Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

217 задач
АлгебраНерівність Коші-Буняковського
Балканська юніорська математична олімпіада (JBMO)JBMO-2025-001

Сума дробів (a²+bc)²/(b+c) для додатних a, b, c

Для додатних дійсних чисел a,b,ca, b, c доведіть, що справджується нерівність: (a2+bc)2b+c+(b2+ca)2c+a+(c2+ab)2a+b⩾2abc(a+b+c)2ab+bc+ca.\dfrac{(a^2+bc)^2}{b+c} + \dfrac{(b^2+ca)^2}{c+a} + \dfrac{(c^2+ab)^2}{a+b} \geqslant \dfrac{2abc(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}.
7–9 класиНерівність Коші-Буняковського
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-006

Мінімізація суми за циклічної умови на добуток

Нехай nn — натуральне число, x1,…,xnx_1, \dots, x_n і y1,…,yny_1, \dots, y_n — додатні дійсні числа, що задовольняють xn=nx_n = n і yiyi+1≥1y_i y_{i+1} \ge 1 при 1≤i<n1 \le i < n та yny1≥1y_n y_1 \ge 1. Крім того, нехай x0=0x_0 = 0. Визначте найменше можливе значення виразу ∑i=1n(xi−xi−1)2+yi.\sum_{i=1}^{n} \sqrt{(x_i - x_{i-1})^2 + y_i}.
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2020-003

Циклічна нерівність з добутком 1

Нехай aa, bb, cc — додатні дійсні числа, для яких abc=1abc = 1. Доведіть, що ab(c+1)+bc(a+1)+ca(b+1)≥32.\frac{a}{b(c+1)} + \frac{b}{c(a+1)} + \frac{c}{a(b+1)} \ge \frac{3}{2}.
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Європейський математичний кубокEMC-2020-004

Додатні числа з умовою та нерівність з коренями

Нехай aa, bb, cc — додатні дійсні числа, що задовольняють умову ab+bc+ca=a+b+cab + bc + ca = a + b + c. Доведіть, що справджується нерівність a+bc+b+ca+c+ab⩽2⋅min⁡{ab+bc+ca,ba+cb+ac}.\sqrt{a+\frac{b}{c}}+\sqrt{b+\frac{c}{a}}+\sqrt{c+\frac{a}{b}} \leqslant \sqrt{2} \cdot \min\left\{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}, \frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\right\}.
7–10 класиНерівність Коші
Шорт-лист IMOIMOSL-2020-004

Сума з обмеженою послідовністю та квадратними коренями

Нехай nn і kk — натуральні числа. Доведіть, що для a1,…,an∈[1,2k]a_{1}, \ldots, a_{n} \in [1,2^{k}] виконується ∑i=1naia12+…+ai2⩽4kn\sum_{i=1}^{n} \frac{a_{i}}{\sqrt{a_{1}^{2}+\ldots+a_{i}^{2}}} \leqslant 4 \sqrt{k n}
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2016-001

Нерівність для впорядкованих дійсних послідовностей

Знайдіть найбільше дійсне число aa таке, що для всіх n⩾1n \geqslant 1 і для всіх дійсних чисел x0,x1,…,xnx_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n}, які задовольняють 0=x0<x1<x2<⋯<xn0=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots<x_{n}, виконується 1x1−x0+1x2−x1+⋯+1xn−xn−1⩾a(2x1+3x2+⋯+n+1xn)\frac{1}{x_{1}-x_{0}}+\frac{1}{x_{2}-x_{1}}+\cdots+\frac{1}{x_{n}-x_{n-1}} \geqslant a\left(\frac{2}{x_{1}}+\frac{3}{x_{2}}+\cdots+\frac{n+1}{x_{n}}\right)
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського2 розв’язки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2014-003

Нерівність зі степенями та симетричною сумою

Нехай a,b,c>0a, b, c > 0 та abc=1abc = 1. Доведіть, що a20141+2bc+b20141+2ca+c20141+2ab≥3ab+bc+ca\frac{a^{2014}}{1+2bc} + \frac{b^{2014}}{1+2ca} + \frac{c^{2014}}{1+2ab} \ge \frac{3}{ab+bc+ca}
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2014-006

Дискретна нерівність Пуанкаре для послідовностей

Нехай a0,a1,…,aNa_0, a_1, \dots, a_N — дійсні числа, причому a0=aN=0a_0 = a_N = 0. Доведіть нерівність a12+a22+⋯+aN−12≤C((a1−a0)2+(a2−a1)2+⋯+(aN−aN−1)2),a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_{N-1}^2 \le C \left((a_1 - a_0)^2 + (a_2 - a_1)^2 + \dots + (a_N - a_{N-1})^2\right), де C=N24C = \frac{N^2}{4}.
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2013-005

Нижня оцінка гармонічної суми

Доведіть нерівність 1k+1k+1+⋯+1n≥2(n−k+1)n+k\frac{1}{k} + \frac{1}{k+1} + \dots + \frac{1}{n} \ge \frac{2(n-k+1)}{n+k} для всіх пар (n,k)(n, k) натуральних чисел таких, що k≤nk \le n.
10–11 класиІнші класичні нерівності
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2013-010

Сума циклічних дробів з a, b, c, l, m

Доведіть, що для додатних aa, bb, cc і l>ml > m a3l+a3m+1al+bl−mam+bl+b3l+b3m+1bl+cl−mbm+cl+c3l+c3m+1cl+al−mcm+al≥am+bm+cm.\frac{a^{3l} + a^{3m} + 1}{a^l + b^{l-m}a^m + b^l} + \frac{b^{3l} + b^{3m} + 1}{b^l + c^{l-m}b^m + c^l} + \frac{c^{3l} + c^{3m} + 1}{c^l + a^{l-m}c^m + a^l} \ge a^m + b^m + c^m.
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2013-012

Сума дробів з коренями (a+b)(a+c) у знаменнику

Доведіть нерівність aa+(a+b)(a+c)+bb+(b+c)(b+a)+cc+(c+a)(c+b)≤1,\frac{a}{a + \sqrt{(a+b)(a+c)}} + \frac{b}{b + \sqrt{(b+c)(b+a)}} + \frac{c}{c + \sqrt{(c+a)(c+b)}} \le 1, де aa, bb і cc — додатні числа.
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2013-040

Мінімізація суми квадратів на ребрах куба

На двох кінцях головної діагоналі куба записано числа 00 і 20132013, решта 66 вершин куба містять дійсні числа x1,…,x6x_1, \dots, x_6. На кожному ребрі куба записано різницю між числами на його кінцях, SS — сума квадратів чисел, записаних на ребрах. Для яких чисел x1,…,x6x_1, \dots, x_6 значення SS мінімальне?
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Шорт-лист IMOIMOSL-2010-004

Нерівність з упорядкованими сумами

Дано шість додатних чисел a,b,c,d,e,fa, b, c, d, e, f таких, що a<b<c<d<e<fa < b < c < d < e < f. Нехай a+c+e=Sa + c + e = S і b+d+f=Tb + d + f = T. Доведіть, що 2ST>3(S+T)(S(bd+bf+df)+T(ac+ae+ce))2 S T > \sqrt{3(S + T)(S(b d + b f + d f) + T(a c + a e + c e))}
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2009-009

Нерівність для суми квадратів

Знайдіть усі цілі числа n>1n > 1, для яких нерівність x12+x22+⋯+xn2≥(x1+x2+⋯+xn−1)xnx_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2 \geq (x_1 + x_2 + \dots + x_{n-1})x_n виконується для всіх дійсних x1,x2,…,xnx_1, x_2, \dots, x_n.
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2009-011

Нерівність з коренями за умови 1/a+1/b+1/c=2

Нехай aa, bb, cc — додатні числа, такі, що aa, bb, c>1c > 1 і 1a+1b+1c=2.\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 2. Доведіть, що a+b+c≥a−1+b−1+c−1\sqrt{a+b+c} \ge \sqrt{a-1} + \sqrt{b-1} + \sqrt{c-1}.
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Шорт-лист IMOIMOSL-2008-004

Симетрична нерівність для чотирьох дійсних чисел

Доведіть, що для будь-яких чотирьох додатних дійсних чисел aa, bb, cc, dd виконується нерівність (a−b)(a−c)a+b+c+(b−c)(b−d)b+c+d+(c−d)(c−a)c+d+a+(d−a)(d−b)d+a+b≥0\frac{(a-b)(a-c)}{a+b+c}+\frac{(b-c)(b-d)}{b+c+d}+\frac{(c-d)(c-a)}{c+d+a}+\frac{(d-a)(d-b)}{d+a+b} \geq 0 Знайдіть усі випадки рівності.
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Шорт-лист IMOIMOSL-2007-003

Циклічна сума з квадратичною умовою

Нехай a1,a2,…,a100a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{100} — невід'ємні дійсні числа такі, що a12+a22+…+a1002=1a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\ldots+a_{100}^{2}=1. Доведіть, що a12a2+a22a3+…+a1002a1<1225a_{1}^{2} a_{2}+a_{2}^{2} a_{3}+\ldots+a_{100}^{2} a_{1}<\frac{12}{25}
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Шорт-лист IMOIMOSL-2006-004

Нерівність із коренями зі сторін трикутника

Нехай a,b,ca, b, c — сторони трикутника. Доведіть, що b+c−ab+c−a+c+a−bc+a−b+a+b−ca+b−c≤3.\frac{\sqrt{b+c-a}}{\sqrt{b}+\sqrt{c}-\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{c+a-b}}{\sqrt{c}+\sqrt{a}-\sqrt{b}}+\frac{\sqrt{a+b-c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c}} \leq 3 .
10–11 класиЧислові нерівності2 розв’язки
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2005-003

Сума дробів з пʼятими степенями при xyz ≥ 1

Нехай x,y,zx, y, z — такі додатні числа, що xyz≥1xyz \ge 1. Доведіть, що x5−x2x5+y2+z2+y5−y2x2+y5+z2+z5−z2x2+y2+z5≥0.\frac{x^5 - x^2}{x^5 + y^2 + z^2} + \frac{y^5 - y^2}{x^2 + y^5 + z^2} + \frac{z^5 - z^2}{x^2 + y^2 + z^5} \ge 0.
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2003-005

Нерівність із сумами модулів і квадратів різниць

Нехай nn — натуральне число, і нехай x1,x2,…,xnx_1, x_2, \ldots, x_n — такі дійсні числа, що x1≤x2≤…≤xnx_1 \le x_2 \le \ldots \le x_n. Доведіть нерівність (∑i=1n∑j=1n∣xi−xj∣)2≤2(n2−1)3⋅∑i=1n∑j=1n(xi−xj)2.\left(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} |x_i - x_j|\right)^2 \le \frac{2(n^2 - 1)}{3} \cdot \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} (x_i - x_j)^2. Доведіть, що рівність має місце тоді й тільки тоді, коли x1,x2,…,xnx_1, x_2, \ldots, x_n є членами арифметичної прогресії.
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Балтійський шляхBW-1992-013

Нерівність із сумами обернених добутків

Доведіть, що для будь-яких додатних x1,x2,…,xnx_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} і y1,y2,…,yny_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n} виконується нерівність ∑i=1n1xiyi≥4n2∑i=1n(xi+yi)2\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x_{i} y_{i}} \geq \frac{4 n^{2}}{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}+y_{i}\right)^{2}}
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-1987-004

Нерівність із циклічними дробами

Нехай aa, bb і cc — додатні дійсні числа. Доведіть: ab+bc+ca≤a2b2+b2c2+c2a2\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \leq \frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}} + \frac{c^{2}}{a^{2}}
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2025-009

Найменше значення симетричної суми з добутком один

Нехай a,b,ca, b, c — додатні дійсні числа, які задовольняють abc=1a b c = 1. Знайдіть найменше можливе значення виразу: a2+2025a3(b+c)+b2+2025b3(c+a)+c2+2025c3(a+b)\frac{a^{2} + 2025}{a^{3}(b + c)} + \frac{b^{2} + 2025}{b^{3}(c + a)} + \frac{c^{2} + 2025}{c^{3}(a + b)}
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2024-038

Циклічна нерівність із симетричними знаменниками

Доведіть, що для всіх додатних дійсних чисел aa, bb, cc виконується така нерівність: a9bc+1+b9ca+1+c9ab+1⩾a+b+c1+(a+b+c)2.\frac{a}{9 b c+1}+\frac{b}{9 c a+1}+\frac{c}{9 a b+1} \geqslant \frac{a+b+c}{1+(a+b+c)^{2}} .
8–10 класиНерівність Коші-Буняковського
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-085

Найбільше ціле з умовою на відношення сум квадратів

Нехай a1,a2,a3,…,a100a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots, a_{100} — цілі числа такі, що a12+a22+a32+⋯+a1002a1+a2+a3+⋯+a100=100.\frac{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+\cdots+a_{100}^{2}}{a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{100}}=100 . Знайдіть з доведенням найбільше можливе значення a1a_{1}.
10–11 класиЧислові нерівності2 розв’язки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.