Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

187 задач
Теорія чиселМетоди поглибленого рівня (теорія чисел)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-023

Просте число з умовою на показник за модулем

Нещодавно на математичному змаганні Евана попросили знайти 22016(modp)2^{2016} \pmod{p} для заданого простого числа pp, де 100<p<500100 < p < 500. Еван забув, яким було просте число pp, але досі пам’ятає, як він розв’язував цю задачу: - Спершу Еван спробував звести 20162016 за модулем p−1p-1, але отримав значення ee, яке більше за 100100. - Однак Еван зауважив, що e−12(p−1)=21e - \frac{1}{2}(p-1) = 21, і тоді зрозумів, що відповідь дорівнює −221(modp)-2^{21} \pmod{p}. Яким було просте число pp?
10–11 класиКвадратичні лишки і символ Лежанд…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-092

Кількість розв'язків еліптичної кривої за модулем простого числа

Знайдіть усі прості числа pp такі, що y2=x3+4xy^{2}=x^{3}+4 x має рівно pp розв'язків у цілих числах за модулем pp. Іншими словами, знайдіть усі прості числа pp з такою властивістю: існує рівно pp впорядкованих пар цілих чисел (x,y)(x, y) таких, що x,y∈{0,1,…,p−1}x, y \in \{0,1, \ldots, p-1\} і p ділить y2−x3−4xp \text{ ділить } y^{2}-x^{3}-4 x
10–11 класиКвадратичні лишки і символ Лежанд…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-081

Показникова послідовність за модулем 100

Нехай послідовність aia_{i} визначена як ai+1=2aia_{i+1} = 2^{a_{i}}. Знайдіть кількість цілих чисел 1≤n≤10001 \leq n \leq 1000 таких, що якщо a0=na_{0} = n, то 100100 є дільником числа a1000−a1a_{1000} - a_{1}.
10–11 класиТеорема Ейлера
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-028

Найменший периметр прямокутного трикутника з цілими сторонами і √2016

Прямокутний трикутник має довжини сторін aa, bb і 2016\sqrt{2016} у деякому порядку, де aa і bb — натуральні числа. Знайдіть найменший можливий периметр трикутника.
10–11 класиТеорема Ферма-Ейлера про суму дво…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-045

Кола через точки решітки, що перетинають відрізок

На декартовій площині R2\mathbb{R}^{2} коло називається гарним, якщо його центр розташований у початку координат (0,0)(0,0) і воно проходить принаймні через одну точку цілочисельної решітки (тобто точку з цілими координатами). Позначимо точки A=(20,15)A=(20,15) і B=(20,16)B=(20,16). Скільки гарних кіл перетинають відкритий відрізок ABAB? Для довідки: числа 601,607,613,617,619,631,641,643,647,653,659,661,673,677,683,691601,607,613,617,619,631,641,643,647,653,659,661,673,677,683,691 — єдині прості числа між 600600 і 700700.
10–11 класиТеорема Ферма-Ейлера про суму дво…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-053

Тетрація за модулем

Для натуральних чисел a,ba, b величина a↑↑ba \uparrow \uparrow b означається так: a↑↑1=aa \uparrow \uparrow 1 = a, а a↑↑b=aa↑↑(b−1)a \uparrow \uparrow b = a^{a \uparrow \uparrow (b-1)}, якщо b>1b > 1. Знайдіть найменше натуральне число nn, для якого існує натуральне число aa таке, що a↑↑6≢a↑↑7(modn)a \uparrow \uparrow 6 \not\equiv a \uparrow \uparrow 7 \pmod{n}.
10–11 класиТеорема Ейлера
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-078

Дійсна частина степеня гауссового цілого

Нехай z=a+biz = a + b i — комплексне число з цілими дійсною та уявною частинами a,b∈Za, b \in \mathbb{Z}, де i=−1i = \sqrt{-1} (тобто zz — гауссове ціле число). Якщо pp — непарне просте число, доведіть, що дійсна частина zp−zz^{p} - z є цілим числом, яке ділиться на pp.
10–11 класиГауссові числа
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-083

Поліноміальне наближення комплекснозначних функцій

Нехай f:[0,1]→Cf:[0,1] \rightarrow \mathbb{C} — непостійна комплекснозначна функція на дійсному проміжку [0,1][0,1]. Доведіть, що існує ϵ>0\epsilon>0 (яке може залежати від ff) таке, що для довільного многочлена PP з комплексними коефіцієнтами існує комплексне число zz з ∣z∣≤1|z| \leq 1 таке, що ∣f(∣z∣)−P(z)∣≥ϵ|f(|z|)-P(z)| \geq \epsilon.
10–11 класиМногочлени ділення кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-118

Квадратичні лишки за модулем x²+1 та 35

Знайдіть кількість впорядкованих пар цілих чисел (a,b)∈{1,2,…,35}2(a, b) \in \{1,2, \ldots, 35\}^2 (не обов’язково різних), таких, що ax+ba x+b є «квадратичним лишком за модулем x2+1x^2+1 і 35», тобто існує многочлен f(x)f(x) з цілими коефіцієнтами, для якого виконується будь-яка з таких еквівалентних умов: - існують многочлени P,QP, Q з цілими коефіцієнтами такі, що f(x)2−(ax+b)=(x2+1)P(x)+35Q(x)f(x)^2-(a x+b)=\left(x^2+1\right) P(x)+35 Q(x); - або, більш концептуально, остача від ділення (многочлена) f(x)2−(ax+b)f(x)^2-(a x+b) на (многочлен) x2+1x^2+1 є многочленом з (цілими) коефіцієнтами, кожен з яких ділиться на 35.
10–11 класиКвадратичні лишки і символ Лежанд…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-087

Циклотомічний добуток за модулем 101

Нехай z=e2πi101z = e^{\frac{2\pi i}{101}} і ω=e2πi10\omega = e^{\frac{2\pi i}{10}}. Доведіть, що ∏a=09∏b=0100∏c=0100(ωa+zb+zc)\prod_{a=0}^{9} \prod_{b=0}^{100} \prod_{c=0}^{100} \left(\omega^{a} + z^{b} + z^{c}\right) є цілим числом, і знайдіть (з доведенням) його остачу від ділення на 101101.
10–11 класиМногочлени ділення кола2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-057

Сума квадратів коренів многочлена

Знайдіть суму квадратів усіх різних комплексних чисел xx, що задовольняють рівняння 0=4x10−7x9+5x8−8x7+12x6−12x5+12x4−8x3+5x2−7x+40 = 4 x^{10} - 7 x^{9} + 5 x^{8} - 8 x^{7} + 12 x^{6} - 12 x^{5} + 12 x^{4} - 8 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x + 4
10–11 класиМногочлени ділення кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-070

Упорядкування гіпотез за розміром контрприкладу

Розгляньте такі сім хибних гіпотез з абсурдно великими контрприкладами. Виберіть будь-яку їх підмножину та випишіть їхні позначення в порядку зростання найменшого контрприкладу (найменшого nn, для якого гіпотеза хибна). Наприклад, якщо ви вважаєте, що наведений нижче список уже впорядковано за розміром контрприкладу, слід написати «PECRSGA». - P. (Гіпотеза Пойї) Для будь-якого цілого nn принаймні половина натуральних чисел, менших за nn, має непарну кількість простих множників. - E. (Гіпотеза Ейлера) Не існує точного куба nn, який можна подати у вигляді суми трьох додатних кубів. - C. (Циклотомічна) Многочлен найменшого степеня, коренями якого є первісні nn-ті корені з одиниці, має всі коефіцієнти, рівні −1,0-1,0 або 1. - R. (Перегони простих чисел) Для будь-якого цілого nn простих чисел, менших за nn і рівних 2( mod 3)2(\bmod 3), більше, ніж тих, що дорівнюють 1( mod 3)1(\bmod 3). - S. (Гіпотеза про сімнадцять) Для будь-якого цілого nn числа n17+9n^{17}+9 і (n+1)17+9(n+1)^{17}+9 взаємно прості. - G. (Інша гіпотеза Гольдбаха) Будь-яке непарне складене ціле nn можна подати у вигляді суми простого числа і подвоєного квадрата. - A. (Середній квадрат) Нехай a1=1a_{1}=1 і ak+1=1+a12+a22+…+ak2ka_{k+1}=\frac{1+a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\ldots+a_{k}^{2}}{k}. Тоді ana_{n} є цілим числом для будь-якого nn. Якщо ваша відповідь — список з 4≤n≤74 \leq n \leq 7 позначень у правильному порядку, ваш результат становитиме (n−2)(n−3)(n-2)(n-3). Інакше він дорівнюватиме 0.
10–11 класиРозподіл простих чисел
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-003

Значення многочлена в корені з одиниці

Нехай ω\omega — корінь з одиниці, а ff — многочлен з цілими коефіцієнтами. Доведіть, що якщо ∣f(ω)∣=1|f(\omega)|=1, то f(ω)f(\omega) також є коренем з одиниці.
10–11 класиМногочлени ділення кола2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-116

Рекурентне співвідношення для підрахунку дільників

Для цілого nn нехай f9(n)f_{9}(n) позначає кількість додатних цілих чисел d≤9d \leq 9, які ділять nn. Припустимо, що mm — натуральне число, а b1,b2,…,bmb_{1}, b_{2}, \ldots, b_{m} — дійсні числа такі, що f9(n)=∑j=1mbjf9(n−j)f_{9}(n)=\sum_{j=1}^{m} b_{j} f_{9}(n-j) для всіх n>mn>m. Знайдіть найменше можливе значення mm.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-082

Дільники n у степені n+1 плюс 1 при обмеженому m

Нехай mm і nn — цілі числа, причому 1≤m≤491 \leq m \leq 49 і n≥0n \geq 0, такі, що mm ділить nn+1+1n^{n+1}+1. Скільки існує можливих значень mm?
10–11 класиТеорема Ферма-Ейлера про суму дво…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-058

Степені комплексного числа через суму з оберненим

Нехай xx — комплексне число таке, що x+x−1x + x^{-1} є коренем многочлена p(t)=t3+t2−2t−1p(t) = t^{3} + t^{2} - 2 t - 1. Знайдіть усі можливі значення x7+x−7x^{7} + x^{-7}.
10–11 класиПеретворення симетричних виразів
Відбіркові тести на IMOTST-2014-009

Послідовність, усі середні якої — точні квадрати

Нехай a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \dots — послідовність цілих чисел із властивістю, що середнє арифметичне будь-якої групи послідовних aia_i є точним квадратом. Точніше, для будь-яких натуральних чисел nn і kk величина an+an+1+⋯+an+k−1k\frac{a_n + a_{n+1} + \dots + a_{n+k-1}}{k} завжди є квадратом цілого числа. Доведіть, що послідовність обов'язково є сталою (усі aia_i дорівнюють одному й тому ж точному квадрату).
10–11 класиКвадратичні лишки і символ Лежанд…3 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2014-032

Велика вільна від сум підгрупа в ℤ/pℤ

Для простого числа pp підмножину SS лишків за модулем pp називають вільною від сум мультиплікативною підгрупою Fp\mathbb{F}_p, якщо: існує ненульовий лишок α\alpha за модулем pp такий, що S={1,α1,α2,… }S = \{1, \alpha^1, \alpha^2, \dots\} (усе розглядається за модулем pp), і немає таких a,b,c∈Sa, b, c \in S (не обов'язково різних), що a+b≡c(modp)a + b \equiv c \pmod p. Доведіть, що для кожного цілого числа NN існують такі просте число pp і вільна від сум мультиплікативна підгрупа SS у Fp\mathbb{F}_p, що ∣S∣≥N|S| \ge N.
10–11 класиМногочлени ділення кола
Італійська математична олімпіадаITAMO-2014-002

НСД сум трьох послідовних степенів

Для кожного натурального числа nn нехай DnD_{n} — найбільший спільний дільник усіх чисел вигляду an+(a+1)n+(a+2)na^{n} + (a+1)^{n} + (a+2)^{n}, де aa пробігає всі натуральні числа. a. Доведіть, що для кожного nn число DnD_{n} має вигляд 3k3^{k} для деякого цілого k≥0k \geq 0. b. Доведіть, що для кожного k≥0k \geq 0 існує ціле число nn таке, що Dn=3kD_{n} = 3^{k}.
10–11 класиЛема про підняття показника (LTE-…
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-045

Сума степенів п'ятірки як сума двох квадратів

Нехай nn та mm — натуральні числа. Доведіть, що 5m+5n5^{m}+5^{n} записується як сума двох квадратів тоді й лише тоді, коли nn та mm мають однакову парність.
9–11 класиМіркування за модулем
Відбіркові тести на IMOTST-2013-018

Трикутники з рівними площами та взаємно простими сторонами

Два нерівні трикутники ABCABC і XYZXYZ називають парою приятелів, якщо вони задовольняють такі умови: (a) ці два трикутники мають однакову площу; (b) нехай MM і WW — середини сторін BCBC і YZYZ відповідно. Набори довжин {AB,AM,AC}\{AB, AM, AC\} і {XY,XW,XZ}\{XY, XW, XZ\} є однаковими триелементними множинами попарно взаємно простих цілих чисел. Визначте, чи існує нескінченно багато пар трикутників, які є приятелями один одного.
10–11 класиТеорема Ферма-Ейлера про суму дво…
Відбіркові тести на IMOTST-2013-019

Пари трикутників з рівними площами та однаковими наборами довжин

Два нерівні трикутники ABCABC і XYZXYZ називають парою приятелів, якщо вони задовольняють такі умови: (a) трикутники мають однакову площу; (b) нехай MM і WW — середини сторін BCBC і YZYZ відповідно. Множини довжин {AB,AM,AC}\{AB, AM, AC\} і {XY,XW,XZ}\{XY, XW, XZ\} є однаковими триелементними множинами попарно взаємно простих цілих чисел. Визначте, чи існує нескінченно багато пар трикутників, які є приятелями один одного.
10–11 класиТеорема Ферма-Ейлера про суму дво…
Відбіркові тести на IMOTST-2013-035

Діофантове рівняння із симетричними змінними

Знайдіть усі натуральні числа nn такі, що рівняння x2+y2+z2=nxyzx^2 + y^2 + z^2 = nxyz має розв'язки в додатних цілих числах.
10–11 класиСтрибки Вієта
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2013-002

Прості дільники членів послідовності Пелля

Нехай aa, bb — взаємно прості натуральні числа, а послідовності цілих чисел ana_n і bnb_n задовольняють рівність (a+b2)2n=an+bn2(a + b\sqrt{2})^{2n} = a_n + b_n\sqrt{2}. Знайдіть усі прості числа pp такі, що існує натуральне число nn не більше за pp, для якого bn≡0(modp)b_n \equiv 0 \pmod{p}.
10–11 класиКвадратичні лишки і символ Лежанд…
Французька математична олімпіадаFRMO-2012-002

Сума однакових степенів дорівнює степеню простого числа

Нехай pp — просте число. Знайдіть усі натуральні числа a,b,c≥1a, b, c \geq 1 такі, що: ap+bp=pca^{p}+b^{p}=p^{c}
9–11 класиЛема про підняття показника (LTE-…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.