Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

374 задачі
ГеометріяСтепінь точки відносно кола
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-17-18-009

Висоти трикутника, дотичні і циклічні точки

Нехай AA1AA_1, BB1BB_1, CC1CC_1 — висоти трикутника ABCABC, точка HH — його ортоцентр. Пряма ℓ\ell, паралельна стороні ACAC, перетинає прямі AA1AA_1 і CC1CC_1 у точках A2A_2 і C2C_2 відповідно. Припустимо, що точка B1B_1 лежить зовні описаного кола трикутника A2HC2A_2HC_2. Нехай прямі B1PB_1P і B1TB_1T — дотичні до цього кола. Доведіть, що точки A1A_1, C1C_1, PP і TT циклічні.
10–11 класиКоло Ейлера (коло 9 точок)
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-15-16-012

Паралелограм BPTQ і відношення BT до BM

Точка MM — середина сторони ACAC гострокутного трикутника ABCABC. Коло ω\omega проходить через точки BB і MM та вдруге перетинає сторони ABAB і BCBC у точках PP і QQ відповідно. Нехай точка TT така, що чотирикутник BPTQBPTQ — паралелограм. Припустимо, що TT лежить на описаному колі трикутника ABCABC. Знайдіть усі можливі значення, яких може набувати відношення BT/BMBT/BM.
10–11 класиКоло і подібність
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-15-16-003

Середини сторін трикутника, коло і симетричні точки

Задано трикутник ABCABC, у якому CA≠CBCA \neq CB. Нехай точки DD, FF і GG — середини сторін ABAB, ACAC і BCBC відповідно. Коло Γ\Gamma, що проходить через точку CC і дотикається до сторони ABAB у точці DD, перетинає відрізки AFAF і BGBG у точках HH та II відповідно. Точки H′H' і I′I' симетричні HH та II відносно FF і GG відповідно. Пряма H′I′H'I' перетинає CDCD і FGFG у точках QQ і MM відповідно. Пряма CMCM вдруге перетинає коло Γ\Gamma у точці PP. Доведіть, що CQ=QPCQ = QP.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-15-16-008

Точка перетину кіл та паралельність PM і AK

Задано гострокутний трикутник ABCABC, у якому AB<BCAB < BC. Його вписане коло із центром у точці II дотикається до сторони BCBC у точці KK. Пряма AKAK удруге перетинає описане коло трикутника ABCABC у точці TT. Нехай MM — середина BCBC, а NN — середина дуги BACBAC описаного кола трикутника ABCABC. Відрізок NTNT перетинає описане коло трикутника BICBIC у точці PP. Доведіть, що PM∥AKPM \parallel AK.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-14-15-007

MH і перпендикуляр до AC на колі BA'P

Висоти AA′AA' і BB′BB' трикутника ABCABC перетинаються в точці HH. Точка MM — середина ABAB. Прямі ABAB і A′B′A'B' перетинаються в точці PP. Доведіть, що пряма MHMH і перпендикуляр до прямої ACAC, який проходить через точку PP, перетинаються на описаному колі трикутника BA′PBA'P.
10–11 класиПроєктивна геометрія
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-14-15-006

Коло через точку на висоті та проекції точки H

Дано гострокутний трикутник ABCABC, HH — основа висоти, проведеної з точки AA на пряму BCBC, PP і K≠HK \neq H — довільні точки на відрізках AHAH і BCBC відповідно. Прямі ACAC і BPBP перетинаються в точці B1B_1, прямі ABAB і CPCP — у точці C1C_1. Нехай XX і YY — проекції точки HH на прямі KB1KB_1 і KC1KC_1 відповідно. Доведіть, що точки AA, PP, XX і YY лежать на одному колі.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-13-14-012

Рівність відрізків QB і QR у трикутнику

Нехай задано трикутник ABCABC, у якому ∠B>∠C\angle B > \angle C. Нехай PP і QQ — дві різні точки на прямій ACAC такі, що ∠PBA=∠QBA=∠ACB\angle PBA = \angle QBA = \angle ACB, а точка AA лежить між PP і CC. Припустимо, що всередині відрізка BQBQ існує точка DD, для якої виконується рівність PD=PBPD = PB. Нехай промінь ADAD перетинає описане коло трикутника ABCABC у точці R≠AR \ne A. Доведіть, що QB=QRQB = QR.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-12-13-008

Бісектриса і коло через B, C, X, Y

Відомо, що сторони ABAB і ACAC трикутника ABCABC мають різну довжину. Нехай точка OO — центр описаного кола, а відрізок ADAD — бісектриса трикутника. Точка EE симетрична точці DD відносно середини сторони BCBC. Пряма, перпендикулярна до BCBC, що проходить через точку DD, перетинає пряму AOAO в точці XX, а пряма, перпендикулярна до BCBC, що проходить через EE, перетинає пряму ADAD у точці YY. Доведіть, що BB, CC, XX та YY лежать на одному колі.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-08-09-001

Трапеція, рівні кути та кола через середину

Задана трапеція ABCDABCD з основами ABAB і CDCD. Нехай існують такі точки EE на прямій BCBC, зовні відрізку BCBC, та точка FF всередині відрізку ADAD такі, що ∠DAE=∠CBF\angle DAE = \angle CBF. Позначимо через II та JJ точки перетину з прямою EFEF прямих CDCD та ABAB відповідно. Нехай точка KK – середина відрізку EFEF і вона не лежить на прямій ABAB. Довести, що точка KK лежить на колі, що описане навколо трикутника ABIABI тоді і тільки тоді, коли точка KK лежить на колі, що описане навколо трикутника CDJCDJ.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-08-09-010

Точки P і Q всередині опуклого чотирикутника ABCD

Всередині опуклого чотирикутника ABCDABCD вибрані точки PP та QQ таким чином, що PQDAPQDA та QPBCQPBC – вписані чотирикутники. Припустимо, що існує така точка EE на відрізку PQPQ, що ∠PAE=∠QDE\angle PAE = \angle QDE та ∠PBE=∠QCE\angle PBE = \angle QCE. Довести, що чотирикутник ABCDABCD також вписаний.
10–11 класиГомотерія і подібність
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-02-03-008

Діаметр кола, дотичні та колінеарні точки S, K, T

Нехай ABAB — діаметр кола ω\omega. Позначимо через lal_a і lbl_b дотичні до кола ω\omega в точках AA і BB відповідно. На колі ω\omega обирається довільно точка CC. Нехай BCBC перетинає lal_a в точці KK, а бісектриса кута CAKCAK перетинає CKCK в точці HH. Нехай MM — середина дуги CABCAB, SS — інша точка перетину HMHM і кола ω\omega, TT — точка перетину прямої lbl_b і дотичної до кола ω\omega в точці MM. Доведіть, що точки SS, KK і TT лежать на одній прямій.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-01-02-010

Мінімальні добутки відрізків на прямих через точку в чотирикутнику

Усередині опуклого чотирикутника O1O2O3O4O_1 O_2 O_3 O_4 взято точку PP. Для кожного i=1,2,3,4i = 1, 2, 3, 4 розглянемо прямі ll, що проходять через PP та перетинають два промені OiOi−1,OiOi+1O_i O_{i-1}, O_i O_{i+1} у різних точках Ai(l)A_i(l), Bi(l)B_i(l) відповідно (тут O0≡O4,O5≡O1O_0 \equiv O_4, O_5 \equiv O_1). Розглянемо величину f(l)=PAi(l)⋅PBi(l)f(l) = PA_i(l) \cdot PB_i(l) і позначимо через lil_i пряму, для якої f(l)f(l) набуває — для даного фіксованого ii — найменшого значення. Відомо, що пряма l1l_1 співпадає з прямою l3l_3, пряма l2l_2 — з прямою l4l_4. Доведіть, що O1O2O3O4O_1 O_2 O_3 O_4 — паралелограм.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-00-01-001

Перпендикулярність прямих RH і CM у трикутнику

Дано гострокутний трикутник ABCABC, у якому AC>BCAC > BC. Нехай MM — середина сторони ABAB, APAP і BQBQ — висоти трикутника, HH — його ортоцентр. Нехай прямі ABAB і PQPQ перетинаються в точці RR. Доведіть, що прямі RHRH і CMCM перпендикулярні.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-00-01-011

Чотирикутник з рівними сторонами і перпендикулярність OI до CD

Дано опуклий чотирикутник ABCDABCD такий, що AB=AC=BDAB = AC = BD. PP — точка перетину його діагоналей, OO та II — центри описаного та вписаного кіл трикутника ABPABP відповідно, причому точки OO та II не співпадають. Доведіть, що OI⊥CDOI \perp CD.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Балтійський шляхBW-2024-011

Перпендикулярні діагоналі вписаного чотирикутника та дотична

Нехай ABCDABCD — вписаний чотирикутник із центром описаного кола OO такий, що відрізок ACAC перпендикулярний до BDBD. Точки XX і YY вибрано на описаному колі трикутника BODBOD так, що ∠AXO=∠CYO=90∘\angle AXO = \angle CYO = 90^\circ. Нехай MM — середина відрізка ACAC. Доведіть, що BDBD дотикається до описаного кола трикутника MXYMXY.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Балтійський шляхBW-2024-014

Відображення точки H відносно KD на описаному колі

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з описаним колом ω\omega. Висоти ADAD, BEBE і CFCF трикутника ABCABC перетинаються в точці HH. Точка KK вибрана на прямій EFEF так, що KH∥BCKH \parallel BC. Доведіть, що відображення точки HH відносно KDKD лежить на колі ω\omega.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Математичний матч Чехія–Австрія–Польща–СловаччинаCAPS-2024-004

Чотирикутник з рівними сторонами і середини на колі

Задано опуклий чотирикутник ABCDABCD, у якому AB=BC=CDAB = BC = CD. Точки XX та YY вибрано на променях CACA та BDBD відповідно так, що BX=CYBX = CY. Нехай точки PP, QQ, RR і SS — це середини відрізків BXBX, CYCY, XDXD і YAYA відповідно. Доведіть, що точки PP, QQ, RR, SS лежать на одному колі.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2024-002

Трикутник з точками дотику та перетин на описаному колі

У трикутнику ABCABC відомо, що AC>ABAC > AB. Нехай Ω\Omega — його описане коло, а точка II — центр вписаного кола. Нехай вписане коло трикутника ABCABC дотикається до сторін BCBC, CACA, ABAB у точках DD, EE, FF відповідно. Позначимо через XX і YY відповідно дві точки на менших дугах DF⌢\overset{\frown}{DF} та DE⌢\overset{\frown}{DE} вписаного кола так, що ∠BXD=∠DYC\angle BXD = \angle DYC. Прямі XYXY і BCBC перетинаються в точці KK. Нехай TT — точка на колі Ω\Omega така, що пряма KTKT є дотичною до кола Ω\Omega, а точки TT та AA лежать по один бік від прямої BCBC. Доведіть, що прямі TDTD та AIAI перетинаються на колі Ω\Omega.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Шорт-лист IMOIMOSL-2024-004

Бісектриси кутів, що перетинають описане коло

Нехай ABCABC — трикутник, II — центр його вписаного кола, і нехай Ω\Omega — описане коло трикутника BICBIC. Нехай KK — точка всередині відрізка BCBC така, що ∠BAK<∠KAC\angle BAK < \angle KAC. Бісектриса кута ∠BKA\angle BKA перетинає Ω\Omega у точках WW і XX так, що AA і WW лежать по один бік від прямої BCBC, а бісектриса кута ∠CKA\angle CKA перетинає Ω\Omega у точках YY і ZZ так, що AA і YY лежать по один бік від прямої BCBC. Доведіть, що ∠WAY=∠ZAX\angle WAY = \angle ZAX.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Шорт-лист IMOIMOSL-2024-005

Бісектриса кута через центр зовнівписаного кола

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, у якого AB<ACAB < AC, а Γ\Gamma — описане коло трикутника ABCABC. Точки XX і YY лежать на колі Γ\Gamma так, що прямі XYXY і BCBC перетинаються на зовнішній бісектрисі кута ∠BAC\angle BAC. Припустимо, що дотичні до кола Γ\Gamma в точках XX і YY перетинаються в точці TT, що лежить з того самого боку від прямої BCBC, що й AA, і що TXTX і TYTY перетинають BCBC у точках UU і VV відповідно. Нехай JJ — центр зовнівписаного кола трикутника TUVTUV, протилежного вершині TT. Доведіть, що AJAJ ділить навпіл ∠BAC\angle BAC.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-012

Спільні кола через діагоналі шестикутника

Нехай ABCDEFABCDEF — вписаний опуклий шестикутник. Точка PP називається допустимою, якщо вона не лежить на описаному колі шестикутника ABCDEFABCDEF ані на жодній з прямих ADAD, BEBE і CFCF. Допустима точка називається фантастичною, якщо кола ⊙(ADP)\odot(ADP), ⊙(BEP)\odot(BEP) і ⊙(CFP)\odot(CFP) перетинаються рівно у двох точках. Доведіть, що якщо існує фантастична точка, то всі допустимі точки є фантастичними.
10–11 класиРадикальна вісь
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-018

Центроїд, центри описаних кіл і перетин перпендикулярів

Нехай △ABC\triangle ABC — трикутник з центроїдом GG. Нехай DD, EE і FF — центри описаних кіл △BCG\triangle BCG, △CAG\triangle CAG і △ABG\triangle ABG відповідно. Точка XX визначена як перетин перпендикулярів, опущених з EE на пряму ABAB і з FF на пряму ACAC. Доведіть, що пряма DXDX ділить відрізок EFEF навпіл.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола3 розв’язки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-021

Перетини дотичних та відношення кіл

У гострокутному різносторонньому трикутнику △ABC\triangle ABC точки P,QP, Q лежать на менших дугах AB^\widehat{AB} та AC^\widehat{AC} відповідно і є точками перетину середньої лінії, паралельної стороні BCBC, з описаним колом △ABC\triangle ABC. Точки XX та YY є точками перетину серединних перпендикулярів до відрізків ABAB та ACAC відповідно з дотичною до ⊙(ABC)\odot(ABC) у точці AA. Нехай T≠AT \neq A — точка перетину кіл ⊙(PXA)\odot(PXA) та ⊙(QYA)\odot(QYA). Якщо ADAD — висота в трикутнику △ABC\triangle ABC, доведіть, що ∣TX∣∣TY∣=∣DB∣∣DC∣\frac{|TX|}{|TY|} = \frac{|DB|}{|DC|}
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-023

Дотичні та рівнобедрений трикутник на колах

Нехай ω1\omega_1 і ω2\omega_2 — кола без спільних точок. Точки MM і NN вибрано на колах ω1\omega_1 і ω2\omega_2 відповідно так, що дотична до кола ω1\omega_1 у точці MM і дотична до кола ω2\omega_2 у точці NN перетинаються в точці PP, а △PMN\triangle PMN — рівнобедрений трикутник із вершиною PP. Кола ω1\omega_1 і ω2\omega_2 перетинають відрізок MNMN вдруге в точках AA і BB відповідно. Пряма PAPA перетинає коло ω1\omega_1 вдруге в точці CC, а пряма PBPB перетинає коло ω2\omega_2 вдруге в точці DD. Доведіть, що ∠BCN=∠ADM\angle BCN = \angle ADM.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки
Математичний матч Чехія–Австрія–Польща–СловаччинаCAPS-2023-005

Перпендикулярність BT і CN у гострокутному трикутнику

Задано гострокутний трикутник ABCABC з ортоцентром HH. Нехай точка DD — основа висоти, опущеної з точки AA на сторону BCBC. Точка TT на колі з діаметром AHAH така, що це коло дотикається внутрішнім чином до описаного кола трикутника BDTBDT. Нехай точка NN — це середина відрізка AHAH. Доведіть, що BT⊥CNBT \perp CN.
10–11 класиРадикальна вісь

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.