборонено). Знайдіть найменше kk, при якому гарантовано знайдуться дві станції, що сполучені обома компаніями.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Шорт-лист IMOIMOSL-2020-006

Неперетинні чотирикутники з вершинами різного кольору

У правильному 100-кутнику 41 вершину пофарбовано в чорний колір, а решту 59 вершин пофарбовано в білий колір. Доведіть, що існують 24 опуклі чотирикутники Q1,…,Q24Q_{1}, \ldots, Q_{24}, вершини яких є вершинами 100-кутника, такі, що - чотирикутники Q1,…,Q24Q_{1}, \ldots, Q_{24} попарно не перетинаються, і - кожен чотирикутник QiQ_{i} має три вершини одного кольору й одну вершину іншого кольору.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Міжнародна Жаутиковська олімпіада (IZhO)IZHO-2020-002

Найбільше k для семиелементних підмножин з перетинами

У множині з 2020 елементів вибрано 2k+12k+1 різні семиелементні підмножини, кожна з яких перетинається рівно з kk вибраними підмножинами. При якому найбільшому kk це можливо?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Міжнародна Жаутиковська олімпіада (IZhO)IZHO-2020-006

Чорно-біла дошка n × n з найбільшою сумою чисел

На дошці розміром n×nn \times n, n>2n > 2, деякі клітинки чорні, а решта — білі. У кожній білій клітинці записано число, що дорівнює кількості чорних клітинок, які мають із цією білою клітинкою принаймні одну спільну вершину. Знайдіть найбільше можливе значення суми всіх записаних чисел.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2019-025

Розбиття множини з мультиплікативними трійками

З’ясуйте, чи існує ціле число k≥2k \ge 2 таке, що при будь-якому розбитті множини {2,3,…,k}\{2, 3, \dots, k\} на дві частини принаймні одна з частин містить числа a,ba, b і cc, для яких ab=cab = c? (Дозволено a=ba = b.) Якщо таке число kk існує, знайдіть найменше kk із цією властивістю.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2019-027

Покриття прямокутника 6 на n зафарбованими клітинками

Нехай M(n)M(n) — найменша кількість клітинок, які треба зафарбувати в квадратній сітці 6×n6 \times n, щоб кожен прямокутник 2×32 \times 3 (у будь-якій орієнтації) містив зафарбовану клітинку. Чи правда, що M(n)=pn+kn3M(n) = p_n + k_n^3 для всіх n≥2n \ge 2, де pnp_n — просте число, а knk_n — невід'ємне ціле число?
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2019-009

Суми біноміальних коефіцієнтів та непредставне число

Знайдіть найменше натуральне число, яке не можна подати у вигляді (a2)+(b2)+c\binom{a}{2} + \binom{b}{2} + c з невід'ємними цілими числами a,b,ca, b, c, що задовольняють умови a≥b≥ca \ge b \ge c та a+b≤2019a + b \le 2019.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2019-031

Мінімальна кількість відкритих карток для однозначної змійки

Фокусник розкладає на дошці 3×1003 \times 100 картки з числами від 11 до 300300 «змійкою» так, що послідовні числа стоять у сусідніх по стороні клітинках (по горизонталі або по вертикалі, але не по діагоналі). Числа написані на нижніх боках карток, верхні боки порожні. Після цього фокусник за власним вибором перевертає kk карток. При якому найменшому kk може трапитися так, що відкриті картки однозначно визначають усю змійку?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2019-032

Скорочення рядка з дозволеними вставками

Хакерка замкнена в підземному промисловому комплексі. Перед нею екран комп'ютера, на якому з'являється довге повідомлення довжини 7272, що складається із символів EE, XX, II, TT, по рівно 1818 літер кожного виду в деякому на вигляд випадковому порядку. Повідомленням можна маніпулювати, вставляючи в довільне місце повідомлення будь-яку з комбінацій EXEX, XEXE, ITIT, TITI, IXIXIIXIXI Таку комбінацію можна також стирати, де б вона не траплялася в повідомленні. Хакерка може втекти, коли систему буде зламано, а це відбувається тоді, коли на екрані залишиться лише слово EXIT. Покажіть, що вона може втекти, використавши менше ніж 20192019 операцій.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2019-010

Суми добутків з фіксованою сумою

Визначте всі цілі числа, які можна подати у вигляді x1x2+x2x3+⋯+xk−1xk,x_1x_2 + x_2x_3 + \dots + x_{k-1}x_k, де x1,x2,…,xkx_1, x_2, \dots, x_k — натуральні числа, сума яких дорівнює 20192019.
10–11 класиМетод математичної індукції
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2019-035

Відокремлення точок кругами

На площині задано декілька точок. Дитина хоче намалювати kk (замкнених) кругів так, щоб для будь-яких двох точок A,BA, B (A≠BA \neq B) існував круг, який містить лише одну з цих точок. Яке найменше kk, таке, що для будь-якої початкової конфігурації з 2019 точок можна намалювати kk кругів із зазначеною властивістю?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2019-002

Найбільша кількість доміно на дошці 2n × 2n

Дано натуральне число nn. На дошці розміром 2n×2n2n \times 2n розташовано декілька фігурок доміно таким чином, що кожна клітинка дошки є сусідньою рівно до однієї клітинки, що покрита фігуркою доміно. Для кожного nn знайдіть найбільшу кількість фігурок доміно, які можна так розташувати. Примітка. Фігуркою доміно вважаємо прямокутники розміром 2×12 \times 1 або 1×21 \times 2. Кожну фігурку доміно розміщуємо таким чином, щоб вона покривала рівно дві одиничні клітинки дошки, а жодні дві з них не накладались одна на одну. Дві клітинки назвемо сусідніми, якщо вони різні та мають спільну сторону.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2019-005

Наступники чисел з різними остачами та малою сумою

Нехай n⩾2n \geqslant 2 є цілим числом та нехай a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n є натуральними числами. Доведіть, що існують натуральні числа b1,b2,…,bnb_1, b_2, \ldots, b_n, що задовольняють такі три умови: а) ai⩽bia_i \leqslant b_i, i=1,n‾i = \overline{1, n}; б) остачі від ділення чисел b1,b2,…,bnb_1, b_2, \ldots, b_n на число nn є попарно різними; в) b1+b2+…+bn⩽n(n−12+[a1+a2+…+ann])b_1 + b_2 + \ldots + b_n \leqslant n\left(\dfrac{n-1}{2} + \left[\dfrac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n}\right]\right). Примітка. Через [x][x] позначено цілу частину числа xx, тобто найбільше ціле число, що не перевищує xx.
10–11 класиЖадібний алгоритм
Шорт-лист IMOIMOSL-2019-012

Лабіринт з кольоровими стінами

На плоскій рівнині в Камелоті король Артур будує лабіринт L\mathfrak{L}, що складається з nn стін, кожна з яких є нескінченною прямою. Жодні дві стіни не паралельні, і жодні три стіни не мають спільної точки. Потім Мерлін фарбує один бік кожної стіни повністю в червоний колір, а другий бік — повністю в синій. На перетині двох стін утворюються чотири кути: два діаметрально протилежні кути, де сходяться червоний і синій боки, один кут, де сходяться два червоні боки, і один кут, де сходяться два сині боки. У кожному такому перетині є двосторонні двері, що з'єднують два діаметрально протилежні кути, в яких сходяться боки різних кольорів. Після того як Мерлін пофарбує стіни, Моргана розставляє в лабіринті кількох лицарів. Лицарі можуть проходити крізь двері, але не можуть проходити крізь стіни. Нехай k(L)k(\mathfrak{L}) — найбільше число kk таке, що, як би Мерлін не пофарбував лабіринт L\mathfrak{L}, Моргана завжди може розмістити принаймні kk лицарів так, щоб жодні двоє з них ніколи не змогли зустрітися. Для кожного nn знайдіть усі можливі значення k(L)k(\mathfrak{L}), де L\mathfrak{L} — лабіринт з nn стінами.
10–11 класиЗв’язність2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2019-014

Гра з камінцями та розбиттям коробок

На столі в ряд стоїть 60 порожніх коробок B1,…,B60B_{1}, \ldots, B_{60}, а також є необмежений запас камінців. Для заданого натурального числа nn Аліса та Боб грають у таку гру. У першому раунді Аліса бере nn камінців і розкладає їх у 60 коробок на свій розсуд. Кожен наступний раунд складається з двох кроків: a. Боб вибирає ціле число kk, де 1⩽k⩽591 \leqslant k \leqslant 59 і розбиває коробки на дві групи B1,…,BkB_{1}, \ldots, B_{k} та Bk+1,…,B60B_{k+1}, \ldots, B_{60}. b. Аліса вибирає одну з цих двох груп, додає по одному камінцю в кожну коробку цієї групи та забирає по одному камінцю з кожної коробки іншої групи. Боб виграє, якщо наприкінці будь-якого раунду деяка коробка виявляється порожньою. Знайдіть найменше nn, при якому Аліса може не дати Бобу виграти.
10–11 класиВиграшні та програшні позиції: ан…
Шорт-лист IMOIMOSL-2019-016

Множина з обмеженими масштабами відстаней

Для будь-яких двох різних дійсних чисел xx і yy визначимо D(x,y)D(x, y) як єдине ціле число dd, що задовольняє 2d⩽∣x−y∣<2d+12^{d} \leqslant |x-y| < 2^{d+1}. Нехай дано множину дійсних чисел F\mathcal{F} та елемент x∈Fx \in \mathcal{F}; скажемо, що масштабами xx у множині F\mathcal{F} є значення D(x,y)D(x, y) для y∈Fy \in \mathcal{F} за умови x≠yx \neq y. Нехай kk — задане натуральне число. Припустимо, що кожен елемент xx множини F\mathcal{F} має не більше ніж kk різних масштабів у множині F\mathcal{F} (зауважимо, що ці масштаби можуть залежати від xx). Який найбільший можливий розмір множини F\mathcal{F}?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2018-001

Розбиття ваг з нерівностями трикутника

Розглянемо m≥3m \ge 3 додатних дійсних чисел g1,…,gmg_1, \dots, g_m, кожне з яких менше за суму інших. Для довільної підмножини M⊆{1,…,m}M \subseteq \{1, \dots, m\} позначимо SM=∑k∈Mgk.S_M = \sum_{k \in M} g_k. Знайдіть усі mm, для яких завжди можна розбити індекси 1,…,m1, \dots, m на три множини A,B,CA, B, C з властивістю SA<SB+SC,SB<SA+SCіSC<SA+SB.S_A < S_B + S_C, \quad S_B < S_A + S_C \quad \text{і} \quad S_C < S_A + S_B.
10–11 класиЧислові нерівності

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.