Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

2 443 задачі
ГеометріяКола
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2023-008

Прямокутник із дотичних кіл

Нехай ω1\omega_{1} — коло з діаметром JKJ K. Нехай tt — дотична до кола ω1\omega_{1} в точці JJ, а U≠JU \neq J — інша точка на прямій tt. Нехай ω2\omega_{2} — найменше коло з центром у UU, яке перетинає ω1\omega_{1} в єдиній точці YY. Нехай II — друга точка перетину прямої JKJ K з описаним колом трикутника JYUJ Y U, а FF — друга точка перетину прямої KYK Y з колом ω2\omega_{2}. Доведіть, що FUJIF U J I — прямокутник.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2023-009

Прямокутник з дотичних кіл

Нехай ω1\omega_{1} — коло з діаметром JKJ K. Нехай tt — дотична до кола ω1\omega_{1} у точці JJ, а U≠JU \neq J — інша точка на прямій tt. Нехай ω2\omega_{2} — менше коло з центром UU, яке дотикається до кола ω1\omega_{1} в єдиній точці YY. Нехай II — друга точка перетину прямої JKJ K з описаним колом трикутника JYUJ Y U, а FF — друга точка перетину прямої KYK Y з колом ω2\omega_{2}. Доведіть, що FUJIF U J I — прямокутник.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбірковий тест на BxMO та EGMOBXTST-2022-001

Рівні кути від перетинів кіл

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, а DD — основа висоти, опущеної з вершини AA. Коло з центром AA, що проходить через DD, перетинає описане коло трикутника ABCABC у точках XX і YY так, що точки на цьому описаному колі розташовані в такому порядку: AA, XX, BB, CC, YY. Доведіть, що ∠BXD=∠CYD\angle BXD = \angle CYD.
10–11 класиДотична кола
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2022-005

Інцентри трикутників біцентричного п'ятикутника

Нехай ABCDEABCDE — опуклий п’ятикутник такий, що п’ять вершин лежать на колі, а п’ять сторін дотикаються до іншого кола всередині п’ятикутника. Існує (53)=10\binom{5}{3} = 10 трикутників, які можна утворити, вибравши 3 з 5 вершин. Для кожного з цих 10 трикутників позначимо його інцентр. Доведіть, що ці 10 інцентрів лежать на двох концентричних колах.
10–11 класиІнверсія
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-032

Прямокутник із півколом і рівними відрізками

Нехай ABCDABCD — прямокутник. Нехай ω\omega — півколо з діаметром [BC][BC], причому точка AA і півколо ω\omega розміщені з одного боку від відрізка [BC][BC]. Коло з центром BB і радіусом ABAB вдруге перетинає півколо ω\omega в точці EE. Пряма (AE)(AE) вдруге перетинає півколо ω\omega в точці FF. Доведіть, що AF=BFAF = BF.
8–10 класиДотична кола
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-033

Паралелограм із перетинів описаних кіл

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, а DD — точка всередині трикутника ABCABC. Прямі (AD)(AD) і (BD)(BD) повторно перетинають описане коло трикутника ABCABC відповідно в точках A1A_{1} і B1B_{1}. Описане коло трикутника B1DAB_{1}DA повторно перетинає пряму (AC)(AC) в точці PP. Описане коло трикутника A1BDA_{1}BD повторно перетинає пряму (BC)(BC) в точці QQ. Доведіть, що чотирикутник CPDQCPDQ — паралелограм.
8–10 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-002

Бісектриса кута в паралелограмі з центроїдом

Нехай ABCDABCD — паралелограм, а GG — точка перетину медіан трикутника ABDABD. Нехай PP і QQ — точки прямої (BD)(BD) такі, що прямі (GP)(GP) і (PC)(PC) перпендикулярні, а прямі (GQ)(GQ) і (QC)(QC) перпендикулярні. Доведіть, що пряма (AG)(AG) є бісектрисою кута PAQ^\widehat{PAQ}.
9–11 класиТеорема про тризуб
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-040

Перетин прямих на описаному колі через бісектрису

Нехай ABCABC — трикутник, а Ω\Omega — його описане коло. Нехай DD — основа висоти, проведеної з вершини AA. Бісектриса, проведена з вершини AA, перетинає відрізок [BC][BC] у точці PP і вдруге перетинає коло Ω\Omega у точці SS. Нехай A′A' — точка, діаметрально протилежна вершині AA на колі Ω\Omega. Доведіть, що прямі (SD)(SD) і (A′P)(A'P) перетинаються на колі Ω\Omega.
8–10 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-042

Конкурентність прямих у паралелограмі з колами

Нехай ABCDABCD — паралелограм такий, що AC=BCAC = BC. Нехай PP — точка на продовженні відрізка [AB][AB] за точку BB. Нехай QQ — точка перетину, відмінна від DD, відрізка [PD][PD] з описаним колом трикутника ACDACD. Нехай далі RR — точка перетину, відмінна від PP, відрізка [PC][PC] з описаним колом трикутника APQAPQ. Доведіть, що прямі (AQ)(AQ), (BR)(BR) і (CD)(CD) перетинаються в одній точці.
8–10 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-051

Конкурентність прямих у конфігурації з дотичною

Нехай A,B,CA, B, C і DD — чотири точки на колі Ω\Omega. Нехай EE і FF — точки перетину променів [BA)[B A) і [BC)[B C) з дотичною до кола Ω\Omega у DD. Нехай TT — точка всередині трикутника ABCA B C, така, що (TE)(T E) паралельна (CD)(C D) і (TF)(T F) паралельна (AD)(A D). Нарешті, нехай KK — точка відрізка [DF][D F], відмінна від DD, така, що TD=TKT D=T K. Доведіть, що прямі (AC),(DT)(A C),(D T) і (BK)(B K) перетинаються в одній точці.
10–11 класиРадикальна вісь
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-024

Дотичні до кола і рівність кутів

Нехай Γ\Gamma — коло, а PP — точка поза колом Γ\Gamma. Дотичні до кола Γ\Gamma, проведені з PP, дотикаються до кола Γ\Gamma в точках AA і BB. Нехай KK — точка на відрізку [AB][AB], відмінна від AA і BB. Описане коло трикутника PBKPBK перетинає коло Γ\Gamma повторно в точці TT. Нехай P′P' — точка, симетрична точці PP відносно точки AA. Доведіть, що PBT^=P′KA^\widehat{\mathrm{PBT}} = \widehat{\mathrm{P}'\mathrm{KA}}.
8–10 класиЦентральні і вписані кути
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-025

Циклічні точки в побудові з паралелограмом

Нехай ABCDABCD — паралелограм. Пряма dd, що проходить через CC, перетинає прямі (AB)(AB) і (AD)(AD) відповідно в точках XX і YY. Дотичні в точках XX і YY до описаного кола трикутника AXYAXY перетинаються в точці TT, а пряма (CT)(CT) повторно перетинає описане коло трикутника CDYCDY в точці PP. Доведіть, що точки A,B,DA, B, D і PP лежать на одному колі.
9–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-047

Точки на одному колі для кіл, що перетинаються

Нехай ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} — два кола з центрами O1O_{1} і O2O_{2} відповідно. Припустімо, що ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} перетинаються в точках AA і BB. Пряма (O1A)(O_{1}A) вдруге перетинає коло ω2\omega_{2} у точці CC, тоді як пряма (O2A)(O_{2}A) вдруге перетинає коло ω1\omega_{1} у точці DD. Доведіть, що точки DD, O1O_{1}, BB, O2O_{2} і CC належать одному колу.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-006

Фіксована точка рухомих хорд

Нехай ABCABC — трикутник, у якому AB<ACAB < AC. Нехай ω\omega — коло, що проходить через BB і CC, причому точка AA лежить усередині кола ω\omega. Нехай XX і YY — точки кола ω\omega такі, що BXA^=AYC^\widehat{BX A} = \widehat{A Y C}. Припустимо, що XX і CC лежать по різні боки від прямої (AB)(AB) і що YY і BB лежать по різні боки від прямої (AC)(AC). Доведіть, що коли XX і YY змінюються на колі ω\omega, пряма (XY)(XY) проходить через фіксовану точку.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-088

Хорда, дотична до вписаного кола в трикутнику

Нехай трикутник ABCA B C — гострокутний з описаним колом Γ\Gamma. Нехай XX і YY — середини менших дуг AB^\widehat{A B} і AC^\widehat{A C} кола Γ\Gamma відповідно. Якщо пряма XYX Y дотикається до вписаного кола трикутника ABCA B C і радіус кола Γ\Gamma дорівнює RR, знайдіть із доведенням довжину відрізка XYX Y через RR.
10–11 класиТеорема про тризуб
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-079

Описане коло трикутника з вкладених многокутників

На площині рівносторонній трикутник ABCA B C, квадрат BCDEB C D E і правильний дванадцятикутник DEFGHIJKLMNOD E F G H I J K L M N O мають довжину сторони 11 і не накладаються один на одного. Знайдіть площу круга, описаного навколо трикутника △AFN\triangle A F N.
10–11 класиОписане коло
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-094

Рівні хорди на сторонах трикутника

На площині задано трикутник XYZX Y Z та коло ω\omega радіуса 22, таке, що ω\omega перетинає відрізок XY‾\overline{X Y} у точках A,BA, B, відрізок YZ‾\overline{Y Z} у точках C,DC, D та відрізок ZX‾\overline{Z X} у точках E,FE, F. Припустімо, що XB>XAX B > X A, YD>YCY D > Y C і ZF>ZEZ F > Z E. Крім того, XA=1X A = 1, YC=2Y C = 2, ZE=3Z E = 3 і AB=CD=EFA B = C D = E F. Обчисліть довжину відрізка ABA B.
10–11 класиВписане коло
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-080

Перпендикулярні хорди та відстані до середин

У колі ω\omega дві перпендикулярні хорди перетинаються в точці PP. Серединами цих двох хорд є відповідно точки M1M_{1} і M2M_{2}, причому PM1=15P M_{1}=15 і PM2=20P M_{2}=20. Пряма M1M2M_{1} M_{2} перетинає ω\omega у точках AA і BB, причому M1M_{1} лежить між AA та M2M_{2}. Обчисліть найбільше можливе значення BM2−AM1B M_{2}-A M_{1}.
10–11 класиМетричні співвідношення в колі
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-131

Еліпс і парабола з ортоцентром

Нехай E\mathcal{E} — еліпс з фокусами AA і BB. Припустімо, що існує парабола P\mathcal{P} така, що - P\mathcal{P} проходить через AA і BB, - фокус FF параболи P\mathcal{P} лежить на еліпсі E\mathcal{E}, - ортоцентр HH трикутника △FAB\triangle F A B лежить на директрисі параболи P\mathcal{P}. Якщо довжини великої та малої осей еліпса E\mathcal{E} дорівнюють 5050 і 1414 відповідно, обчисліть AH2+BH2A H^{2}+B H^{2}.
10–11 класиРадикальна вісь
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-099

Паралелограм із вписаними чотирикутниками

Розглянемо паралелограм ABCDABCD, у якому AB>BCAB > BC. Точка EE на відрізку AB‾\overline{AB} і точка FF на відрізку CD‾\overline{CD} позначені так, що існує коло ω1\omega_1, яке проходить через A,D,E,FA, D, E, F, і коло ω2\omega_2, яке проходить через B,C,E,FB, C, E, F. Якщо кола ω1,ω2\omega_1, \omega_2 розбивають діагональ BD‾\overline{BD} на відрізки BX‾,XY‾,YD‾\overline{BX}, \overline{XY}, \overline{YD} у такому порядку з довжинами 200,9,80200, 9, 80 відповідно, обчисліть довжину сторони BCBC.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-112

Відношення на чевіанах рівностороннього трикутника

Аліса та Боб грають у таку «гру на вгадування точки». Спочатку Аліса позначає рівносторонній трикутник ABCA B C і точку DD на відрізку BCB C, таку, що BD=3B D=3 і CD=5C D=5. Потім Аліса вибирає точку PP на прямій ADA D і пропонує Бобу позначити точку Q≠PQ \neq P на прямій ADA D таку, що BQQC=BPPC\frac{B Q}{Q C}=\frac{B P}{P C}. Аліса виграє тоді й лише тоді, коли Боб не може вибрати таку точку. Якщо Аліса виграє, то яких можливих значень набуває BPPC\frac{B P}{P C} для вибраної нею точки PP?
10–11 класиІнверсія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-101

Сума відстаней у конфігурації дотичних кіл

Нехай Γ1\Gamma_{1} і Γ2\Gamma_{2} — два кола, які дотикаються зовні одне до одного в точці NN і обидва дотикаються зсередини до кола Γ\Gamma в точках UU і VV відповідно. Спільна зовнішня дотична до кіл Γ1\Gamma_{1} і Γ2\Gamma_{2} дотикається до кіл Γ1\Gamma_{1} і Γ2\Gamma_{2} в точках PP і QQ відповідно та перетинає Γ\Gamma в точках XX і YY. Нехай MM — середина дуги XY^\widehat{X Y}, яка не містить UU і VV. Нехай ZZ лежить на колі Γ\Gamma так, що MZ⊥NZM Z \perp N Z, і припустимо, що описані кола трикутників QVZQ V Z і PUZP U Z перетинаються в точці T≠ZT \neq Z. Знайдіть з доведенням значення TU+TVT U+T V через R,r1R, r_{1} і r2r_{2} — радіуси кіл Γ,Γ1\Gamma, \Gamma_{1} і Γ2\Gamma_{2} відповідно.
10–11 класиІнверсія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-133

Точка з дотичними описаними колами в колі

Нехай ω\omega — коло з центром OO і радіусом 88. Нехай ACAC і BDBD — перпендикулярні хорди кола ω\omega. Нехай PP — точка всередині чотирикутника ABCDABCD така, що описані кола трикутників ABPABP і CDPCDP дотикаються, а описані кола трикутників ADPADP і BCPBCP дотикаються. Якщо AC=261AC=2\sqrt{61} і BD=67BD=6\sqrt{7}, то OPOP можна подати у вигляді a−b\sqrt{a}-\sqrt{b} для натуральних чисел aa і bb. Обчисліть 100a+b100a+b.
10–11 класиІнверсія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-027

Покриття квадрата кругом з кутовою умовою

Одиничний квадрат ABCDABCD і коло Γ\Gamma мають таку властивість: якщо PP — точка площини, яка не міститься у внутрішності кола Γ\Gamma, то min⁡(∠APB,∠BPC,∠CPD,∠DPA)≤60∘\min (\angle APB, \angle BPC, \angle CPD, \angle DPA) \leq 60^{\circ}. Найменша можлива площа круга, обмеженого колом Γ\Gamma, може бути записана як aπb\frac{a \pi}{b} для взаємно простих натуральних чисел aa і bb. Обчисліть 100a+b100a + b.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-036

Максимум синуса B за умови із зовнівписаним колом

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з AA-зовнівписаним колом Γ\Gamma. Нехай пряма через AA, перпендикулярна до BCBC, перетинає BCBC в точці DD і перетинає Γ\Gamma в точках EE та FF. Припустимо, що AD=DE=EFAD = DE = EF. Якщо максимальне значення sin⁡B\sin B можна записати у вигляді a+bc\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{c} для натуральних чисел a,ba, b і cc, обчисліть найменше можливе значення a+b+ca+b+c.
10–11 класиЗовнівписане коло

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.