Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

276 задач
КомбінаторикаПерестановки
Італійська математична олімпіадаITAMO-2021-015

Сума шести кубів за модулем 6

Нехай NN — кількість упорядкованих шісток цілих чисел (a,b,c,d,e,f)(a, b, c, d, e, f) таких, що a3+b3+c3+d3+e3+f3=168a^{3}+b^{3}+c^{3}+d^{3}+e^{3}+f^{3}=168 і −2021202120219<abcdef<2021202120219-202120212021^{9}<a b c d e f<202120212021^{9}, де abcdefabcdef — добуток цих шести цілих чисел. Яке з наведених чисел є остачею від ділення NN на 6? (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4
10–11 класиПерестановки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-017

Сім тур на дошці, які не атакують одна одну

Скількома способами можна поставити 7 тур на шахову дошку 7×77 \times 7 так, щоб жодна тура не могла атакувати іншу? Тура може атакувати іншу туру, якщо вона міститься в тому самому рядку або в тому самому стовпці.
8–10 класиПерестановки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-001

Перестановки з умовою парності для інверсій

Сер Алекс тренує футбольну команду з nn гравців різного зросту. Він хоче вишикувати їх у ряд так, щоб для кожного гравця PP загальна кількість гравців, які або стоять ліворуч від PP і вищі за PP, або стоять праворуч від PP і нижчі за PP, була парною. Скільки існує можливих порядків залежно від nn?
10–11 класиПарність і непарність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-089

Кругова перестановка з взаємно простими сусідами

Скільки існує способів розташувати числа {1,2,3,4,5,6,7,8}\{1,2,3,4,5,6,7,8\} по колу так, щоб будь-які два сусідні елементи були взаємно простими? Повороти й відбиття одного й того самого розташування вважаються нерозрізнюваними.
10–11 класиПерестановки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-078

Два розрізнені трикутники з позначених кульок

У Джоді є 6 різних кульок і 6 різних паличок, усі однакової довжини. Скількома способами можна з'єднати кульки паличками так, щоб утворилися два трикутники без спільних вершин, що не зчіплюються? Повороти та відбиття того самого розташування вважайте нерозрізнюваними.
10–11 класиКомбінації2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-138

Тури на шаховій дошці з чорними та білими клітинками

Дано шахову дошку 8×88 \times 8 з білими та чорними клітинками, що чергуються. Скільки існує способів вибрати чотири чорні клітинки та чотири білі клітинки так, щоб жодні дві з восьми вибраних клітинок не лежали в одному рядку чи стовпці?
10–11 класиКомбінації
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-023

Монета з єдиними парами сусідніх гербів і решок

Чесну монету підкидають вісім разів поспіль. Нехай pp — ймовірність того, що існує рівно одна пара сусідніх підкидань, в яких обидва рази випали герби, і рівно одна пара сусідніх підкидань, в яких обидва рази випали решки. Якщо p=abp=\frac{a}{b}, де a,ba, b — взаємно прості натуральні числа, обчисліть 100a+b100 a+b.
10–11 класиПравила суму та добутку
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-009

Сума перестановок п'яти цифр

Із 5 ненульових цифр можна утворити 120 чисел, не повторюючи цифру в одному числі. Нехай SS — сума всіх цих чисел. Знайдіть суму цифр числа SS, якщо: а) 1, 3, 5, 7 і 9 — ці 5 цифр; б) 0, 2, 4, 6 і 8 — ці 5 цифр, нагадаємо, що 02468 — це число з 4 цифр і, отже, у цьому випадку матимемо не 120 чисел.
8–9 класиПерестановки
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-029

Перестановки з умовою порядку пар

а) Літери AA, BB і CC можна розмістити в ряд 6 різними способами: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBAA B C,\ A C B,\ B A C,\ B C A,\ C A B,\ C B A Зауважимо, що в 3 з них літера AA стоїть ліворуч від літери BB: ABC, ACB, CABA B C,\ A C B,\ C A B Якщо розмістити літери AA, BB, CC і DD в ряд усіма 24 можливими різними способами, у скількох з них літера AA стоїть ліворуч від літери BB? б) Павук має шкарпетку й черевик для кожної зі своїх восьми ніг. Скількома різними способами павук може взутися, якщо 8 шкарпеток і 8 черевиків попарно різні й кожну шкарпетку треба одягнути перед відповідним черевиком?
8–9 класиПерестановки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-015

Перестановка цілочисельних точок зі збільшенням відстаней

Нехай nn — непарне ціле число, і нехай SS — множина з nn точок площини з цілими координатами. Розглянемо перестановку f:S→Sf: S \rightarrow S, яка задовольняє таку властивість: для будь-якої пари точок AA і BB, що належать SS, відстань між f(A)f(A) і f(B)f(B) більша або дорівнює відстані між AA і BB. Доведіть, що існує точка XX, що належить SS, така, що f(X)=Xf(X)=X.
10–11 класиМіркування за модулем
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-141

Перестановки без паліндромних підрядків

Скільки існує різних перестановок букв слова REDDER, які не містять паліндромного підрядка довжини принаймні два? (Підрядок — це неперервний блок букв, що є частиною рядка. Рядок є паліндромним, якщо він збігається з собою при читанні у зворотному порядку.)
10–11 класиПерестановки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-003

Бієкція натуральних чисел і перестановка чисел 1 до n

Нехай N={1,2,3,…}\mathbb{N}=\{1,2,3, \ldots\} — множина всіх натуральних чисел, а ff — бієкція з N\mathbb{N} в N\mathbb{N}. Чи обов’язково існує таке натуральне число nn, що (f(1),f(2),…,f(n))(f(1), f(2), \ldots, f(n)) є перестановкою (1,2,…,n)(1,2, \ldots, n)?
10–11 класиБієкції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-118

Порядки поїдання суші в таблиці

Венді їсть суші на обід. Вона хоче з'їсти шість шматочків суші, розташованих у прямокутній таблиці 2×32 \times 3, але суші липкі, і Венді може з'їсти шматочок, лише якщо він межує (не враховуючи діагоналей) щонайбільше з двома іншими шматочками. Скількома способами Венді може з'їсти шість шматочків суші, якщо шматочки суші розрізнювані?
10–11 класиРозбиття на випадки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-033

Розташування 21, 22, 33, 35 з взаємно простими сусідами

Скільки існує способів розташувати числа 21,22,33,3521, 22, 33, 35 в ряд так, щоб будь-які два сусідні числа були взаємно простими?
10–11 класиПерестановки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-149

Невід'ємна таблиця з сумами рядків і стовпців

Скількома способами можна заповнити квадратну сітку 3×33 \times 3 невід'ємними цілими числами так, щоб жодне ненульове число не траплялося більше ніж один раз в одному рядку або стовпці, а сума чисел у кожному рядку та кожному стовпці дорівнювала 77?
10–11 класиСистеми числення
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-047

Шляхи без зіткнень у вершинах квадрата

Четверо гравців стоять у різних вершинах квадрата. Кожен з них незалежно вибирає вершину квадрата (можливо, ту, у якій він стоїть). Потім вони одночасно починають бігти по прямій до обраної вершини зі швидкістю 1010 миль/год, зупиняючись, коли досягнуть вершини. Якщо в будь-який момент двоє гравців, рухаються вони чи ні, опиняються в одному й тому самому місці (у вершині чи у внутрішній точці квадрата), вони зіштовхуються і падають. Скількома різними способами гравці можуть вибрати вершини, куди бігти, щоб ніхто з них не впав?
10–11 класиРозбиття на випадки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-048

Розфарбування решітки без цілих відстаней

Боб фарбує точки цілочисельної решітки на координатній площині. Знайдіть кількість способів, якими Боб може пофарбувати п'ять точок із {(x,y)∣1≤x,y≤5}\{(x, y) \mid 1 \leq x, y \leq 5\} у синій колір так, щоб відстань між будь-якими двома синіми точками не була цілим числом.
10–11 класиПерестановки
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2019-008

Парування без різниць, кратних 3

Дві школи змагаються в шаховому турнірі, до якого кожна залучає по 75 учнів: організовують 75 партій, щоб усі учні зіграли один проти одного (учень першої школи проти учня другої) під контролем зовнішнього арбітра. Кожна школа нумерує своїх учнів від 1 до 75, а арбітр встановлює правило, що двоє учнів не можуть зустрітися, якщо різниця між їхніми номерами кратна 3. Якщо nn — кількість можливих парувань, що задовольняють це правило, скількома нулями закінчується nn? (A) 6 (B) 12 (C) 15 (D) 18 (E) 21
9–11 класиКомбінації
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2019-002

Самоописові числа з парною кількістю цифр

Скажімо, що додатне ціле число з парною кількістю цифр є «правильним», якщо, читаючи вголос окремі цифри, одержуємо правильний опис самого числа. Точніше, якщо кожна цифра на непарній позиції вказує, скільки разів наступна цифра трапляється в усьому числі. Наприклад, 12101210 є правильним, бо має «один 22, один 00», так само як 21212121, бо має «два 11, два 11», тоді як 10311031 таким не є, бо заявляє, що має «один 00, три 11», коли насправді має два 11. a. Доведіть, що існує більше ніж 20192019 правильних чисел. b. Доведіть, що правильних цілих чисел є скінченна кількість. c. Знайдіть кількість цифр найбільшого правильного числа.
9–11 класиПерестановки
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2019-014

Кількість відображень підмножин шестиелементної множини з умовою

Нехай S={1,2,…,6}S = \{1, 2, \dots, 6\}. Нехай S\mathcal{S} — множина всіх підмножин SS. Скільки існує відображень F:S→SF: \mathcal{S} \to \mathcal{S}, які задовольняють таку умову: F(F(A)∪B)=A∩F(B) для будь-якої пари підмножин S.F(F(A) \cup B) = A \cap F(B) \text{ для будь-якої пари підмножин } S.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2019-012

Перестановки різних непарних цифр

П'ятеро подруг — основні гравчині волейбольної команди. Їхні футболки пронумеровані на спинах першими 5 додатними непарними числами. Ана — номер 1; Бія — номер 3; Катія — номер 5; Дані — номер 7; а Есмеральда — номер 9. Під час тренувань п'ятеро подруг стають у шеренгу, щоб утворити числа своїми футболками, усі з 5 цифр. Наприклад, шеренга з Есмеральдою, Дані, Катією, Бією та Аною, у цьому порядку, утворює число 97 531. a) Скільки різних чисел вони можуть утворити? b) Скільки чисел можна утворити, якщо Катія не може бути першою в шерензі? c) Скільки чисел можна утворити, якщо Есмеральда і Бія стоятимуть поруч? d) Фабія, футболка номер 11, вирішує долучитися до гри. Скільки чисел утворено тепер?
8–9 класиПерестановки
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2019-007

Ротація волейбольної команди з умовою про жінок

Нехай nn — натуральне число. Волейбольна команда, що складається з nn жінок і nn чоловіків, шикується для гри. При цьому кожен член команди займає одну з позицій 1,2,…,2n1,2, \ldots, 2 n, причому саме позиції 11 і n+1n+1 знаходяться поза майданчиком. Під час гри всі члени команди здійснюють ротацію, переходячи щоразу з позиції ii на позицію i+1i+1 (відповідно з 2n2 n на 11). Скільки існує можливостей для стартової розстановки так, щоб незалежно від того, скільки разів відбулася ротація, на майданчику завжди було принаймні n−1n-1 жінок? Зауваження: Дві стартові розстановки різні, якщо принаймні один член команди займає іншу позицію.
10–11 класиПравила суму та добутку2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-086

Порядок перестановки свічеру

Мішель має слово з 2n2^{n} літер, яке може складатися з літер будь-якого алфавіту. Мішель виконує зі словом свічеру так: для кожного k=0,1,…,n−1k = 0, 1, \ldots, n-1 вона міняє місцями перші 2k2^{k} літер слова з наступними 2k2^{k} літерами слова. Наприклад, при n=3n = 3 Мішель за одне свічеру перетворює A B C D E F G H→B A C D E F G H→C D B A E F G H→E F G H C D B AA\ B\ C\ D\ E\ F\ G\ H \rightarrow B\ A\ C\ D\ E\ F\ G\ H \rightarrow C\ D\ B\ A\ E\ F\ G\ H \rightarrow E\ F\ G\ H\ C\ D\ B\ A Виразивши через nn, знайдіть найменше натуральне число mm таке, що після mm-кратного виконання Мішель операції свічеру над довільним словом довжини 2n2^{n} вона отримає початкове слово.
10–11 класиМетод математичної індукції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-076

Восьмизначні кратні дев'яти з різними цифрами

Знайдіть кількість восьмизначних натуральних чисел, кратних 99, усі цифри яких різні.
10–11 класиОзнаки подільності на 2, 3, …
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-134

Сортування перестановки сусідніми обмінами

Турист опановує неправильний спосіб сортування перестановки (p1,…,pn)\left(p_{1}, \ldots, p_{n}\right) чисел (1,…,n)(1, \ldots, n). Визначимо виправлення двох сусідніх елементів pip_{i} і pi+1p_{i+1} як операцію, яка міняє ці два елементи місцями, якщо pi>pi+1p_{i}>p_{i+1}, а інакше нічого не робить. Турист виконує n−1n-1 раундів виправлень з номерами a=1,2,…,n−1a=1,2, \ldots, n-1. У раунді aa виправлень турист виправляє pap_{a} і pa+1p_{a+1}, потім pa+1p_{a+1} і pa+2p_{a+2} і так далі, аж до pn−1p_{n-1} і pnp_{n}. У цьому процесі загалом виконується (n−1)+(n−2)+⋯+1=n(n−1)2(n-1)+(n-2)+\cdots+1=\frac{n(n-1)}{2} виправлень. Скільки існує перестановок (1,…,2018)(1, \ldots, 2018), з яких турист може почати, щоб після виконання цих кроків отримати (1,…,2018)(1, \ldots, 2018)?
10–11 класиПерестановки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.