Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

2 443 задачі
ГеометріяКола
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-18-19-030

Коло з діаметром AB і точки на перпендикулярній прямій

Розглянемо коло Γ\Gamma з діаметром ABAB. Пряму ll проведено поза колом перпендикулярно до діаметра ABAB. Точки XX, YY вибрано на цій прямій, що не лежить на прямій ABAB. Нехай точки X′X', Y′Y' вибрано на прямій ll таким чином, що AX∩BX′∈ΓAX \cap BX' \in \Gamma та AY∩BY′∈ΓAY \cap BY' \in \Gamma. Доведіть, що описані кола трикутників AXYAXY та AX′Y′AX'Y' або перетинаються на колі Γ\Gamma у точці, відмінній від точки AA, або в точці AA всі три побудованих кола дотикаються одне до одного.
11 класРадикальна вісь
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-18-19-034

Перетин бісектрис на BC за умови з ортоцентром

У гострокутному трикутнику ABCABC відомо, що AB<ACAB < AC. Розглянемо довільну точку DD на медіані AMAM. Нехай точка EE належить відрізку BDBD. Розглянемо точку FF на прямій ABAB таку, що EF∥BCEF \parallel BC. Доведіть, що коли ортоцентр HH трикутника ABCABC лежить на перетині прямих AEAE та DFDF, то бісектриси кутів BACBAC та BDCBDC перетинаються на прямій BCBC.
11 класДопоміжне коло (перекидання кутів)
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-18-19-019

Геометричне місце точок з прямокутним трикутником на відрізку

Дано відрізок ABAB. Знайдіть геометричне місце точок (ГМТ) ZZ, для яких існує прямокутний трикутник з вершиною прямого кута в точці ZZ та вершинами XX, YY, що лежать на відрізку ABAB і задовольняють умови AX=XZAX = XZ та YB=YZYB = YZ.
9 класЦентральні і вписані кути
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-18-19-024

Кут A гострокутного трикутника з рівновіддаленими O і V

У гострокутному трикутнику ABCABC вершина AA розміщена на рівних відстанях від центра OO описаного кола та ортоцентра VV. Знайдіть кут при вершині AA цього трикутника.
10 класТочка перетину висот
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-18-19-051

Кут BMC у трикутнику з кутами 75° і 45°

У трикутнику ABCABC відомо, що ∠A=75∘\angle A = 75^\circ, ∠C=45∘\angle C = 45^\circ. На промені BCBC за точкою CC взято точку TT таким чином, що BC=CTBC = CT. Нехай точка MM — середина відрізка ATAT. Знайдіть величину кута BMCBMC.
8 класДопоміжне коло (перекидання кутів)
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-18-19-053

Коло через вершини паралелограма і перетини з діагоналями

Через вершини AA, BB паралелограма ABCDABCD проведено коло, що вдруге перетинає діагоналі BDBD та ACAC у точках XX та YY відповідно. Описане коло трикутника ADXADX перетинає діагональ ACAC удруге в точці ZZ. Доведіть, що AY=CZAY = CZ.
8 класЦентральні і вписані кути
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-18-19-062

Рівносторонній трикутник і центр вписаного кола DXY

Рівносторонній трикутник ABCABC вписано в коло ww. Точки FF та EE на сторонах ABAB та ACAC відповідно вибрано таким чином, щоб виконувалась умова ∠ABE+∠ACF=60∘\angle ABE + \angle ACF = 60^\circ. Описане коло трикутника AFEAFE вдруге перетинає коло ww у точці DD. Промені DEDE та DFDF перетинають пряму BCBC у точках XX та YY відповідно. Доведіть, що центр вписаного кола трикутника DXYDXY не залежить від вибору точок FF і EE.
9 класДопоміжне коло (перекидання кутів)
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-18-19-064

Вписане коло трикутника і паралельні дотичні до нього

Коло kk радіуса rr вписано в трикутник ABCABC. Дотичні до кола kk, паралельні відповідно сторонам ABAB, BCBC та CACA, перетинають інші сторони трикутника ABCABC у точках MM, NN; PP, QQ та LL, TT (P,T∈ABP, T \in AB, L,N∈BCL, N \in BC та M,Q∈ACM, Q \in AC). Позначимо через r1,r2,r3r_1, r_2, r_3 радіуси кіл, вписаних у трикутники MNCMNC, PQAPQA та LTBLTB. Доведіть, що r1+r2+r3=rr_1 + r_2 + r_3 = r.
9 класВписане коло
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-18-19-075

Кут точок дотику зовнівписаних кіл при OI ∥ AC

Позначимо через TA,TB,TCT_A, T_B, T_C точки дотику зовнівписаних кіл трикутника ABCABC до його сторін BCBC, ACAC та ABAB відповідно. Нехай точка OO — центр описаного кола трикутника ABCABC, а точка II — центр вписаного кола. Відомо, що OI∥ACOI \parallel AC. Доведіть, що ∠TATBTC=90∘−12∠ABC.\angle T_AT_BT_C = 90^\circ - \frac{1}{2}\angle ABC.
10 класЗовнівписане коло
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-18-19-076

Рівність AR = QR у правильному п’ятикутнику

Нехай ABCDEABCDE — правильний п’ятикутник із центром MM. Точку P≠MP \ne M вибрано на відрізку MDMD. Описане коло трикутника ABPABP перетинає вдруге пряму AEAE в точці QQ, а пряму, що перпендикулярна до прямої CDCD та проходить через PP, — удруге в точці RR. Доведіть, що AR=QRAR = QR.
10 класЦентральні і вписані кути
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-18-19-085

Центр кола проєкцій та середня лінія трикутника

Пряма ll, перпендикулярна до сторони ACAC гострокутного трикутника ABCABC, перетинає її в точці KK, а описане коло трикутника ABCABC — у точках PP і TT (точка PP лежить по той бік від прямої ACAC, що й вершина BB). Позначимо через P1P_1 і T1T_1 проєкції точок PP і TT на пряму ABAB, при цьому вершини AA, BB належать відрізку P1T1P_1T_1. Доведіть, що центр описаного кола трикутника P1KT1P_1KT_1 лежить на прямій, що містить середню лінію трикутника ABCABC, яка паралельна стороні ACAC.
11 класДопоміжне коло (перекидання кутів)
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-18-19-098

Середина гіпотенузи прямокутного трикутника та рівність відрізків

Нехай точка MM — середина гіпотенузи ABAB прямокутного трикутника ABCABC. Серединний перпендикуляр до гіпотенузи ABAB перетинає катет BCBC у точці KK. Перпендикуляр, проведений до прямої CMCM із точки KK, перетинає продовження відрізка ACAC за точку AA в точці PP. Прямі CMCM і BPBP перетинаються в точці TT. Доведіть, що AC=TBAC = TB.
9 класДопоміжне коло (перекидання кутів)
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-18-19-113

Паралелограм і точки B, Q, L, C на колі

На колі з діаметром ADAD взято точки BB і CC так, що AB=ACAB = AC. На відрізку BCBC вибрано точку PP довільним чином, а точки MM і NN — на відрізках ABAB і ACAC відповідно так, що чотирикутник PMANPMAN є паралелограмом. Нехай відрізок PLPL — бісектриса трикутника MPNMPN. Пряма PDPD перетинає пряму MNMN у точці QQ. Доведіть, що точки BB, QQ, LL та CC лежать на одному колі.
11 класДопоміжне коло (перекидання кутів)
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-18-19-095

Відрізок MN і периметр трикутника A1B1C1

Дано трикутник ABCABC. На сторонах ABAB, BCBC та ACAC вибрали точки C1C_1, A1A_1 та B1B_1 відповідно. Нехай точка KK — проєкція точки B1B_1 на пряму A1C1A_1C_1. На променях B1AB_1A та B1CB_1C вибрали точки MM та NN відповідно так, що ∠B1A1C1=2∠KNB1\angle B_1A_1C_1 = 2\angle KNB_1 та ∠B1C1A1=2∠KMB1\angle B_1C_1A_1 = 2\angle KMB_1. Доведіть, що довжина відрізка MNMN не більша за периметр трикутника A1B1C1A_1B_1C_1.
8 класДопоміжне коло (перекидання кутів)
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-18-19-102

Паралельність до сторони через перетин прямих у трикутнику

Гострокутний трикутник ABCABC вписано в коло ww із центром у точці OO. Продовження його висот, проведених із вершин AA та CC, удруге перетинають коло ww у точках A0A_0 та C0C_0 відповідно. Пряма A0C0A_0C_0 перетинає сторони ABAB та BCBC у точках A1A_1 та C1C_1 відповідно. Точки A2A_2 та C2C_2 на стороні ACAC такі, що A2O∥BCA_2O \parallel BC, а C2O∥ABC_2O \parallel AB. Нехай точка HH — ортоцентр трикутника ABCABC, а TT — точка перетину прямих A1A2A_1A_2 і C1C2C_1C_2. Доведіть, що HT∥ACHT \parallel AC.
9 класДопоміжне коло (перекидання кутів)
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-18-19-108

Коло в паралелограмі та рівновіддалена точка K

Дано паралелограм ABCDABCD. Коло, що проходить через вершини AA та DD, удруге перетинає прямі ABAB, BDBD, ACAC та CDCD у точках B1B_1, B2B_2, C1C_1 та C2C_2 відповідно. Прямі B1B2B_1B_2 та C1C2C_1C_2 перетинаються в точці KK. Доведіть, що точка KK рівновіддалена від прямих ABAB та CDCD.
10 класДопоміжне коло (перекидання кутів)
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-18-19-115

Гра з трикутниками на вершинах правильного 2019-кутника

На колі розставлено 20192019 точок A1,A2,…,A2019A_1, A_2, \ldots, A_{2019}, що утворюють правильний 20192019-кутник A1A2…A2019A_1A_2\ldots A_{2019}. Олеся та Андрій по черзі роблять ходи (першою ходить Олеся). Вона своїм ходом утворює тупокутний трикутник, тоді як Андрій — гострокутний. Правила утворення трикутників такі. На початку відміченими вважають вершини A1A_1 та A2A_2. На першому кроці Олеся відмічає невідмічену вершину AiA_i таким чином, щоб утворився тупокутний трикутник A1A2AiA_1A_2A_i, і вершина AiA_i стає відміченою. Нехай надалі своїм черговим ходом Олеся (Андрій) відмічає не відмічену раніше вершину AjA_j — утворюється тупокутний (гострокутний) трикутник AkAlAjA_kA_lA_j. Тоді наступним ходом Андрій (Олеся) може відмітити таку не відмічену вершину AmA_m, що утворюється гострокутний (тупокутний) трикутник AnAjAmA_nA_jA_m, де n=kn = k або n=ln = l. Програє той, хто не зможе за правилами зробити черговий хід, тобто відмітити вершину, щоб утворився трикутник належного виду. Хто переможе за правильної гри обох учасників?
11 класСиметрія та розбиття на пари
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-17-18-015

Рівність кутів у чотирикутнику з прямими кутами

В опуклому чотирикутнику ABCDABCD із прямими кутами при вершинах BB і DD на продовженні сторони ABAB за точку AA вибрано таку точку PP, що ∠BCP=∠BAD\angle BCP = \angle BAD. Точка QQ симетрична точці DD відносно точки BB. Доведіть, що ∠BAC=∠BQP\angle BAC = \angle BQP.
9 класЦентральні і вписані кути
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-17-18-024

Середина AB на описаному колі трикутника ADZ

У трикутнику ABCABC виконується нерівність AB<ACAB < AC. Бісектриса кута BACBAC трикутника перетинає його описане коло в точці DD. Серединний перпендикуляр до відрізка ACAC перетинає бісектрису зовнішнього кута при вершині AA трикутника ABCABC у точці ZZ. Доведіть, що середина відрізка ABAB лежить на описаному колі трикутника ADZADZ.
10 класОзнаки подібності
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-17-18-031

Висоти, бісектриси та точки T, Q, P

У гострокутному трикутнику ABCABC висоти перетинаються в точці HH, а бісектриси — у точці II. Коло, описане навколо трикутника IBCIBC, перетинає відрізок ABAB у точці TT. Точка QQ — основа перпендикуляра, опущеного з точки HH на пряму IAIA. Точка PP є такою, що QQ — середина відрізка PTPT. Доведіть, що точки BB, HH і PP лежать на одній прямій.
11 класДопоміжне коло (перекидання кутів)
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-17-18-006

Чотирикутник BKFA' на колі через точку O

Позначимо через cc (O,R)(O, R) описане коло гострокутного трикутника ABCABC, де OO та RR — відповідно центр і радіус кола cc. Нехай FF — така точка на стороні ABAB, для якої AF<12ABAF < \frac{1}{2}AB. Коло c1(F,FA)c_1(F, FA) перетинає пряму OAOA в точці A′A', а коло cc — у точці KK. Доведіть, що чотирикутник BKFA′BKFA' вписаний у коло, що проходить через точку OO.
8 класЦентральні і вписані кути
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-17-18-018

Прямі AB, CD, XY для точок M і N

Опуклий чотирикутник ABCDABCD вписаний у коло. Прямі ADAD і BCBC перетинаються в точці EE. Точки MM, NN вибрано на сторонах ADAD, BCBC відповідно таким чином, що AM:MD=BN:NCAM : MD = BN : NC. Описані кола трикутника EMNEMN і чотирикутника ABCDABCD перетинаються в точках XX, YY. Доведіть, що прямі ABAB, CDCD та XYXY перетинаються в одній точці або паралельні.
9 класРадикальна вісь
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-17-18-011

Перпендикуляри через точки дотику вписаного кола

Вписане в трикутник ABCABC коло дотикається до сторін BCBC, ACAC, ABAB у точках DD, EE, FF відповідно. Пряма, що проходить через точку FF перпендикулярно до прямої FEFE, перетинається з прямою EDED у точці PP. Аналогічно пряма, що проходить через точку DD перпендикулярно до прямої DEDE, перетинається з прямою EFEF у точці QQ. Доведіть, що точка BB є серединою відрізка PQPQ.
8 класКоло Ейлера (коло 9 точок)
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-17-18-027

Зовнівписане коло трикутника і прямі BP та CQ

Коло kk — зовнівписане коло трикутника ABCABC, що дотикається до сторони BCBC у точці KK і продовжень сторін ABAB та ACAC у точках LL і MM відповідно. Коло з діаметром BCBC перетинає відрізок LMLM у точках PP і QQ (точка PP належить відрізку LQLQ). Доведіть, що прямі BPBP і CQCQ перетинаються в центрі кола kk.
10 класЗовнівписане коло
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-17-18-017

Дотичні до двох кіл на відрізку і синуси кутів

На відрізку ABAB вибрали точку CC, потім на відрізках ACAC і CBCB як на діаметрах побудували кола. Пряма BMBM дотикається до першого кола в точці MM, а пряма ANAN дотикається до другого кола в точці NN. Позначимо кути: α=∠NAB\alpha = \angle NAB та β=∠ABM\beta = \angle ABM. Знайдіть значення виразу 3sin⁡αsin⁡β+sin⁡α+sin⁡β3\sin\alpha\sin\beta + \sin\alpha + \sin\beta.
9 класДотична кола

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.