Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

261 задача
КомбінаторикаКонструкція за індукцією
Шорт-лист IMOIMOSL-2020-006

Неперетинні чотирикутники з вершинами різного кольору

У правильному 100-кутнику 41 вершину пофарбовано в чорний колір, а решту 59 вершин пофарбовано в білий колір. Доведіть, що існують 24 опуклі чотирикутники Q1,…,Q24Q_{1}, \ldots, Q_{24}, вершини яких є вершинами 100-кутника, такі, що - чотирикутники Q1,…,Q24Q_{1}, \ldots, Q_{24} попарно не перетинаються, і - кожен чотирикутник QiQ_{i} має три вершини одного кольору й одну вершину іншого кольору.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2019-002

Найбільша кількість доміно на дошці 2n × 2n

Дано натуральне число nn. На дошці розміром 2n×2n2n \times 2n розташовано декілька фігурок доміно таким чином, що кожна клітинка дошки є сусідньою рівно до однієї клітинки, що покрита фігуркою доміно. Для кожного nn знайдіть найбільшу кількість фігурок доміно, які можна так розташувати. Примітка. Фігуркою доміно вважаємо прямокутники розміром 2×12 \times 1 або 1×21 \times 2. Кожну фігурку доміно розміщуємо таким чином, щоб вона покривала рівно дві одиничні клітинки дошки, а жодні дві з них не накладались одна на одну. Дві клітинки назвемо сусідніми, якщо вони різні та мають спільну сторону.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2018-003

Черга учасниць EGMO і найбільша кількість євро

Через C1,…,CnC_1, \ldots, C_n позначимо nn учасниць EGMO. По завершенні змагання вони шикуються в чергу перед рестораном за таким правилом: - журі вибирає початкове розміщення учасниць; - щохвилини журі вибирає ціле число ii, що задовольняє умови 1⩽i⩽n1 \leqslant i \leqslant n: - якщо перед учасницею CiC_i стоїть принаймні ii інших учасниць, то вона сплачує 1 євро журі та переміщується вперед у черзі рівно на ii позицій; - якщо перед учасницею CiC_i стоїть менше ніж ii інших учасниць, то ресторан відкривається, і переміщення закінчуються. а) Доведіть, що такий процес не може тривати нескінченно довго, незалежно від дій журі. б) Для кожного nn визначте найбільшу кількість євро, що журі може отримати, вибираючи початкове розташування учасниць і порядок їхніх переміщень.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2018-006

Наближення чисел множини кратними інших чисел

а) Доведіть, що для кожного дійсного tt такого, що 0<t<120 < t < \dfrac{1}{2}, існує натуральне число nn з такою властивістю: для довільної множини SS, що складається з nn натуральних чисел, знайдуться два різних елементи xx і yy із цієї множини та невід'ємне число mm (тобто m⩾0m \geqslant 0) такі, що ∣x−my∣⩽ty|x - my| \leqslant ty. б) Чи правда, що для кожного дійсного tt такого, що 0<t<120 < t < \dfrac{1}{2}, існує нескінченна множина SS натуральних чисел така, що ∣x−my∣>ty|x - my| > ty для кожної пари різних елементів xx і yy із цієї множини та довільного додатного числа mm (тобто m>0m > 0)?
10–11 класиНаближення дійсних чисел і оцінки
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2018-005

Кількість способів сполучити 2n точок на колі стрілками

Нехай nn — натуральне число. На колі зафіксовано 2n2n різних точок. Знайдіть кількість способів сполучити ці точки nn стрілками (орієнтованими відрізками) так, щоб виконувалися такі умови: - кожна з 2n2n точок є початком або кінцем деякої стрілки; - жодні дві стрілки не перетинаються; - не знайдеться двох стрілок AB‾\overline{AB} та CD‾\overline{CD} таких, що точки A,B,C,DA, B, C, D розташовані на колі в зазначеному порядку за годинниковою стрілкою (не обов'язково поспіль).
10–11 класиБієкції
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2017-004

Шаховий турнір із заданими ступенями

Нехай n≥1n \geq 1 — ціле число, і нехай t1<t2<…<tnt_{1}<t_{2}<\ldots<t_{n} — додатні цілі числа. У групі з tn+1t_{n}+1 людей грають у шахи. Дві людини можуть грати одна з одною щонайбільше один раз. Доведіть, що можуть одночасно виконуватися такі умови: i) Кількість зіграних партій кожною людиною є одним із чисел t1,t2,…,tnt_{1}, t_{2}, \ldots, t_{n}, ii) Для кожного ii з 1≤i≤n1 \leq i \leq n є хтось, хто зіграв рівно tit_{i} шахових партій.
10–11 класиСтепені вершин4 розв’язки
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2017-005

n-ки зі степенем 2 у добутку

Нехай n≥2n \geq 2 — ціле число. nn-ка (a1,a2,…,an)(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}) додатних цілих чисел є дорогою, якщо існує додатне ціле число kk таке, що (a1+a2)(a2+a3)⋯(an−1+an)(an+a1)=22k−1.(a_{1}+a_{2})(a_{2}+a_{3}) \cdots (a_{n-1}+a_{n})(a_{n}+a_{1})=2^{2k-1}. a) Знайдіть усі додатні цілі числа n≥2n \geq 2, для яких існує дорога nn-ка. b) Доведіть, що для кожного непарного додатного цілого числа mm існує ціле число n≥2n \geq 2 таке, що mm належить до дорогої nn-ки. У добутку в лівій частині рівно nn множників.
10–11 класиМетод нескінченного спуску2 розв’язки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2013-027

Розміщення чисел у таблиці із заданою парністю

Для яких натуральних чисел kk числа 1,2,3,…,(2k)21, 2, 3, \dots, (2k)^2 можна розмістити в таблиці 2k×2k2k \times 2k так, щоб усі суми рядків і суми стовпців мали однакову парність, протилежну до парності kk?
10–11 класиКонструкція за індукцією
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2013-028

Перемикання лампочок з обмеженими ходами

У ряд виставлено кілька лампочок. Спочатку деякі з лампочок увімкнені, а решта — вимкнені. Ми можемо змінювати стани лампочок за допомогою таких операцій: (1) Змінити стан крайньої правої лампочки; (2) Змінити стани двох сусідніх лампочок, які або обидві увімкнені, або обидві вимкнені. Чи обов’язково можна за допомогою операцій (1) і (2) домогтися того, щоб усі лампочки стали вимкненими?
10–11 класиКонструкція за індукцією
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2013-032

Найбільша кількість пар у сауні зі знайомствами

У сауні є nn кімнат, кожна необмеженої місткості. В один момент часу в кімнаті можуть перебувати люди лише однієї статі (чоловіки або жінки). Ба більше, чоловіки хочуть ділити кімнату лише з чоловіками, яких вони не знають, а жінки хочуть ділити кімнату лише з жінками, яких вони знають. Яке найбільше число kk таке, що будь-які kk пар можуть одночасно відвідати сауну, знаючи, що двоє чоловіків знають один одного тоді й лише тоді, коли їхні дружини знають одна одну?
10–11 класиКонструкція за індукцією
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2013-041

Покриття трикутної сітки лініями

Гра проводиться на правильному трикутнику, який прямими, паралельними до однієї зі сторін трикутника, поділено на n2n^2 рівних менших правильних трикутників. «Лінією трикутників» назвемо всі трикутники, розміщені між двома сусідніми паралельними прямими, що утворюють сітку. На початку гри всі трикутники білі. За кожен хід одну лінію трикутників, що містить принаймні один білий трикутник, фарбують у чорний колір. Ситуацію при n=6n=6 після можливих 4 ходів показано на рисунку 1. Гра закінчується, коли всі трикутники стануть чорними. Знайдіть найменшу і найбільшу можливі кількості ходів у грі. Рисунок 1
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2013-002

Найменша кількість прямих для розділення чорних і сірих точок

Колумбійською конфігурацією будемо називати такий набір з 40274027 точок на площині, що жодні три з них не лежать на одній прямій, при цьому 20132013 з них пофарбовано в чорний колір, а решту 20142014 — у сірий. Розглянемо набір прямих, що розділяють площину на декілька областей. Назвемо цей набір прямих гарним для даної колумбійської конфігурації точок, якщо виконуються такі умови: - жодна пряма не проходить через жодну точку конфігурації; - жодна область розбиття не містить точок обох кольорів. Знайдіть найменше можливе значення kk таке, що для довільної колумбійської конфігурації з 40274027 точок існує гарний набір з kk прямих.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Шорт-лист IMOIMOSL-2013-009

Операції над графом з видаленням вершин непарного степеня

Божевільний фізик відкрив новий вид частинок, які він назвав імонами, після того, як деякі з них загадково з'явилися в його лабораторії. Деякі пари імонів у лабораторії можуть бути заплутаними, і кожен імон може брати участь у багатьох відношеннях заплутаності. Фізик знайшов спосіб виконувати з цими частинками такі два види операцій, по одній операції за раз. (i) Якщо деякий імон заплутаний з непарною кількістю інших імонів у лабораторії, то фізик може його знищити. (ii) У будь-який момент він може подвоїти все сімейство імонів у своїй лабораторії, створивши копію I′I^{\prime} кожного імона II. Під час цієї процедури дві копії I′I^{\prime} і J′J^{\prime} стають заплутаними тоді й лише тоді, коли вихідні імони II і JJ заплутані, і кожна копія I′I^{\prime} стає заплутаною зі своїм вихідним імоном II; жодні інші заплутаності в цей момент не виникають і не зникають. Доведіть, що фізик може застосувати послідовність таких операцій, у результаті якої дістане сімейство імонів, жодні два з яких не заплутані.
10–11 класиСтепені вершин2 розв’язки
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2013-002

Арифметична прогресія очок футбольного турніру

У футбольному турнірі беруть участь nn команд, причому n≥4n \geq 4, і кожна пара команд зустрічається рівно один раз. Припустимо, що наприкінці турніру підсумкові очки утворюють арифметичну прогресію, де кожна команда набирає на 1 очко більше, ніж наступна команда в турнірній таблиці. Визначте максимально можливу кількість очок команди з найменшою кількістю очок, за звичайних футбольних правил підрахунку очок (переможець гри отримує 3 очки, переможений — 0 очок, а в разі нічиєї обидві команди отримують по 1 очку).
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2012-006

Натуральні n з двома сумами, що дорівнюють одиниці

Знайдіть усі натуральні числа nn, для яких існують такі цілі невід'ємні числа a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n, що 12a1+12a2+…+12an=13a1+23a2+…+n3an=1.\frac{1}{2^{a_1}}+\frac{1}{2^{a_2}}+\ldots+\frac{1}{2^{a_n}}=\frac{1}{3^{a_1}}+\frac{2}{3^{a_2}}+\ldots+\frac{n}{3^{a_n}}=1.
10–11 класиПарність та непарність
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2010-028

Стовпці з парною кількістю фішок у кожному рядку

На прямокутній дошці з nn рядками та n+1n+1 стовпцями розміщено кілька фішок. Доведіть, що завжди можна вибрати один або кілька стовпців так, щоб у кожному рядку цих стовпців була парна кількість фішок.
10–11 класиПарність і непарність
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2010-005

Можливість зібрати всі монети в шостій коробці

У початковий момент часу в кожній із шести коробок B1B_1, B2B_2, B3B_3, B4B_4, B5B_5, B6B_6 міститься по одній монеті. Дозволяється виконувати операції двох типів: - вибрати непорожню коробку BjB_j, де 1≤j≤51 \le j \le 5, видалити з неї одну монету і додати дві монети в коробку Bj+1B_{j+1}; - вибрати непорожню коробку BkB_k, де 1≤k≤41 \le k \le 4, видалити з неї одну монету і поміняти місцями вміст коробки Bk+1B_{k+1} (можливо порожньої) із вмістом коробки Bk+2B_{k+2} (можливо порожньої). Чи існує скінченна послідовність таких операцій, за якої коробки B1B_1, B2B_2, B3B_3, B4B_4, B5B_5 стануть порожніми, а в коробці B6B_6 міститиметься рівно 2010201020102010^{2010^{2010}} монет?
10–11 класиКонструкція за індукцією
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2009-006

Порядок стрибків коника поза точками множини M

Дані попарно різні натуральні числа a1a_1, a2a_2,..., ana_n, а також множина MM, яка складається з (n−1)(n - 1) натурального числа, але не містить число s=a1+a2+...+ans = a_1 + a_2 + ... + a_n. Коник має зробити nn стрибків праворуч вздовж числової прямої, починаючи з точки з координатою 00. При цьому довжини його стрибків мають дорівнювати числам a1a_1, a2a_2,..., ana_n, узятим у деякому порядку. Доведіть, що цей порядок можна вибрати таким чином, щоб коник жодного разу не приземлився у точці, яка має координату з множини MM.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Балтійський шляхBW-2006-007

Розбиття на дві лабораторії без монохроматичних трійок

Директор дізнався, що в його відділі виникло шість змовницьких груп, кожна з яких складається рівно з трьох осіб. Доведіть, що директор може поділити відділ на дві лабораторії так, щоб жодна зі змовницьких груп не опинилася повністю в одній лабораторії.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Балтійський шляхBW-2006-016

Послідовність із подільністю сум сусідніх елементів

Чи існує послідовність a1,a2,a3,…a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots натуральних чисел така, що сума будь-яких nn послідовних елементів ділиться на n2n^{2} для кожного натурального числа nn?
10–11 класиКитайська теорема про остачі
Шорт-лист IMOIMOSL-2006-012

Перемикання ламп за станом сусідів

Маємо n≥2n \geq 2 ламп L1,…,LnL_{1}, \ldots, L_{n} в ряд, кожна з яких або увімкнена, або вимкнена. Щосекунди ми одночасно змінюємо стан кожної лампи за таким правилом: - якщо лампа LiL_{i} та її сусіди (лише один сусід для i=1i=1 або i=ni=n, два сусіди для інших ii) перебувають в однаковому стані, то LiL_{i} вимикається; - інакше LiL_{i} вмикається. Спочатку всі лампи вимкнені, крім найлівішої, яка увімкнена. a. Доведіть, що існує нескінченно багато цілих чисел nn, для яких усі лампи зрештою виявляться вимкненими. b. Доведіть, що існує нескінченно багато цілих чисел nn, для яких лампи ніколи не будуть усі вимкненими.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Шорт-лист IMOIMOSL-2006-017

Замощення дірявого трикутника ромбами

Дірявий трикутник — це спрямований вгору рівносторонній трикутник зі стороною nn, з якого вирізано nn спрямованих вгору одиничних трикутних отворів. Ромб — це одиничний ромб з кутами 60∘60^{\circ}-120∘120^{\circ}. Доведіть, що дірявий трикутник TT можна замостити ромбами тоді й лише тоді, коли виконується така умова: кожен спрямований вгору рівносторонній трикутник зі стороною kk у TT містить не більше ніж kk отворів, при 1≤k≤n1 \leq k \leq n.
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Балтійський шляхBW-2005-018

2005 різних квадратів натуральних чисел та їхня сума

Чи можна знайти 20052005 різних квадратів натуральних чисел так, щоб їхня сума також була квадратом?
10–11 класиПіфагорові трійки
Балтійський шляхBW-2004-008

Зміна знаків у таблиці до всіх нулів

Дано таблицю m×nm \times n, у кожній клітинці якої записано число +1+1 або −1-1. Відомо, що спочатку в таблиці є рівно одне −1-1, а всі інші числа — +1+1. За один хід дозволено вибрати будь-яку клітинку, що містить −1-1, замінити це −1-1 на 00 й одночасно помножити всі числа в сусідніх клітинках на −1-1 (дві клітинки називаємо сусідніми, якщо вони мають спільну сторону). Знайдіть усі (m,n)(m, n), для яких за допомогою таких ходів можна отримати таблицю, що містить лише нулі, незалежно від клітинки, у якій стоїть початкове −1-1.
10–11 класиПарність і непарність
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2004-006

Смугасті числа, що діляться на n

Назвемо натуральне число смугастим, якщо будь-які дві сусідні цифри у його десятковому записі мають різну парність. Знайдіть усі натуральні nn, для кожного з яких знайдеться смугасте число, що ділиться без остачі на nn.
10–11 класиКонструкція за індукцією

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.