Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

21 566 задач
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2018-023

Порівняння суми степенів і знаходження суми показників

a) Яке з чисел більше: 2100+31002^{100}+3^{100} чи 41004^{100}? b) Нехай xx і yy — натуральні числа такі, що 2x⋅3y=(2412+13+14+⋯+160)⋅(2413+14+15+⋯+160)2⋅(2414+15+16+⋯+160)3⋅…⋅(24160)592^{x} \cdot 3^{y}=\left(24^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{60}}\right) \cdot\left(24^{\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{60}}\right)^{2} \cdot\left(24^{\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\cdots+\frac{1}{60}}\right)^{3} \cdot \ldots \cdot\left(24^{\frac{1}{60}}\right)^{59} Знайдіть значення x+yx+y.
8–9 класиПеретворення показникових і логар…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2018-024

Сума кутів у рівносторонньому трикутнику

Точки DD і EE ділять сторону ABAB рівностороннього трикутника ABCABC на три рівні частини, причому DD лежить між AA і EE. Точка FF лежить на стороні BCBC так, що CF=ADCF = AD. Знайдіть суму кутів ∠CDF+∠CEF\angle CDF + \angle CEF.
8–9 класиРівнобедрений та рівносторонній т…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2018-025

Червоні клітинки в грі на дошці 9×9

Марія та Педру грають на дошці 9×99 \times 9. Марія починає, фарбуючи у червоний колір 46 клітинок дошки. Далі Педру має вибрати квадрат 2×22 \times 2. Якщо вибраний Педру квадрат має 3 або більше клітинок, пофарбованих у червоний колір, то він виграє гру. Інакше виграє Марія. Хто з них може завжди гарантувати собі перемогу незалежно від ходу суперника?
8–9 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2018-026

Шаховий турнір з рівним розподілом очок

Розгляньмо шаховий турнір за участю землян та інопланетян, у якому кожен гравець грає проти кожного іншого рівно один раз. Наприкінці турніру кожен гравець здобув половину своїх очок у партіях проти землян і половину — у партіях проти інопланетян. Нехай tt і aa — кількості землян та інопланетян відповідно. Дайте відповідь на запитання: а) Яка загальна кількість партій цього турніру як функція від tt і aa? б) У цьому турнірі кожна перемога дає 1 очко, кожна нічия дає 0,5 очка, а кожна поразка дає нуль очок. Яка загальна кількість очок землян як функція від tt і aa? в) Доведіть, що загальна кількість гравців турніру є повним квадратом.
8–9 класиПідрахунок двома способами
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2018-027

Розфарбування дошки 7 на 7 з точністю до повороту

Дві клітинки дошки 7×77 \times 7 пофарбовано в жовтий колір, а решту — у зелений. Дві схеми розфарбування вважаються еквівалентними, якщо одну можна отримати з іншої поворотом у площині дошки. Скільки нееквівалентних схем розфарбування можна отримати?
8–9 класиКомбінації
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2018-028

Розламування ланцюжка для отримання всіх ваг

Жуан має єдиний шматок ланцюжка з nn ланок, кожна з яких важить 1 г1~\text{г}. Щоразу, коли ланку якогось шматка ланцюжка розламують, отримуємо 3 шматки. Наприклад, якщо шматок має 9 ланок і ми розламаємо четверту, то матимемо шматки з такою кількістю ланок: 3, 1 і 5. Розламана ланка й далі важить 1 г1~\text{г}. a) Якщо n=8n=8, покажіть приклад того, як, розламавши лише 2 ланки, отримати шматки, які можна поєднувати так, щоб отримати будь-яку вагу від 1 г1~\text{г} до 8 г8~\text{г}. b) Якщо n=16n=16, покажіть приклад того, як, розламавши лише 2 ланки, отримати шматки, які можна поєднувати так, щоб отримати будь-яку вагу від 1 г1~\text{г} до 16 г16~\text{г}. c) Якщо n=63n=63, покажіть приклад того, як, розламавши лише 3 ланки, отримати шматки, які можна поєднувати так, щоб отримати будь-яку вагу від 1 г1~\text{г} до 63 г63~\text{г}. d) Якщо n=k⋅2k−1n=k \cdot 2^{k}-1, покажіть приклад того, як, розламавши лише k−1k-1 ланки, отримати шматки, які можна поєднувати так, щоб отримати будь-яку вагу від 1 г1~\text{г} до n гn~\text{г}.
8–9 класиСистеми числення
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2018-029

Рівнобедрений трикутник з внутрішньою точкою

На рисунку нижче ABCABC — рівнобедрений трикутник із BA=BCBA = BC. Точка DD лежить всередині нього так, що ∠ABD=13∘\angle ABD = 13^{\circ}, ∠ADB=150∘\angle ADB = 150^{\circ} і ∠ACD=30∘\angle ACD = 30^{\circ}. Крім того, ADEADE — рівносторонній трикутник. Знайдіть величину кута ∠DBC\angle DBC.
8–9 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2018-030

Трикутник з рівністю сторони та кутовими умовами

У трикутнику ABCABC на рисунку точка DD лежить на стороні ABAB, причому AB=CDAB = CD, ∠ABC=100∘\angle ABC = 100^{\circ} і ∠DCB=40∘\angle DCB = 40^{\circ}. a) Яка градусна міра кута ∠BDC\angle BDC? b) Яка градусна міра кута ∠ACD\angle ACD?
8–9 класиРівнобедрений та рівносторонній т…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2018-031

Симетрія десяткового періоду простих чисел

а) Нехай pp — просте число, яке ділить 10n+110^{n}+1 для деякого цілого додатного nn. Наприклад, p=7p=7 ділить 103+110^{3}+1. Аналізуючи головний період десяткового зображення числа 1p\frac{1}{p}, доведіть, що кількість появ цифри ii дорівнює кількості появ цифри 9−i9-i для кожного i∈{0,1,2,…,9}i \in\{0,1,2, \ldots, 9\}. б) Розглянемо просте число pp, яке не ділить 10, і припустимо, що період десяткового зображення числа 1p\frac{1}{p} дорівнює 2k2k. Чи завжди можна розбити період на два числа, які в сумі дають 10k−110^{k}-1? Наприклад, період числа 17\frac{1}{7} має довжину 6=2k6=2k, оскільки дорівнює 142857. Зауважимо, що 142+857=999=103−1=10k−1142+857=999=10^{3}-1=10^{k}-1. в) Нехай x=11998+119998+1199998+…x=\frac{1}{1998}+\frac{1}{19998}+\frac{1}{199998}+\ldots Якщо записати 2x2x у вигляді десяткового числа, якою буде 5959-та цифра після коми?
8–9 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2018-012

1111 мешканців і автографи одинадцяти гравців

У країні SMO є 11111111 мешканців. Одинадцять гравців національної збірної Ліхтенштейну роздають автографи всім мешканцям, причому жоден мешканець не отримує жодного автографа двічі (тобто кожен мешканець від кожного гравця отримує або жодного автографа, або один автограф). a. Скільки є варіантів того, які автографи може отримати один мешканець? b. Після роздавання мешканці помічають, що жодні двоє з них не отримали автографи рівно від тих самих гравців. Доведіть, що є двоє мешканців, які разом мають від кожного гравця рівно по одному автографу.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2018-001

Перефарбування дошки 8×8 трійками

Усі клітинки квадрата 8×88 \times 8 спочатку пофарбовано в білий колір. За один хід можна перефарбувати всі клітинки горизонтального або вертикального прямокутника 1×31 \times 3 (усі білі клітинки стають чорними, а всі чорні клітинки — білими). Чи можливо, що після скінченної кількості ходів усі клітинки будуть пофарбовані в чорний колір?
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2018-011

Сума відрізків від бісектриси в трикутнику

Нехай ABCABC — трикутник і γ=∠ACB\gamma = \angle ACB, причому γ/2<∠BAC\gamma / 2 < \angle BAC і γ/2<∠CBA\gamma / 2 < \angle CBA. Нехай DD — точка на відрізку BCBC, така, що ∠BAD=γ/2\angle BAD = \gamma / 2. Нехай EE — точка на відрізку CACA, така, що ∠EBA=γ/2\angle EBA = \gamma / 2. Крім того, нехай FF — точка перетину бісектриси кута ∠ACB\angle ACB з відрізком ABAB. Доведіть, що EF+FD=ABEF + FD = AB.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2018-014

НСК усіх власних дільників

Нехай n≥2n \geq 2 — натуральне число. Нехай d1,…,drd_{1}, \ldots, d_{r} — усі різні додатні дільники числа nn, менші за саме nn. Знайдіть усі nn, для яких виконується: НСК(d1,…,dr)≠n\text{НСК}\left(d_{1}, \ldots, d_{r}\right) \neq n
10–11 класиНСД та НСК
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2018-002

Сума з НСД зсунутих змінних

Нехай aa, bb і cc — натуральні числа. Знайдіть найменше значення, якого може набувати такий вираз: aНСД(a+b,a−c)+bНСД(b+c,b−a)+cНСД(c+a,c−b)\frac{a}{\text{НСД}(a+b, a-c)}+\frac{b}{\text{НСД}(b+c, b-a)}+\frac{c}{\text{НСД}(c+a, c-b)}
10–11 класиІнші класичні нерівності2 розв’язки
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2018-013

Ліфти, що сполучають пари поверхів

Висотний будинок має 7 ліфтів, причому кожен зупиняється лише на 6 поверхах. Проте для будь-яких двох поверхів завжди є ліфт, який безпосередньо сполучає ці два поверхи. Доведіть, що будинок може мати щонайбільше 14 поверхів, і що такий будинок із 14 поверхами справді можна реалізувати.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2018-015

Простий дільник двох чисел виду квадрат плюс один

Нехай mm і nn — натуральні числа, а pp — просте число, причому m<n<pm < n < p. Нехай, крім того, p∣m2+1 і p∣n2+1p \mid m^{2} + 1 \quad \text{ і } \quad p \mid n^{2} + 1 Доведіть, що виконується: p∣mn−1p \mid m n - 1
10–11 класиПрості числа (базові властивості)2 розв’язки
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2018-003

Натуральні числа з умовою на суму з НСК

Знайдіть усі натуральні числа nn, для яких не існує трійки натуральних чисел (a,b,c)(a, b, c), що задовольняє таку рівність: n=a⋅НСК(b,c)+b⋅НСК(c,a)+c⋅НСК(a,b)НСК(a,b,c)n=\frac{a \cdot \text{НСК}(b, c)+b \cdot \text{НСК}(c, a)+c \cdot \text{НСК}(a, b)}{\text{НСК}(a, b, c)}
10–11 класиНСД та НСК
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2018-004

Конкурентність прямих у трикутнику з рівними кутами

Нехай DD — точка всередині гострокутного трикутника ABCA B C, така, що ∠BAD=∠DBC\angle B A D = \angle D B C і ∠DAC=∠BCD\angle D A C = \angle B C D. Нехай PP — точка на описаному колі трикутника ADBA D B. Припустимо, що PP лежить поза трикутником ABCA B C. Пряма через PP перетинає промінь BAB A в точці XX і промінь CAC A в точці YY, так що ∠XPB=∠PDB\angle X P B = \angle P D B. Доведіть, що прямі BYB Y і CXC X перетинаються на прямій ADA D.
10–11 класиТеорема Чеви
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2018-005

Неіснування функції на додатних дійсних числах із заданим рівнянням

Доведіть, що не існує функції f:R>0→R>0f: \mathbb{R}_{>0} \rightarrow \mathbb{R}_{>0}, такої, що для всіх x,y∈R>0x, y \in \mathbb{R}_{>0} виконується: f(xf(x)+yf(y))=xyf(x f(x)+y f(y))=x y
10–11 класиВластивості ін'єктивність або сюр…2 розв’язки
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2018-006

Вписане коло і паралельність прямих

Нехай kk — вписане коло трикутника ABCA B C з центром II. Нехай коло kk дотикається до сторін BCB C, CAC A і ABA B у точках DD, EE і FF відповідно. Нехай GG — точка перетину прямої AIA I і кола kk, яка лежить між AA і II. Припустімо, що прямі BEB E і FGF G паралельні. Доведіть, що BD=EFB D=E F.
10–11 класиВписане коло
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2018-007

Послідовні суми та непарні дільники

Нехай nn — натуральне число. Нехай kk — кількість способів подати nn у вигляді суми одного або кількох послідовних натуральних чисел. Доведіть, що kk дорівнює кількості непарних додатних дільників числа nn.
10–11 класиБієкції2 розв’язки
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2018-008

Найбільше значення виразу з п’ятьма додатними змінними

Нехай aa, bb, cc, dd і ee — додатні дійсні числа. Знайдіть найбільше значення, якого може набувати такий вираз: ab+bc+cd+de2a2+b2+2c2+d2+2e2\frac{a b+b c+c d+d e}{2 a^{2}+b^{2}+2 c^{2}+d^{2}+2 e^{2}}
10–11 класиНерівність Коші
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2018-009

Найбільша підмножина решітки без паралелограма

Нехай nn — натуральне число, а GG — множина точок (x,y)(x, y) на площині, таких, що xx і yy — цілі числа, для яких 1≤x,y≤n1 \leq x, y \leq n. Підмножина множини GG називається вільною від паралелограмів, якщо вона не містить чотирьох неколінеарних точок, які є вершинами паралелограма. Скільки елементів щонайбільше може містити вільна від паралелограмів підмножина множини GG?
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2018-010

Гра з вибором цифр за модулем простого числа

Нехай p≥2p \geq 2 — просте число. Луї та Арно по черзі вибирають індекс i∈{0,1,…,p−1}i \in \{0,1, \ldots, p-1\}, якого досі ще не було вибрано, і цифру ai∈{0,1,…,9}a_{i} \in \{0,1, \ldots, 9\}. Починає Луї. Коли всі індекси буде вибрано, вони обчислюють таку суму: a0+a1⋅10+…+ap−1⋅10p−1=∑i=0p−1ai⋅10ia_{0}+a_{1} \cdot 10+\ldots+a_{p-1} \cdot 10^{p-1}=\sum_{i=0}^{p-1} a_{i} \cdot 10^{i} Якщо ця сума ділиться на pp, то виграє Луї, інакше виграє Арно. Доведіть, що Луї має виграшну стратегію.
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2017-003

Добуток дільників дорівнює 10⁹

Знайдіть усі натуральні числа nn такі, що якщо перемножити всі дільники числа nn, то отримаємо 10910^{9}. Доведіть, що знайдені вами числа nn справді підходять і що інших таких чисел немає. (Примітка: натуральне число nn — це додатне ціле число, тобто nn — одне з чисел 1, 2, 3, …. Дільник числа nn — це натуральне число, яке ділить nn без остачі. Наприклад, 5 є дільником числа 30, бо 30÷5=630 \div 5=6; але 5 не є дільником числа 47, бо 47÷5=947 \div 5=9 з остачею 2. У цій задачі ми розглядаємо лише додатні цілі числа nn і додатні цілі дільники числа nn. Так, наприклад, перемноживши всі дільники числа 6, отримаємо 36.)
6–8 класиКількість дільників τ(n)

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.